Бернхард Риман и эллиптическая геометрия

 

(здесь  - углы n-угольника, измеренные в радианной мере). В самом деле, поскольку равные многоугольники и имеют одинаковые углы, то и избытки их, очевидно, равны: 

; 

таким образом, свойство инвариантности выполнено. 

     Пусть теперь n-угольник M разбит ломаной линией на два меньших многоугольника и (см. Рис. 14).

      Мы можем считать, что точки  и являются вершинами n-угольника M. В самом деле, если бы, скажем, точка принадлежала стороне многоугольника M, то мы могли бы M объявить (n+1)-угольником с фиктивной вершиной и углом при этой вершине, равным π; это не изменило бы углового избытка ε(M) многоугольника M, поскольку сумма углов увеличилась на π и величина

(n - 2)π - также на π. Теперь имеем (см. Рис. 14, где углы многоугольника отмечены одной дугой, а соответствующие углы многоугольника - двумя дугами) 

и

. 

Складывая эти  выражения и учитывая, что и , получаем 

     (7)

что и  доказывает выполнение для углового избытка свойства аддитивности.

      В евклидовой геометрии аддитивность углового избытка никак не может быть использована для построения теории площадей: она является просто следствием того обидного с точки зрения наших настоящих интересов обстоятельства, что угловой избыток каждого многоугольника равен в евклидовой геометрии нулю. Однако в неевклидовой геометрии Римана угловой избыток положителен, т. е. удовлетворяет условию а). Таким образом, для того чтобы получить величину, удовлетворяющую всем четырем условиям а) - г), надо лишь нормировать угловой избыток (умножив его на постоянный множитель пропорциональности k) с тем, чтобы соблюдалось и условие г). При этом выбор числа k существенно зависит от выбора единицы измерения площадей. Выберем эту единицу так, чтобы треугольник с тремя прямыми углами (в сферической геометрии отвечающий одной восьмой части полной сферы, см. Рис. 16) имел площадь, равную его угловому избытку, т. е. равную ; при этом площадь всей сферы будет равна 4π (таким образом, радиус сферы принимается здесь за 1), а площадь всей неевклидовой плоскости Римана равна 2π. При этом будем иметь k = 1, т. е. площадь каждого многоугольника будет равна его угловому избытку:

     (8)

В частности, площадь произвольного треугольника ABC будет равна

.     (8a)

Заметим еще, что при таком выборе единицы  измерения площадей площадь круга  радиуса ρ будет равна

с

   (9)

(длина прямой в плоскости Римана ринимается здесь равной πr).

     Выпишем также основные тригонометрические зависимости, связывающие элементы треугольника ABC неевклидовой геометрии Римана со сторонами AB = c, BC = a, CA = b (в рамках сферической геометрии эти формулы были установлены весьма давно):

(10)

   (10a)

(теоремы  косинусов) и 

(11) 

(теорема  синусов). [Как и выше, здесь принято,  что длина всей прямой в  плоскости Римана равна πr.]

2.3 Трехмерная неевклидова геометрия Римана

     Совершенно  аналогично, отождествляя диаметрально противоположные точки гиперсферы в четырехмерном евкдиловом пространстве, получим трехмерное неевклидово пространство Римана. Если введем в четырехмерном пространстве прямоугольные координаты x, y, z, t, то найдем, что расстояние OM от начала координат до произвольной точки M с координатами x, y, z, t определяется соотношением 

     (12) 

Таким образом, если начало координат находится  в центре гиперсферы, то ее точки  удовлетворяют уравнению 

.     (12a) 

     Точки неевклидова пространства Римана можно  описать тем же уравнением (12а), если только условиться считать, что и - это одна точка. 

     Расстояние  между двумя произвольными точками и четырехмерного пространства определяется по более общей формуле 

(12б) 

а угол φ между отрезками и - по формуле 

 (13) 

     Если  и - точки гиперсферы, то расстояние ω между этими точками, измеренное по большой окружности, равно углу между отрезками и , умноженному на радиус r гиперсферы, т. е. 

   (14) 

а в  неевклидовом пространстве Римана, где  расстояние ω между точками не может быть больше, это расстояние определяется по формуле 

       (14а) 

      Будем называть прямой линией и плоскостью в неевклидовом пространстве Римана множество точек этого пространства, получающееся при отождествлении диаметрально противоположных точек, лежащих соответственно на большой окружности и большой сфере гиперсферы. Плоскость неевклидова пространства Римана, очевидно, является неевклидовой плоскостью Римана. Если на гиперсфере у каждой большой сферы имеются два диаметрально противоположных полюса, то в неевклидовом пространстве Римана у каждой плоскости имеется только один полюс. Плоскость можно рассматривать как множество всех точек, отстоящих от полюса на расстоянии πr/2. Так же как в случае прямых на плоскости, показывается, что все перпендикуляры к плоскости в неевклидовом пространстве Римана пересекаются в полюсе этой плоскости (см. Рис. 16) и что всякие две плоскости в этом пространстве обладают общим перпендикуляром, причем каждая точка пересечения плоскостей является полюсом одной из плоскостей, проходящих через этот общий перпендикуляр (см. Рис. 17).

      Отсюда вытекает, что при r = 1 угол между двумя плоскостями &945; и β (см. Рис. 18) равен расстоянию между точками A и B их пересечения с их общим перпендикуляром, а также равен расстоянию между полюсами Q и R этих плоскостей.

      Последний факт показывает, что плоскости неевклидова пространства Римана находятся во взаимно однозначном соответствии с его точками - полюсами этих плоскостей, причем углы между плоскостями равны расстояниям между соответствующими точками. Таким образом, плоскости неевклидова пространства Римана, если считать углы между ними расстояниями, образуют модель того же пространства; отсюда естественно вытекает, что и в пространственной неевклидовой геометрии Римана имеет место своеобразный принцип двойственности. Общий перпендикуляр двух плоскостей и линия их пересечения называются взаимными полярами; каждая из этих двух прямых является множеством всех точек, отстоящих одна от другой на расстоянии πr/2; полюс всякой плоскости, проходящей через одну из этих прямых, лежит на другой из них. Отсюда вытекает, что всякий перпендикуляр к прямой пересекается с ее полярой, а общий перпендикуляр двух прямых пересекается с полярами обеих этих прямых. Из свойств двумерных плоскостей четырехмерного пространства следует, что две прямые неевклидова пространства Римана в общем случае обладают двумя общими перпендикулярами, на одном из которых осуществляется максимальное, а на другом - минимальное расстояние между ними; в том же случае, если эти расстояния равны, прямые обладают бесконечным множеством общих перпендикуляров равной длины. В последнем случае прямые называются паратактичными. Через каждую точку A пространства, не лежащую на прямой a и на ее поляре, можно провести две прямые, паратактичные к данной прямой a (см. Рис. 19): если AP - перпендикуляр, опущенный из точки A на прямую a, b - поляра этого перпендикуляра, пересекающаяся с прямой A в точке Q, а B и C - такие точки прямой b, что расстояния BQ и CQ равны расстоянию ω = AP, то искомые прямые AB и AC; нетрудно видеть, что угол BAC равен углу 2ω/r. Множество всех точек, отстоящих от прямой a на расстоянии ρ < πr/2, является поверхностью второго порядка, прямолинейные образующие которой паратактичны прямой a и ее поляре a' (см. Рис. 20); каждая пара прямолинейных образующих разных семейств пересекается под одним и тем же углом 2ω/r.

      Замечательным свойством этой поверхности, открытой английским геометром В. К. Клиффордом, является то, что на ней  господствует евклидова геометрия: поверхность Клиффорда изометрична евклидову ромбу с острым углом 2ω/r и стороной πr, у которого отождествлены точки противоположных сторон, соединяемые прямыми, параллельными другим сторонам (см. Рис. 21) [4] 
 
 

 

Заключение

   

   В представленной  работе решены следующие задачи:

• выяснено  основное понятие  эллиптической  геометрии Б.Римана
• произведен анализ основных понятий неевклидовой геометрии Римана. Принцип двойственности
• Представлены примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника
• Выяснены основные свойства трехмерной неевклидовой геометрии Римана
• Сформировано приложение в котором представлена история развития эллиптической геометрии

 

Литература

1. Энциклопедия  элементарной математики, книга IV, V. Геометрия. – М.: Наука, 1966. – 624 с.
2. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. – М.: Наука. Главная редакция физико – математической литературы, 1969. – 548 с.
3. Трайнин Я.Л. Основания геометрии. Пособие для пед. институтов. – М. 1961. – 334 с.
4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука, 1984.- 288 с.
5. Альбицкий В.А. Курс астрофизики и звездной астрономии. Том 1. – М.: Государственное издательство технико – теоретической литературы, 1951. – 591 с.
6. Атаносян Л.С. Геометрия. Часть 2. – М.: Просвещение, 1974.