Полный факторный эксперимент

где - это кодированное значение i-го фактора;

- это натуральные значения  i-го фактора на верхнем или нижнем уровне;

- это натуральное значение  i-го фактора в нулевой точке;

- интервал варьирования  i-го фактора.

Для коэффициента трудоемкости единицы продукции в качестве нулевого уровня выберем 0,34 и интервал варьирования E₁=0,17. Тогда верхний уровень составит 0,51, а нижний – 0,17.

Для коэффициента премий и вознаграждений на одного работника в качестве нулевого уровня выберем 1,11 и интервал варьирования E₅=87. Тогда верхний уровень составит 1,98, а нижний – 0,24.

В кодированном виде верхний  обозначается (+1), нижний (-1), а нулевой - (0).

 

4.2 Построение матрицы  планирования

 

Число экспериментов N=2ⁿ, где n – число факторов, 2 – число уровней факторов. В данном случае N=2²=4.

Поскольку для проведения полного факторного эксперимента была взята линейная модель, моделью уровней объекта будет служить уравнение:

.

Величина и знак коэффициента b указывает на вклад данного фактора в общий результат при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора.

Коэффициенты при факторе (b₁,b₅) учитывают непосредственное воздействие фактора на параметр оптимизации, а коэффициент при произведение факторов (b₁₅) учитывает тот факт, что влияние одного фактора может зависеть от уровня, на котором находится другой.

Линейным называют эффект, характеризующий линейную зависимость  параметра оптимизации от соответствующего фактора.

Эффектом взаимодействия называют эффект, характеризующий совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации.

При построение матрицы  планирования полного факторного эксперимента используем правило чередования знаков: в первом столбце знаки чередуются поочередно, во втором – через два, в третьем – через четыре и т.д.

Представим матрицу  планирования эксперимента в виде следующей таблицы.

 

Таблица 35 – Матрица планирования эксперимента

№ опыта	x0	x1	x5	x1x5	y
1	+	-	-	+	21,9
2	+	+	-	-	46,3
3	+	-	+	-	598,1
4	+	+	+	+	15

4.3 Обработка результатов  эксперимента

 

Вычисляем среднее арифметическое значение параметра оптимизации  по формуле:

                                                       

,                                                     (8)

Среднее арифметическое значение 170,325.

С целью оценки отклонения параметра оптимизации от его  среднего значения вычисляем дисперсию  опыта по формуле:

                                                                                             (9)

Дисперсия опыта  81509,82917.

Определяем ошибку по формуле:

                                                    ,                                                     (10)

Ошибка составляет 285,499263.

Вычисляем дисперсию  воспроизводимости по формуле:

                                                 ,                                                    (11)

Дисперсия воспроизводимости  20377,45729.

По результатам экспериментов  вычисляем коэффициенты моделей:

                                                                                                         (12)

                                                                                                         (13)

Запишем рассчитанные значения в таблицу:

Таблица 36 – Коэффициенты моделей

b0	b1	b5	b15
170,325	-139,675	136,225	-151,875

 

Полученное уравнение  имеет вид:

y=170,325-139,675x₁+136,225x₅-151,875х₁×х₅

Проверяем значимость коэффициентов  регрессии с помощью критерия Стьюдента:

                                                                                                              (14)

                                                        .                                                   (15)

Табличное значение критерия Стьюдента при доверительной вероятности p=0,95 и числе степеней свободы f=2 составляет t_табл=2,01410.

 

Таблица 36 – Расчетные значения коэффициента Стьюдента

Коэффициент	b0	b1	b5	b15
tрасч	2,93895	4,36750	3,04834	2,20478

 

Определяем значимость: если t_расч>t_табл (по модулю), следовательно, коэффициент считается значимым. В данном случае все коэффициенты являются значимыми.

Теперь определяем дисперсию  адекватности (остаточная дисперсия) по формуле, которая характеризует  рассеяние эмпирических значений y относительно расчетных, определяемых по уравнению регрессии:

                                                                                              (16)

Дисперсия адекватности 14426,06151.

Гипотеза адекватности найденной модели проверяется по формуле:

                                                                                                        (17)

Получаем  0,708.

Сравнив расчетное значение критерия адекватности модели с табличным значением, получаем, что F_рас=0,708<F_табл=4,0517.

Значит, полученное уравнение адекватно описывает эксперимент.

 

 

4.4 Выводы

 

 В ходе полного факторного эксперимента было проведено четыре опыта. Для их проведения были выбраны уровни фактора и интервалы варьирования. Полученное уравнение более точно описывает процесс, чем линейное уравнение регрессионного анализа, в связи с тем, что имеет больше коэффициентов за счет эффекта взаимодействия. Коэффициенты регрессии являются значимыми, что подтверждается критерием Стьюдента. Гипотеза адекватности, рассчитанная как соотношение дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости, подтвердилась. Таким образом, обработка результатов эксперимента позволила сделать вывод о том, что полученное уравнение y=170,325-139,675x₁+136,225x₅-151,875х₁×х₅ подходит для описания эксперимента.

 

 

заключение

 

Цель данной курсовой работы заключалась в поиске оптимального уравнения, которое бы  адекватно  описывало процесс снижения себестоимости продукции.

Были представлены следующие  исходные данные: факторы - трудоемкость единицы продукции; удельный вес рабочих; удельный вес покупных изделий; премии и вознаграждения на одного работника; удельный вес потерь от брака; и параметр оптимизации – индекс снижения себестоимости продукции.

Исходные данные были последовательно подвергнуты корреляционному, регрессионному, дисперсионному анализам и проведению полного факторного эксперимента.

В результате проведения корреляционного анализа данные были проверены на однородность и  нормальность распределения, в результате чего часть данных была исключена из первичного массива. Затем устанавливался факт наличия и направления корреляционной зависимости, оценка наличия связи и степени ее тесноты между результативным и факторными признаками. В результате этого для последующего регрессионного анализа были оставлены два фактора: трудоемкость единицы продукции и премии и вознаграждения на одного работника.

В ходе регрессионного анализа  были рассмотрены пять моделей: линейная, логарифмическая, показательная, полиномиальная и экспоненциальная.

 Проанализировав все  имеющиеся данные, можно сказать о том, что наилучшим образом зависимость индекса снижения себестоимости продукции от трудоемкости единицы продукции и премий и вознаграждений на одного работника отражает линейная модель: y=192,601-557,159x₁+94,560x₅.

Однако мера достоверности данного линейного уравнения составляет 71,23%, при требуемых 10-15%. Поэтому результаты, вычисленные с помощью данного уравнения, могут не совпадать с реальными.

В процессе выполнения дисперсионного анализа было рассмотрено существования  влияния двух факторов на исследуемый параметр. Для этого была произведена проверка значимости различий между средними с помощью сравнения дисперсий. И было еще раз установлено, что факторы: трудоемкость единицы продукции и премии и вознаграждений на одного работника оказывают влияние на индекс снижения себестоимости продукции.

Для выполнения полного факторного эксперимента потребовалось проведение четырех опытов. Для их проведения были выбраны уровни фактора и интервалы варьирования. Обработка результатов эксперимента позволила сделать вывод о том, что полученное уравнение y=170,325-139,675x₁+136,225x₅-151,875х₁×х₅  адекватно описывает эксперимент.

Таким образом, было получено две различные линейные модели: регрессионного анализа: y=192,601-557,159x₁+94,560x₅ и полного факторного эксперимента: y=170,325-139,675x₁+136,225x₅-151,875х₁×х₅.

Результаты, полученные при использовании данных моделей, имеют отличия от реальных, в связи с небольшим количеством данных и их  неоднородностью.

Наилучшим образом влияние  трудоемкости единицы продукции и премий и вознаграждений на одного работника на индекс снижения себестоимости описывает модель, полученная в результате полного факторного эксперимента.

Данная модель может  быть использована для процесса снижения себестоимости продукции.

 

 

 

Список  использованных источников:

 

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, - М.: Наука, 1976. – 279с.

2. Блохин В.Г. Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов. Учебное пособие. – М.: Радио и связь, 1997. – 232с.

3. Федоров В.В. Теория оптимального  эксперимента, - М.: Высшая школа, 1971. – 345с.

4. Хикс Ч.Р. Основные принципы планирования эксперимента: перевод с англ., - М.: Наука, 1967.

5. Планирование и организация эксперимента: Методические указания к выполнению курсовой работы / Сост.: Н.И.Ковалева. – Омск: СибАДИ, 2008. – 39с.