Преемственность в изучении геометрических построений

искусство.

Основным источником наших знаний о древнеегипетской геометрии является относящийся  примерно к 1700 до н.э. папирус Ринда, названный по имени владельца, египтолога Ринда (этот папирус также называется папирусом Ахмеса) и хранящийся ныне в Лондоне в Британском музее. Папирус Ринда свидетельствует о том, что древних египтян интересовали главным образом практические аспекты геометрии и что при накоплении геометрических фактов египтяне почти всецело руководствовались интуицией, экспериментом и приближенными представлениями.

Около 600 до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие  в Египет, привезли на родину первые сведения о геометрии. Самым известным  путешественником в Египет был Фалес (ок. 640 – ок. 546 до н.э.). Он был преуспевающим  купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора общепринятых утверждений, называемых аксиомами или постулатами. Этот метод дедуктивного рассуждения, которому предстояло стать доминирующим в геометрии и фактически – во всей математике, сохраняет свое фундаментальное значение и в наши дни.

Одним из наиболее знаменитых учеников Фалеса был Пифагор (ок. 570 – ок. 500 до н.э.). Он много путешествовал, а потом поселился в Кротоне, в Италии, где основал общество, занимавшееся изучением арифметики, музыки, геометрии и астрономии. Пифагор и его последователи доказали много новых теорем о треугольниках, окружностях, пропорциях и некоторых трехмерных телах. Пифагор доказал также знаменитую теорему, носящую ныне его имя, согласно которой площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Пифагор умер в  изгнании, но его влияние на греческих математиков ощущалось на протяжении многих веков. После его кончины в Элее (город в Италии) новыми центрами развивающейся геометрии становились по очереди Афины и Александрия. Архит Тарентский (ок. 428 – ок. 365 до н.э.) и Гиппий Элидский (р. ок. 425 до н.э.) затратили много усилий на решение трех задач, игравших важную роль в древнегреческой математике: это задачи о трисекции угла, о построении квадрата, площадь которого равна площади данного круга (задача о квадратуре круга), и о построении куба, имеющего вдвое больший объем, чем данный куб (задача об удвоении куба). Хотя ныне известно, что с помощью циркуля и линейки (единственных орудий геометрических построений, известных древнегреческим математикам) эти задачи решить нельзя, тем не менее попытки это сделать не были напрасны. Они стимулировали изучение конических сечений и способствовали совершенствованию математических методов.

Афинская школа  числила в своих рядах таких  великих людей, как Платон и Аристотель. После смерти Аристотеля центр научной мысли переместился в Александрию (Египет), где в начале 3 в. до н.э. был основан знаменитый Александрийский Мусейон – один из главных научных центров античного мира. Живший в Александрии математик Евклид (3 в. до н.э.), биографические сведения о котором крайне скудны, собрал в 13 книгах своего сочинения значительную часть математических знаний того времени. Семь книг из тринадцати были посвящены геометрии, предмет которой был им тщательно и систематически изложен, различные утверждения и теоремы расположены в определенном порядке и перенумерованы. Была включена также теория пространственных тел, ограниченных плоскими поверхностями. Называлось это великое сочинение Начала, и последующие издания, точно придерживающиеся оригинала, стали основой обучения геометрии вплоть до нашего времени. Величайшим математиком античности был грек Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Кроме множества других полученных им научных результатов

и открытий, Архимед  расширил ту часть Начал Евклида, в которой рассматривались пространственные тела, включив в их число сферу, цилиндр и конус. Другими великими александрийскими геометрами были Аполлоний Пергский (3 в. до н.э.; конические сечения), Птолемей (2 в. н.э.; астрономия) и Папп (3 в. н.э.; плоские кривые высших порядков). В 641 н.э. арабы разграбили Александрию и разрушили Мусейон и его библиотеку. Впрочем, греческая геометрия вступила в период застоя еще в начале 4 в. н.э, после кончины Паппа.

После падения  Александрии большинство работ  древнегреческих математиков были рассеяны или утрачены. Некоторые из них, в том числе Начала Евклида, были переведены и изучались арабами и индийцами. И хотя эти народы породили нескольких великих математиков, среди которых наиболее известны индийские математики Ариабхата (ок. 476 – ок. 550) и Бхаскара II (ок. 1114–1185), все же их самой большой заслугой следует считать сохранение геометрии в период Средневековья.

После падения  Римской империи в 5 в. наука в  Европе долгое время находилась почти  в полном забвении. В 12 и 13 вв. Начала были переведены с греческого и арабского на латынь и современные европейские языки, а геометрия вошла в программу монастырских школ. Первый из этих переводов был выполнен Аделардом Батским в 1120.

За последние 300 лет доказательная геометрия  была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия

треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная  с проективной, начертательная геометрия  была введена французским математиком  Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию –  первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии  мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала

включать в  себя тригонометрию, аналитическую  и дифференциальную геометрии, охватив  не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются.

На каждом этапе  развития геометрии как науки  одним из составляющих был вопрос о геометрических построениях которые  рассматривались как решение некоторых геометрических задач при помощи вспомогательных инструментов (линейка, циркуль и т.п.), которые предполагаются абсолютно точными. В исследованиях геометрических построений выясняется круг задач, разрешимых с помощью заданного набора инструментов, и указываются способы решения этих задач. Геометрические построения обычно разделяются на построения на плоскости и в пространстве. Отдельные задачи на построения на плоскости рассматривались ещё в древности (например, знаменитые задачи о трисекции угла, удвоении куба, квадратуре круга). Как и многие другие, они относятся к задачам на построения с помощью циркуля и линейки.

Геометрические  построения являются существенным фактором математического образования; они  представляют собой мощное орудие геометрических исследований. Традиционное ограничение  орудий геометрических построений только циркулем и линейкой восходит к глубокой древности.

В своей книге  «Начала» Евклид (III век до н.э.) строго придерживается геометрических построений выполняемых циркулем и линейкой, хотя названий инструментов нигде не упоминает. 
Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в

Древней Греции.

Древнегреческие математики ещё 3 000 лет назад проводили свои построения с помощью двух приборов:

- гладкой дощечкой  с ровным краем (это линейка)

- двух заострённых  палок, связанных на одном конце (это циркуль).

Циркуль и линейка  рассматривались как равноправные инструменты; было совершенно безразлично  как выполнялись отдельные построения. Уже давно было замечено, что циркуль  является более точным, более совершенным  инструментом, чем линейка.

В 1797 году итальянский  математик, профессор университета в Павии, Лоренцо Маскерони, опубликовал  большую работу «Геометрия циркуля», которая позже переведена на французский  и немецкий языки. В этой работе было доказано следующее предположение: «Все задачи на построение, разрешаемые циркулем и линейкой могут быть точно решены и одним только циркулем. Этот результат позже был назван теоремой Мори-Маскерони, поскольку впервые доказательство было опубликовано датским учёным Георгом Мором в 1672 году.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем называется геометрией циркуля.

В теории геометрических построений одним циркулем всегда подразумевается  свободное пользование циркулем, когда на растворы ножек никаких  ограничений не накладывается.

Таким образом, циркулем можно построить:

- произвольную  окружность;

- окружность  с заданным центром и радиусом;

- отложить данный  отрезок на прямой от данной  точки;

Циркулем можно  чертить окружности как угодно больших  и как угодно малых радиусов.

С помощью одного циркуля мы не сможем, разумеется, начертить  непрерывный прямой линии, заданной двумя точками;

Отмеченные выше знаменитые задачи древности не разрешимы  с помощью циркуля и линейки.

Геометрическими построениями на плоскости занимался сам Н.И.Лобачевский. Общая теория таких построений и построений на сфере была развита советским геометром Д. Д. Мордухай-Болтовским. 
  Геометрические построения в пространстве связаны с методами начертательной геометрии. Теория Геометрические построения представляет интерес лишь в части, связанной с практическими приложениями в начертательной геометрии.

Следующим чертёжным  инструментом является линейка, и разумеется, мы рассмотрим геометрические построения с помощью линейки.

Линейка простейший чертёжный инструмент, применяемый  для геометрических построений.

С помощью линейки  можно:

- провести прямую, проходящую через данную точку;

- провести произвольную  прямую;

- прямую проходящую  через две данных точки.

Никах других операций выполнить линейкой нельзя. В частности, нельзя откладывать отрезки , даже если на ней имеются деления.

Я.Штейнер показал  что все задачи на построений, разрешимы  циркулем и линейкой, могут быть точно решены и линейкой, если в плоскости чертежа даны постоянная (вспомогательная) окружность (O,R) и её центр.

Итак, геометрические построения - это способ решения  задачи при помощи вспомогательных  инструментов, которые предполагаются абсолютно точными.   

1.3. Психолого-педагогическое и методико-математическое обоснование необходимости и целесообразности соблюдения преемственности в ДОУ и начальной школе в процессе изучения геометрического материала  

Осуществление преемственности дошкольного и  начального образования является одной из приоритетных задач модернизации образования, решение которой требует объединения усилий методистов и педагогов - практиков. С психологической точки зрения преемственность выступает как проявление потребности в познании и самопознании, развитии и самосовершенствовании личности.

Преемственность базируется на законах отрицания  отрицания и перехода количественных изменений в качественные. Отметим, что в педагогике действие закона отрицания отрицания не должно абсолютизироваться.

Процесс обучения представляет собой последовательный переход количественных изменений в качественные с неизбежным переосмыслением знаний, их включением в новые связи и с обеспечением гармонии при переходе от одной ступени образовательной системы к последующей. Для каждой ступени обучения можно указать соответствующую меру, которая характеризовала бы уровень развития, обеспечивающий возможность оптимального перехода обучаемого на следующую ступень.