Полный факторный эксперимент

 

Для того, чтобы построить  уравнение экспоненциальной модели зависимости индекса снижения себестоимости продукции y от трудоемкости единицы продукции х₁ и премий и вознаграждений на одного работника х₅, необходимо использовать рассчитанные коэффициенты регрессии. Получаем уравнение:

.

Значение множественного коэффициента детерминации составляет R²= 0,502038518. Оно показывает, что около 50% общей вариации результативного признака объясняется вариацией факторных признаков.

Достоверность R² подтверждается критерием Фишера. Сопоставляя F_рас с F_табл при заданном уровне значимости, делается вывод о достоверности вычисления R². Если F_рас>F_табл, то значение нормированного коэффициента детерминации достоверно и уравнение адекватно. В нашем случае, F_рас=24,692405>F_табл=3,204317292, т.е. достоверно. Кроме того, рассчитанный уровень значимости a_р=5,78075E-08<a=0,05, также подтверждает значимость.

Значимость параметров уравнения регрессии оценивается  при помощи критерия Стьюдента. Поскольку не все расчетные значения критерия Стьюдента получились больше табличного значения = 2,014103359, то они не значимы.

В таблице остатков выводятся  значения результативного признака, вычисленные с помощью математической модели, а также различия между теоретическим и расчетным значениями результативного признака.

Оценить адекватность модели можно с помощью анализа остатков.

Таблица 31 – Вывод  остатков для экспоненциальной модели

Наблюдение	Предсказанное ln y	Остатки	Стандартные остатки
1	4,850388844	0,468711062	0,8193837
2	4,724797777	0,620403176	1,084566358
3	5,275237615	0,130138824	0,227503977
4	4,812461228	0,654332289	1,143880004
5	4,707597139	-0,58046275	-1,01474396
6	3,619613079	0,352563849	0,61633935
7	4,665692666	0,482383037	0,843284551
8	4,897910992	-0,86367035	-1,509837227
9	3,441313257	0,521402863	0,911497597
10	3,968381361	-0,12678082	-0,221633636
11	4,010060576	-0,03600218	-0,062937706
12	3,729766679	0,366243162	0,640253029
13	4,045015272	0,94132733	1,645594338
14	4,051739791	-1,15582785	-2,020576382
15	3,704406516	-1,09433672	-1,913079817
16	4,362908621	0,134676355	0,235436325
17	4,238199139	-0,10303258	-0,180117828
18	4,616735511	0,022836102	0,039921247
19	4,799996681	-0,50543607	-0,883585032
20	4,19364991	0,144947167	0,253391387
21	4,704727125	-0,41413071	-0,723968301
22	4,097170605	-0,62210338	-1,087538584
23	4,699437613	0,59687775	1,043440061
24	5,44482449	0,948933475	1,658891125
25	4,194756753	0,070736065	0,123658227
26	3,666807064	0,841852222	1,471695558
27	3,78512019	0,622817826	1,088787562
28	4,408892857	-0,07553139	-0,132041247
29	4,46402111	0,319295262	0,55818041
30	3,100376337	-0,0138897	-0,024281471
31	3,956142072	-0,07664226	-0,133983219
32	4,846309081	0,309868519	0,541700919
33	4,481775169	-0,17635964	-0,308305527
34	4,564252013	-0,33595948	-0,587312191
35	4,390585376	-0,28299559	-0,494722634
36	5,924370445	-0,05056394	-0,08839405
37	5,823257955	-0,24428313	-0,427046921
38	5,360031052	0,906410195	1,584553468
39	4,525770976	0,249985511	0,437015614
40	4,35563068	-0,74201371	-1,297161489
41	3,900788561	0,154468613	0,270036433
42	4,700319199	-0,75679753	-1,32300602
43	4,437225939	-0,26746474	-0,467572166
44	3,65544936	0,2219822	0,388061241
45	3,504272872	-0,79622267	-1,39192763
46	4,282194946	0,189443847	0,331178871
47	4,148772517	0,537055572	0,938861096
48	5,021410725	-1,48918508	-2,603339413

Сумма остатков = -2,8866E-14.

 

Рисунок 10 – Графики  остатков для экспоненциальной модели

 

Остатки не коррелируют, а их сумма практически равна  нулю.

Таким образом, уравнение  экспоненциальной модели не является значимым, а модель не адекватна.

 

2.6 Мера достоверности

 

Выбираем линейную модель с коэффициентом детерминации 0,47.

Уравнение имеет следующий  вид:

Рассчитываем среднюю  квадратическую ошибку уравнения:

 

Таблица 32 – Средняя  квадратическая ошибка уравнения

трудоемкость единицы продукции (х1)	премии и вознаграждения на одного работника (х5)	индекс снижения себестоимости  продукции (y)	y прогнозируемое (y^)	(y-y^)^2	Sy
0,23	1,23	204,2	180,76323	549,282188
0,24	1,04	209,6	157,22524	2743,115485
0,19	1,8	222,6	256,94879	1179,839374
0,17	0,43	236,7	138,54477	9634,449176
0,23	0,88	62	147,66723	7338,874296
0,43	0,57	53,1	6,92183	2132,423385
0,31	1,72	172,1	182,52491	108,6787485
0,26	1,7	56,5	208,49166	23101,46471
0,49	0,84	52,6	-0,97651	2870,442424
Окончание таблицы 32
0,36	0,6	46,6	48,75976	4,664563258
0,37	0,82	53,2	63,99137	116,4536665
0,43	0,84	60,1	32,45303	764,3549502
0,35	0,67	146,4	60,95055	7301,608505
0,38	1,04	18,1	79,22298	3736,018684
0,42	0,66	13,6	21,00382	54,81655059
0,3	0,86	89,8	106,7749	288,14723
0,32	0,79	62,5	89,01252	702,9137168
0,31	1,6	103,5	171,17771	4580,272431
0,26	1,46	73,3	185,79726	12655,63351
0,37	1,27	76,6	106,54337	896,605407
0,29	1,58	73,01	180,42969	11538,9898
0,34	0,68	32,3	67,46774	1236,769937
0,23	0,86	199,6	145,77603	2897,019747
0,17	1,98	598,1	285,11277	97961,00614
0,29	0,33	71,2	62,22969	80,4664615
0,41	0,45	90,8	6,71781	7069,814675
0,41	0,74	82,1	34,14021	2300,141457
0,22	0,03	76,2	72,86282	11,13677035
0,29	0,99	119,5	124,63929	26,4123017
0,51	0,24	21,9	-68,85569	8236,595267
0,36	0,57	48,4	45,92296	6,135727162
0,23	1,22	173,5	179,81763	39,91244882
0,26	0,68	74,1	112,04046	1439,478505
0,27	1	68,6	136,72807	4641,433922
0,29	0,81	60,8	107,61849	2191,971006
0,01	1,27	355,6	307,12061	2350,251255
0,02	1,14	264,8	289,25622	598,1066967
0,18	1,89	526,6	271,03078	65315,62621
0,25	0,67	118,6	116,66645	3,738615602
0,31	0,96	37,1	110,65931	5410,972088
0,38	0,67	57,7	44,23578	181,2852202
0,24	0,98	51,6	151,55164	9990,330339
0,31	1,16	64,7	129,57131	4208,286861
0,42	0,54	48,3	9,65662	1493,310818
0,51	1,23	15	24,75871	95,23242086
0,31	0,78	87,5	93,63851	37,68130502
0,37	1,16	108,4	96,14177	150,2642027
0,18	1,06	34,2	192,54598	25073,44938
итого		118,5810638	118,580427	335345,8786	71,23039

 

  Рассчитаем меру  достоверности уравнения регрессионной зависимости по следующей формуле и запишем полученное значение в таблицу 32:

 

S_y=(S/y_ср)×100%.                                            (6)

 

Данное значение не должно превышать 10-15%. В этом случае уравнение регрессии хорошо отображает полученную зависимость. В нашем случае составляет 71,23%.

 

2.7 Выводы

 

 В ходе регрессионного  анализа были рассмотрены пять  моделей: линейная, логарифмическая,  показательная, полиномиальная и экспоненциальная.

Для сравнения различных  моделей друг с другом используется показатель нормированный R-квадрат.

Проанализировав все  имеющиеся данные, можно сделать  вывод о том, что наилучшим  образом зависимость индекса  снижения себестоимости продукции от трудоемкости единицы продукции и премий и вознаграждений на одного работника отражает линейная модель:

.

Однако мера достоверности  данного линейного уравнения  составляет 71,23%. Поэтому результаты, вычисленные с помощью данного уравнения, могут не совпадать с реальными.

 

3 дисперсионный анализ

 

Дисперсионный анализ используется для анализа выявления влияния  различных факторов на исследуемый  показатель.

Целью дисперсионного анализа  является проверка значимости различий между средними с помощью сравнения дисперсий.

Основная идея дисперсионного анализа состоит в том, чтобы  составить дисперсию за счет воздействия  какого-либо фактора с дисперсией, обусловленной случайными причинами.

В ходе дисперсионного анализа  выдвигается нулевая гипотеза (H₀), которая говорит о том, что средние каждого фактора одинаковы. В противовес ей выдвигается альтернативная гипотеза, под которой понимается противоположное, т.е., что средние факторов не равны. Дисперсионный анализ основан на следующем фундаментальном правиле: если межгрупповая дисперсия статистически значимо превышает внутригрупповую, то делается вывод, что групповые средние различны и нулевая гипотеза отвергается.

В качестве критерия при  проверке гипотезы H₀ используют величину F, называемую дисперсионным отношением.

Для того, чтобы провести дисперсионный анализ, используем данные таблицы 21: столбцы х₁,х₅ и y.

Проведем однофакторный  дисперсионный анализ для определения  влияния трудоемкости единицы продукции на индекс снижения себестоимости продукции.

 

Таблица 33 – Однофакторный дисперсионный анализ для коэффициента трудоемкости единицы продукции и индекса снижения себестоимости продукции

ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
трудоемкость единицы продукции (х1)	48	14,48	0,301667	0,01127
индекс снижения себестоимости  продукции (y)	48	5573,31	116,1106	14134,88

 

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	321881,2	1	321881,2	45,54419	1,2135E-09	3,942303152
Внутри групп	664340	94	7067,447
Итого	986221,1	95

 

Для существования зависимости необходимо, чтобы выполнялось неравенство F_рас>F_табл. В данном случае, из таблицы 33,  F_рас=45,54419>F_табл=3,942303152. Таким образом, зависимость между трудоемкостью единицы продукции и индексом снижения себестоимости продукции наблюдается.

Проведем однофакторный  дисперсионный анализ для определения  влияния премий и вознаграждений на одного работника на индекс снижения себестоимости продукции.

 

Таблица 34 – Однофакторный дисперсионный анализ для коэффициента премий и вознаграждений на одного работника и индекса снижения себестоимости продукции

ИТОГИ
Группы	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
премии и вознаграждения на одного работника (х5)	48	46,49	0,968542	0,190591
индекс снижения себестоимости  продукции (y)	48	5573,31	116,1106	14134,88

 

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Между группами	318184,8	1	318184,8	45,02061	1,4533E-09	3,94230315
Внутри групп	664348,4	94	7067,536
Итого	982533,2	95

 

Для существования зависимости необходимо, чтобы выполнялось неравенство F_рас>F_табл. В данном случае, из таблицы 34,  F_рас=45,02061>F_табл=3,942303152. Таким образом, зависимость между коэффициентом премий и вознаграждений на одного работника и индексом снижения себестоимости продукции наблюдается.

 

3.1 Выводы

 

В процессе выполнения дисперсионного анализа было рассмотрено существования  влияния двух факторов на исследуемый  параметр. Для этого была произведена проверка значимости различий между средними с помощью сравнения дисперсий. Выдвинутая в дисперсионном анализе нулевая гипотеза (H₀) не нашла своего подтверждения.

Таким образом, еще раз установлено, что факторы: трудоемкость единицы продукции и премии и вознаграждений на одного работника оказывают влияние на индекс снижения себестоимости продукции.

 

 

 

 

4 полный факторный эксперимент

 

Полный факторный эксперимент  представляет собой эксперимент, в  котором реализуются все возможные  сочетания уровней факторов.

 

4.1 Выбор области эксперимента

 

Выбор экспериментальной  области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации. В области эксперимента устанавливаем основные уровни и интервалы варьирования. Для построения линейной модели достаточно двух уровней.

Для удобства записей  условий эксперимента и обработки данных значения уровней кодируют. Кодирование производится исходя из соотношения:

                                              (7)