Модели ценообразования опционов

 

Для простоты будем считать, что R=10%, T = 1 год, а текущая стоимость акции составляет 100$. Таким образом, будущее среднее значение цены составляет 105$, а среднеквадратичное отклонение цены от среднего о = 9.52%.

Нам предлагают купить европейский опцион колл на эту акцию со страйком 104$. По какой цене это имеет смысл? Какова стоимость опциона?

Ответ на этот вопрос дает будущая стоимость  денежных потоков, порождаемая таким  опционом. А она такова: при цене акции 95$ опцион вне денег и стоит 0. При цене акции 105 опцион стоит 1$=105$ - 104$. Наконец, при цене акции 115$ опцион будет стоить 11$=115$ - 104$.

Таким образом, будущие ожидаемые выплаты  по опциону составят:

FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50% + (115$ - 104$)*25% = 3.25 $;

Цена

Вероятность

Однако  это только будущие, ожидаемые доходы. Сегодня эти доходы, как мы знаем, стоят дешевле. Для того чтобы  найти текущую стоимость этих будущих доходов их

необходимо  дисконтировать по ставке R на величину _e — _e =0 .9048 • В результате получим:

PV — FV-e ^RT — 2 .94 5

Это и есть текущее значение стоимости  опциона колл в рассматриваемом  случае.

Трактовать  эту величину нужно следующим  образом. Если инвестор очень много  раз будет покупать предлагаемый опцион по цене 2.94$, то в результате он заработает прибыль, не превосходящую  той, которую он получил бы вкладывая  деньги в казначейские обязательства  под фиксированный процент R.

Как видим, рассчитать текущую стоимость  опциона достаточно просто. Для этого  нужно лишь знать будущее распределение  цен базисного актива.

Рассмотрим  еще один пример, а ту же самую  акцию. Все условия прежние: R=10%, T = 1 год, текущая цена акции S= 100$, страйк Х= 104$. Однако распределение цен через год будем предполагать другим, а именно: 

 

Видно, что будущая средняя (ожидаемая) цена при этом не изменилась и осталась прежней - 105$, а дисперсия и среднеквадратичное отклонение выросли. Сигма теперь составляет 19.5%.

Какова  теперь будет стоимость опциона? Ответ находится также легко. Сначала находим ожидаемые будущие  прибыли по опциону, взвешенные по вероятностям, что дает нам будущую стоимость  инвестиции в опцион:

FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50%+ (125$ - 104$)*25% = 5.75 $;

Затем дисконтируем найденную величину для  определения текущей стоимости:

PV — FV-e^—RT—5 .205

Это и  есть теоретическая стоимость опциона  колл в рассмотренном примере. Видно, что рост волатильности приводит к росту опционной премии.

Общий пример оценки опциона  Call

Рассмотрим  общий пример. Пусть нам нужно  оценить стоимость опциона колл, зная распределение цен базисного  актива в момент экспирации. Это  распределение показано на нижнем рисунке  слева.

 

По горизонтальной оси отложены будущие возможные  цены (курс) базисного инструмента  S(T), а по вертикальной оси - вероятности их реализации. Кроме того, мы знаем, что опцион при исполнении дает прибыль равную его внутренней стоимости, как это показано на верхнем рисунке справа. Таким образом, нужно перемножить прибыли, показанные на рисунке справа на соответствующие вероятности левого рисунка. Результат этого перемножения представлен на рисунке ниже. Видно, какой вклад в будущую стоимость дает каждое возможное значение цены. Хотя более высокие будущие цены дают большую стоимость опциона колл, но вероятность их

 

появления ниже, поэтому столбцы на результирующей гистограмме сначала возрастают, а потом, по мере падения вероятности - убывают.

 

Теперь  для получения премии опциона  в рассматриваемой модели достаточно просуммировать результаты, показанные на последнем рисунке и дисконтировать их для приведения к текущей стоимости.

Биномиальная  модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Способ  оценки опциона колл, рассмотренный  выше, включает в себя все, что нужно  для расчета. При этом молчаливо  подразумевается, что вид будущего распределения цен нам хорошо известен. Очевидно что это не так. В поисках наиболее адекватного  вида распределения и состоит  большая часть работы опционных  исследователей.

Простейший  вид этого распределения представляет собой так называемое биномиальное распределение, использованное впервые  Коксом, Россом и Рубинштейном. Это  довольно простой численный способ смоделировать будущее движение цен, который может быть выполнен в простейших электронных таблицах.

Суть  такого моделирования состоит в  разбиении времени, оставшегося  до экспирации на N шагов и предположении, что цена базисного актива на каждом шаге может либо двинуться вверх на определенную величину P_т = P₀e^N с вероятностью р, либо вниз, тоже на некоторую определенную величину с вероятностью q=\ -р, как показано на

рисунке.

Будем считать, что доходность на каждом шаге определяется параметром N, так что цена на каждом следующем шаге может либо вырасти в е⁵ раз, либо уменьшиться в это же число раз. Таким образом, мы имеем в модели три параметра: N - число шагов, которое мы задаем исходя из собственных представлений о нужной нам точности, а также N - относительное изменение цены на каждом шаге и вероятность повышения цены р. Последние два параметра должны быть найдены исходя из времени, оставшегося до срока Т, процентной ставки R и волатильности базисного актива о.

 

Для того, чтобы найти эти выражения  заметим, что окончательные, на шаге N цены могут принимать только следующие значения Pn _г = P0е^12г-N, г е [0, N] с вероятностями, определяемыми биномиальным распределением:

z-^i i N—i

^WN, i ^-CnP 0

Легко вычислить получаемую при каждой цене доходность:

 

N, i

R_t (N )- In

P

0

-(2i — N)N ,i = 0,l ■■■, N,

 

а также  найти среднюю или ожидаемую  доходность:

п

R=Z ^wn,,R (N )=N (р— q)N — RT, T-

252

Из этого  уравнения мы получаем первую связь  между неизвестными пока р и N с одной стороны и известными N, T и R. Вторая связь находится из анализа дисперсии доходностей:

D\^R_t ⁽?^)-т_т2^, от^-o_D VОу ^2Е2^-ty J^T

Считая, что годовая ожидаемая волатильность, обозначаемая здесь ^т _Y , нам известна, получим второе уравнение:

D\R, (п)| = D{(2i — N) NJ = 45¹ Npq-o ₂ T

Разрешая  эти уравнения относительно неизвестных  величин р и N , окончательно будем иметь:

 

Это все  параметры, которые используются в  биномиальной модели.

Теперь  посчитаем будущие выплаты или  прибыль по опциону при исполнении в рассмотренной модели. Вспомним, что это просто взвешенная по вероятности  сумма внутренних стоимостей опциона:

FV^- I (^Pn, j — X)

^PNJ> ^X

Последнее, что осталось сделать - это привести будущую стоимость к текущим  значениям, что и дает справедливую стоимость европейского опциона  колл для биномиальной модели:

—RT

P_c - FV-е

 

 

ITinvest

lnvestriiEn[ company |

Последние две формулы легко программируются  и считаются во всех электронных  таблицах.

Ниже  приведено типичное распределение  доходностей, полученное с помощью 10- тишагового биномиального распределения.

 

Практика  показывает, что для получения  надежной и достаточно точной оценки стоимости ближних опционов достаточно выбрать число шагов от 10 до 30. Для дальних опционов, для больших  значений безрисковой ставки, а также  для акций с большой волатильностью, число шагов может быть увеличено.

Чем большее  количество шагов N выбрать для биномиальной модели, тем больше результаты будут похожи на те, что получаются с помощью нормального Гауссова распределения доходностей. Ничего странного в этом нет, поскольку нормальное распределение - это предельный случай при N биномиального распределения.

Ниже  на рисунке представлены два нормальных (Гауссовых) распределения доходности с различными значениями волатильности (среднеквадратичного отклонения сигма).

 
 

 

Именно  такая форма распределения будущих  доходностей впервые была использована Блэком и Шоулзом для построения модели стоимости опцинов, известной  теперь как модель Блэка-Шоулза.

Модель  Блэка-Шоулза (Biack-Schoies)

На предыдущем рисунке было показано распределение  доходностей, подчиняющихся нормальному  или Гауссовому распределению N(x):

 

1

x ~2

р^(x ) =

exp

N(x)=j (у )dy

 

это распределение  симметрично относительно центра, допускает  положительные и отрицательные  значения. Если, исходя из этого распределения  доходностей, вычислить распределение  цен, то окажется, что оно будет  уже так называемым логарифмическим  нормальным распределением. Соответствующие  графики приведены на рисунке  ниже:

 

Используя это распределение цен, Фишер  Блэк и Майрон Шоулз нашли следующую  формулу для вычисления теоретической  стоимости опциона колл: