Модели портфельного управления, проблемы их применения в Российской Федерации

          Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях ρ 1,2 разным портфелям соответствуют разные величины σ , то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

          Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n ), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя «вес» каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E ( rA ) и риска (стандартное отклонение σ А ). Перенеся эти соотношения на координатную плоскость с осями E ( r ) и σ, получим точку А с координатами [ E ( rA ); σ A ] на рисунке 1: 

      E(r)

                                                         M

  E(rm)                                                  F

                     

   E(ra)                                     A       

                       E

                                          s(a)      s(m)          s  

     Рис. 1. Кривая эффективных портфелей

         Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным «весом» каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска. Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их «веса» можно получить бесконечное количество портфелей. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике, то можно получить совокупность точек – зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

          Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

         1.Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

         2.Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

          Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [ E ( ri ); σ i ; σ ij ; ρ ij , где i , j = 1,2,…, n ], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E ( rm ) на рис.1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис.1 – точка М).

          Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности – на рис. 1 это линия EF . Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх вправо величины E ( r ) и σ увеличиваются, а при движении вниз влево – уменьшаются.

         Итак, эффективный портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E ( r ) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

          Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг – чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к ( 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации – изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов – инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

          Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

          В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E ( r ) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E ( r ) и σ, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

          2.2.Оптимизация инвестиционного портфеля по модели У. Шарпа

          Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин σ2i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций σi,j ценных бумаг в портфеле.

          В 1963г. американский экономист У. Шарп предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа.

          В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины – независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = α + βХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor’s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью, а доходность rm – доходностью рыночного портфеля.

         Шарп ввел так называемый β-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

          Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

                                    ri,t = αi + βirm,t + εi,t ,

где: ri,t – доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;

       αi – параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

        βi – параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

       rm,t – доходность рыночного портфеля в момент t;

        εi,t – случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

          Особое значение необходимо уделить параметру βi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

          В общем случае, если βi >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при βj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом β > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с β < 1 - менее рискованными.

            Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица.

         Если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии (в основу модели Шарпа положена линейная регрессия) αi и βi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы – ожидаемую доходность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии и ковариации бi,j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений αi, n величин βi, n значений, а также E(rm) и σ2m. Следовательно всего потребуется найти: (n+n+n+2) = 3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

            Т.о. У.Шарп, анализируя поведение акций на рынке, пришел к выводу, что вовсе не обязательно определять ковариацию каждой акции друг с другом. Вполне достаточно установить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком. И поскольку речь идет о ценных бумагах, то, следовательно, нужно взять в расчет весь объем рынка ценных бумаг. Однако нужно иметь в виду, что количество ценных бумаг и прежде всего акций в любой стране достаточно велико. С ними осуществляется ежедневно громадное количество сделок как на биржевом, так и внебиржевом рынке. Цены на акции постоянно изменяются, поэтому определить какие-либо показатели по всему объему рынка оказывается практически невозможным. В то же время установлено, что если мы выберем некоторое количество определенных ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать движение всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.

             
 
 
 
 
 

          ГЛАВА 3. Стратегии управления портфелем ценных бумаг

          3.1. Активная стратегия

          Использование классических методов управления портфелем в чистом виде подчас приводит к парадоксальным результатам. Поэтому на практике при принятии инвестиционных решений учитываются экспертные оценки. Но и теоретические, и практические рекомендации всегда рассматриваются через призму стратегических целей, преследуемых инвестором. При одинаковых математических расчетах и экспертных оценках разные инвесторы могут принимать различные инвестиционные решения.

          Существует ряд альтернативных стратегий относительно распределения сроков инвестирования, каждая из которых обладает своим исключительным набором преимуществ и недостатков. Все их можно разбить на две категории - пассивные и активные.

          Активная стратегия основана на предположении, что рынки неэффективны, и что инвестор либо умеет выявлять неверно оцененные бумаги, либо умеет предсказывать процентные ставки и правильно играть на сроках. Эта стратегия предполагает тщательное отслеживание и немедленное приобретение инструментов, отвечающих инвестиционным целям портфеля, а также быстрое изменение состава фондовых инструментов, входящих в портфель. Реализацией активной стратегии является подход процентных ожиданий.

          Базовыми характеристиками активного управления являются:

• выбор ценных бумаг, приемлемых для формирования портфеля;
• определение сроков покупки или продажи финансовых активов.

         При активном управлении считается, что содержание любого портфеля является временным. Когда разница в ожидаемых доходах, полученная в результате либо удачного, либо ошибочного решения или из-за изменения рыночных условий, исчезает, составные части портфеля или он целиком заменяются другими. 

Активное  управление характеризуется тем, что  инвестор:

• не верит в постоянную эффективность инвестиций и поэтому часто пересматривает состав и структуру портфеля, иногда весьма существенно;
• считает, что инвесторы имеют различные ожидания относительно дохода и риска, и поэтому он, имея более полную информацию, может обеспечить более эффективную, чем в среднем по рынку, структуру портфеля и более высокий доход.