Распределения качественных и количественных признаков

Нижегородский государственный архитектурно - строительный университет  
 
 
 
 
 

Кафедра стандартизации и инженерной графики 
 
 
 
 
 
 
 

Расчетная работа на тему:

«Распределения  качественных и количественных признаков» 
 
 
 
 

Выполнил: студент гр.СС-09                                                   Ракушина С.А. 
 
 

Проверил:                                                                      Буеракова Л.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Нижний  Новгород, 2011г 
Задача. 

Рассмотрим построение интервального ряда по данным таблицы 1, где даны результаты измерений  x одной из характеристик латекса – ленты искусственного каучука, по указанным пунктам работы. 

Таблица 1.

 
 
 

Решение:

1)Вычисляем среднее  арифметическое значение  ,используя формулу _;

получим _;

2) находим 

3) Оцениваем  по формуле К=1+3,21gN  число интервалов:

К=1+3,21g38=6;

4) Оцениваем  по формуле   ширину интервалов:

  Округляем в сторону  увеличения до  удобного числа 

5)Строим числовую  ось х , на ней отмечаем 

Получаем границы  центрального интервала: левую границу  – (921-100/2)=871 и правую границу – (921+100/2)=971. Затем откладываем вправо и влево  по целому интервалу , пока не перекрываем слева и справа

6)вычисленные  границы интервалов заносим в  графу 2 таблицы 2. Общее число  интервалов в итоге оказалось  равным семи. Принимаем левую  границу открытой (круглая скобка), а правую  - закрытой (квадратная  скобка). Подсчитываем числа N_k в каждом интервале и заносим их в графу 3.

7) Определяем  относительные частоты v_k и заносим их в графу 4;

8)вычисляем плотности  v_k относительных частот, вносим их в графу 5;

9) по полученным  данным (таблица 2) строим графики , график строим либо в виде гистограммы а), либо в виде полигона б). 
 
 
 
 
 

Таблица 2

                                                       38          1,000 1,000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

         Рисунок 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 2 

     Порядок построения дискретного ряда распределения  рассмотрим по той же таблице 1. Для  этого располагаем элементы в  порядке возрастания: 750, 750, 750, 750, 775, 775, 800, 800, 825, 850, 850, 850, 850, 850, 875, 875, 875,875,900,900,900,900,900,900,950,975,1000,1000,1000,1025,1025,1050,1050,1075,1100,1100,1200,1300.

            Построение  графика  F(x)   для дискретного ряда выполняется следующим образом: начинаем слева отсчитывать количество элементов, оказавшихся в каждом к-том варианте х_к дискретной случайной величины х - Nk ; вычисляем относительные частоты v_k для каждого варианта; результаты сводим в таблицу 3.

     Диаграмма (гистограмма) накопленных относительных  частот, построенная по данным таблицы 3, показана на рисунке 2.

     Из  сравнения рисунков 2 и 3 видно, что  они различаются по форме: рисунок 2 дает более «плавкую» ступенчатую  линию, с меньшими ступеньками. Это  объясняется небольшим объемом  выборки (N=38) С увеличением N эти две диаграммы (то есть графики интервального ряда распределения и дискретного ряда распределения) по форме должны сближаться. 

Таблица 3

                                                                                    38     0,9998 

Можно построить  также график решетчатой функции  = v,

например, по данным таблицы 3.

     Некоторые законы распределения случайных  чисел хорошо изучены в теории вероятностей и математической статистике. Наиболее распространенным и типичным для массовых случайных явлений  природы является нормальный закон  Гаусса. Известны также законы распределения  Пуассона, биномиальный и другие.

     Аналитическое выражение кривой для нормального закона Гаусса имеет вид:

где µ{x} - математическое ожидание, σ²{x} - генеральная дисперсия. Кривая (3.1) имеет колокообразный вид, она симметрична относительно µ{x}. Внутри интервала ± σ{х} находится 68,3% площади под всей кривой (х); внутри интервала ±2σ{х}- 95,5%, а внутри ±3σ{х}- 99,75%, то есть практически вся площадь под кривой (рисунок 3).

    Примечание. Почему нормальный закон Гаусса является одним из наиболее распространенных законов распределения? Во-первых, он наиболее часто встречается на практике; во-вторых, он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Чем больше количество случайных чисел (n   0)_, тем , какие угодно распределения  приближенно подчиняются нормальному закону; например, ошибки измерений.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 3