Бернхард Риман и эллиптическая геометрия

Министерство  образования Республики Беларусь

УО «Мозырский государственный педагогический университет  имени И.П. Шамякина» 

 
 

Кафедра математики и МПМ  
 
 
 
 

Курсовая  работа 

Бернхард Риман и эллиптическая геометрия 
 
 

Выполнила: 
студентка 4 курса 3 группы 
физико-математического 
факультета 
Вабищевич Екатерина          Валерьевна 

Научный руководитель: 
доцент 
Кралевич И. Н 
 
 
 

Оценка научного руководителя:  

      оценка, дата сдачи, подпись 

Итоговая оценка:    
 
 

Мозырь 2012

 

Содержание

 

Введение

     По  аналогии с плоскостью в пространстве Евклида имеется только два типа поверхностей, которые могут без  деформации передвигаться сами по себе, так, чтобы каждая точка поверхности совмещалась с любой другой ее точкой и притом, чтобы направление любой касательной к поверхности в первой точке совместилось с направлением любой касательной во второй точке. Такими поверхностями являются плоскости и сферы.

     Геометрия на сфере имеет сходства с геометрией на плоскости. Поэтому теоремы и аксиомы плоскости аналогичны теоремам и аксиомам сферы.

     В 1854 г. Риман в своей диссертации  «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» дал глубокое и богатое по содержанию обобщение идей Гаусса и Лобачевского. Эта работа была опубликована лишь в 1868 г. после смерти Римана. В этой работе он впервые дал построение n-мерного аналитического пространства, связал вопрос о движении с вопросом о постоянстве кривизны пространства, дал образец взаимного проникновения и органического слияния геометрии и анализа. Как один из частных результатов, Риманом была получена так называемая эллиптическая геометрия, отличная от геометрий Евклида и Лобачевского, в которой через точку, лежащую вне прямой, не проходит ни одной параллельной к этой прямой и все прямые замкнуты. Развитие идей Лобачевского Риманом приблизило создание тензорного исчисления и явилось этапом, подготовившим впоследствии почву для создания теории относительности.

   В представленной  работе решаются следующие задачи:

• выяснить  основные понятия  эллиптической  геометрии Б.Римана
• провести анализ основных понятий неевклидовой геометрии Римана. Принцип двойственности
• Представить примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника
• Выяснить основные свойства трехмерной неевклидовой геометрии Римана

 

ГЛАВА 1. Понятие об эллиптической геометрии Римана

     Если  в геометрии Евклида через  точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной, а в геометрии Лобачевского – две, то в эллиптической геометрии Римана вовсе не существует параллельных прямых. В эллиптической геометрии имеет место следующая аксиома:

     Всякая  пара прямых, лежащих  в одной плоскости, пересекается (*).

     Выясним, какие основные изменения следует  внести в систему аксиом Гильберта, чтобы получить аксиоматику эллиптической  геометрии, причем мы ограничимся лишь двумерной эллиптической геометрией.

     Так как совокупность аксиом Гильберта  групп  I – IV совместима только с двумя аксиомами параллельности – Плейфера и Лобачевского, то ясно, что для построения системы аксиом эллиптической геометрии необходимо внести изменения в гильбертовские аксиомы первых четырех групп. Что касается аксиомы параллельности Гильберта V , то нетрудно видеть, что она остается в силе и в эллиптической геометрии, так как является прямым следствием указанной выше аксиомы (*) эллиптической геометрии об отсутствие параллелизма. Но в таком случае аксиому V надо исключить из перечня аксиом как излишнюю, а введенную вместо нее аксиому (*) целесообразно поместить в группу I аксиом соединения.

     Таким образом, V группа аксиом отпадает, а группа I аксиом соединения эллиптической планиметрии будет состоять из следующих аксиом:

     I₁. Через всякие две точки А и В проходит прямая.

     I₂. Через две точки А и В проходит не более одной прямой.

     I₃. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки.

     I₄. Всякая пара прямых, лежащих в одной плоскости, пересекается, т.е. имеет общую точку.

     Какие же свойства эллиптической прямой вытекает из этой группы аксиом.

     Эллиптическая прямая  замкнута аналогично окружности. Из замкнутости прямой следует, что для трех точек прямой А, В и С понятие «лежать между» теряет определенный смысл, ибо каждая из них лежит между двумя другими, а потому понятие «лежать между» не характеризует их взаимного расположения.

     Чтобы характеризовать взаимное расположение точек на эллиптической прямой, вводится другое основное понятие: «разделение двух пар точек». [3]

     Отметим некоторые характерные особенности, имеющие место в эллиптической геометрии.

     В отличие от геометрии Евклида  и Лобачевского в эллиптической  геометрии точка не делит прямую на два луча, а две точки А и В на прямой определяют не один, а два взаимно дополнительных отрезка.

     Другое  отличие заключается в том, что  прямая в эллиптической плоскости не делит эту плоскость на две полуплоскости.

     Однако  можно утверждать, что две прямые разделяют плоскость на две части, каждая из которых образует угол. Таким  образом, при точке О образуются два взаимно дополнительных угла, которые называются смежными углами. Если смежные углы равны, то они называются прямыми углами. Сумма смежных углов равна 2d.

     Из  замкнутости эллиптической прямой и разделения ее двумя точками  на два взаимно дополнительных отрезка следует, что три точки А, В и С эллиптической плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют не один, а четыре треугольника, вместе составляющие всю плоскость.

     Отметим еще, что для всякой пары прямых в  эллиптической плоскости существует единственный общий перпендикуляр.

   Укажем  некоторые теоремы эллиптической  геометрии, отличающиеся от соответствующих теорем евклидовой и гиперболической геометрий.

1. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть окружность.
2. Сумма углов треугольника больше π.
3. Длина всякой прямой равна π, т.е. эллиптическая прямая конечна.
4. Внешний угол треугольника либо меньше, либо равен, либо больше внутреннего угла, с ним не смежного.
5. Периметр треугольника меньше 2π.
6. Площадь треугольника равна его избытку, т.е. разности между суммой его внутренних углов и числом π.
7. Площадь эллиптической плоскости равна 2π [6].

 

ГЛАВА 2. Сферическая геометрия и неевклидова геометрия   Римана

     Огромное  впечатление, произведенное на умы  математиков открытием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что еще задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной геометрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т. е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твердое убеждение всех ученых в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Римана, впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классической геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского. Мы, однако, здесь не будем следовать истории вопроса и изложим более простую схему Римана до геометрии Лобачевского.

     Когда говорим, что неевклидова геометрия Римана была известна задолго до открытия Лобачевского, имеем в виду тесную связь ее со сферической геометрией (геометрией на плоскости сферы). Основные факты сферической геометрии были основательно изучены еще в древности в связи с задачами астрономии. Поскольку поверхность земли приближенно имеет форму сферы, можно утверждать, что "земная геометрия" также является геометрией сферической (это реально ощущается при измерениях, затрагивающих значительные участки земной поверхности).

      Роль прямых линий на сфере, т. е. самых коротких линий, соединяющих две точки сферы, играют так называемые большие окружности - сечения сферы плоскостями, проходящими через ее центр (см. Рис. 1). Углы между большими окружностями, как и углы между любыми другими линиями на сфере, принимаются равными углам между касательными к этим линиям в точках пересечения. Роль треугольников и многоугольников в сферической геометрии играют сферические треугольники и многоугольники, образованные дугами больших окружностей (см. Рис. 2).

      Под расстоянием между двумя точками на сфере понимается длина меньшей из двух дуг большой окружности, соединяющей эти точки. Это определение следует видоизменить лишь для случая диаметрально противоположных точек и сферы; для них существует бесконечно много соединяющих их дуг больших окружностей, и все они имеют одну и ту же длину (где - радиус сферы), которую и принимаем за расстояние между и .

      Роль окружностей в сферической  геометрии играют так называемые малые окружности, т. е. сечения сферы плоскостями, не проходящими через ее центр. Ясно, что любую окружность (и большую и малую) можно в сферической геометрии определить как множество точек, удаленных от фиксированной точки на постоянное расстояние ; точка Q называется при этом центром (или полюсом) окружности, а расстояние - ее радиусом. У каждой окружности на сфере имеются два полюса , (являющихся диаметрально противоположными точками сферы, Рис. 3) и соответственно этому два радиуса , . Если эти радиусы различны, то имеем малую окружность, если же они совпадают (и равны ), то - большую окружность.

     Большие и малые окружности сферы аналогичны прямым и окружностям на плоскости еще и в том отношении, что существуют движения сферы (повороты, Рис. 4), переводящие их в себя. Из этого ясно, что большие и малые окружности являются "однородными" линиями, т. е. во всех своих точках они устроены совершенно одинаково.

      Однако между геометрией на сфере и геометрией на плоскости имеется и одно существенное различие. Мы знаем, что через каждые две точки плоскости проходит единственная прямая линия; другими словами, никакие две прямые не могут пересечься в двух точках. В противоположность этому каждые две большие окружности сферы пересекаются в двух (диаметрально противоположных) точках. Это обстоятельство резко отличает сферическую геометрию как от евклидовой геометрии, так и от неевклидовой геометрии Лобачевского. Для того чтобы устранить его, условимся называть "точкой" сразу пару диаметрально противоположных точек сферы. Полученный геометрический образ - сферу, понимаемую как множество пар диаметрально противоположных точек, - мы и назовем неевклидовой плоскостью Римана. Под "прямыми" неевклидовой геометрии Римана будем понимать большие окружности сферы (рассматриваемые как множество пар диаметрально противоположных точек). Условимся, далее, принимать за "расстояние" между двумя "точками" A и B плоскости Римана (не превосходящее четверти большой окружности) расстояние между соответствующими им точками сферы (так что расстояние между "точками", изображаемыми имеющимися на Рис. 5 парами и , равно дугам AB или , но не !). При таком определении полная длина "прямой" будет равна πr, но не 2πr (т. к., пройдя по "прямой" путь , равный πr, придем к "точке" , совпадающей с исходной "точкой" A, Рис. 6).

      Под "углами" между "прямыми" неевклидовой геометрии Римана будем понимать углы между отвечающими этим "прямым" большими окружностями сферы. "Окружность" с центром Q и радиусом ρ естественно определить как множество "точек", удаленных от Q на "расстояние" ρ: на сфере она изображается малой окружностью (точнее, парой диаметрально противоположных малых окружностей, Рис. 7). "Движения" неевклидовой геометрии Римана можно описать как вращения сферы: так как каждое вращение сферы переводит две ее диаметрально противоположные точки снова в диаметрально противоположные точки, то "движение" представляет собой "точечное" преобразование плоскости Римана, переводящее каждую ее "точку" снова в "точку".