Контрольная работа по "Экономико-математические методы и прикладные модели"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра Математики и информатики

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине Экономико-математические методы и прикладные модели

ВАРИАНТ № 2

 

 

 

 

Студент Аблепова Кристина Юрьевна

Курс ФНО № группы_____________

Факультет              Финансы и кредит

Специальность  Бакалавр экономики 

Личное дело             № 100.19/120082

Преподаватель   Филонова Е.С.

 

 

 

Орел 2013

Задание 1 Изложить материал по выбранной теме. Проиллюстрировать теоретические положения примерами.

1. Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.

При решении некоторых  ЗЛП графическим методом может  встретиться случай, когда линия  уровня параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем это сторона расположена  в направлении смещения линии  уровня при стремлении целевой функции  к своему оптимуму. В этом случае оптимальное значение целевой функции достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) многоугольника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т.е. задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Если область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении  оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной и ЗЛП не будет иметь решений; в этом случае можно записать, что, например, max f() = +∞.

Очевидно также, что ЗЛП не будет иметь решений  в случае, когда область допустимых решений есть пустое множество, т.е. система ограничений ЗЛП содержит противоречивые неравенства, и на координатной плоскости нет ни одной точки, удовлетворяющей этим ограничениям.

 

Пример

Предприятие электронной  промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической  линии. Суточный объем первой линии - 60 изделий, второй линии - 80 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 15 однотипных элементов электронных  схем, на радиоприемник второй модели - 10 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов  равен 950 единиц. Прибыли от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равны 40$ и 20$ соответственно. Определите оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей  на основе графического решения задачи.

Математическую модель задачи

 Построим прямые ограничений,  для чего вычислим координаты  точек пересечения этих прямых  с осями координат (рис.3.1).

 

 прямая (1) – точки (0;95) и (63,(3);0), прямая (2) проходит через  точку  параллельно оси , прямая (3) проходит через точку  параллельно  оси .

 

 Рис.3.1. Графическое решение  задачи о производстве радиоприемников. 

 Определим ОДР. Например, подставим точку (0;0) в исходное ограничение (1), получим, что является истинным неравенством, поэтому стрелкой обозначим полуплоскость, содержащую точку (0;0), т.е. расположенную правее и ниже прямой (1). Аналогично определим допустимые полуплоскости для остальных ограничений и укажем их стрелками у соответствующих прямых ограничений. Общей областью, разрешенной всеми ограничениями, т.е. ОДР является многоугольник ABCDE.

 Целевую прямую можно  построить по уравнению 

 Точки пересечения  с осями – (0;75) и (37,5;0)

 Строим вектор  из точки (0;0) в точку (40;20). Точка D – это последняя вершина многоугольника допустимых решений ABCDE, через которую проходит целевая прямая, двигаясь по направлению вектора . Поэтому D – это точка максимума ЦФ. Определим координаты точки D из системы уравнений прямых ограничений (1) и (2)

 

 Получили точку D(60;5) [шт/сутки].

 Максимальное значение  ЦФ равно [$/сутки].

 Таким образом, наилучшим  режимом работы предприятия является  ежесуточное производство радиоприемников  первой модели в количестве 60 штук и радиоприемников второй  модели в количестве 5 штук. Доход  от продажи составит  2500$ в сутки.

Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

2.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В.

Какое количество корма надо расходовать ежедневно  на одно животное, чтобы затраты  были минимальными? Использовать данные таблицы.

Питательное вещество	Количество питательных  веществ в 1 кг корма
	1	2
А В	2 2	1 4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

      Построить экономико-математическую  модель задачи, дать необходимые  комментарии к ее элементам  и получить решение графическим  методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

ЭММ задачи

Х₁ - количество корма 1 вида, которое следует включить в дневной рацион животного;

Х₂ - количество корма 2 вида которое следует включить в дневной рацион животного;

1. сформулируем целевую функцию:
2. сформулируем  функциональные ограничения для целевой функции:

≥6

≥12

х_1,2≥0

Определение области допустимых решений задачи (ОДР)

2Х₁+Х₂≥ 6;     2Х₁ + 0 = 6;     

2Х₁+Х₂= 6;     2Х₁ = 6;

2*0+Х₂= 6.      Х₁= 3.

Х1	0	3
Х2	6	0

 

                О (0;0) 2*0+0 ≥ 6 (неверно)

 

2Х₁+4Х₂≥ 12;       0+2Х₂= 6;     Х₁ +2*0 = 6;

Х₁+2Х₂≥ 6.          2Х₂ = 6;           Х₁ = 6.

                                               Х₂ = 3.

Х1	0	6
Х2	3	0

 

               О (0;0)   2*0+4*0 ≥ 12 (неверно)

 

Искомая область может  находиться только в I четверти декартовой системы, так как Х_1,2≥ 0.

 

Определение оптимальных точек задач

Для определения т. Max и т.min используют линии уровня целевой функции.

Для определения направления  роста уровня функции использую  вектор градиент С, соединяю его вершину (0,2;0,3) с началом координат О (0;0).

Перпендикулярно вектору  градиенту С,через начало координат  проведем линию нулевого уровня функции.

т. В (2;2) - точка min

т.max не существует на неограниченном множестве допустимых решений.

3. Вычислим значение целевой функции в точке пересечения (2;2):

F_min = 0,2*2+0,3*2=0,4+0,6=1

4. график изобразим на рисунке 1:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. График решения задачи.

Ответ: 1. и достигается при х₁=2; х₂=2.

2. Если задачу решать на максимум, то  целевая функция неограниченная и  ЗЛП не имеет решения, .

Решим задачу с помощьюExcel.

Создаем текстовую форму  – таблицу для ввода условий  задачи. Указываем адреса ячеек, в  которые будет помещен результате решения (изменяемые ячейки). Обозначаем через Х₁,Х₂ количество корма 1 вида, которое следует включить в дневной рацион животного. Оптимальные значения компонента вектора будут помещены в ячейках В3:С3,оптимальное значение целевой функции - в ячейке D4.

Вводим исходные данные задачи в созданную форму – таблицу.

Вводим зависимость для  целевой функции и зависимости  для ограничений.

В развернутом меню команда  Поиск решения, появляется диалоговое окно Поиск решения: назначаем целевую  функцию, вводим ограничения и параметры  для решения ЗЛП

Результаты поиска решений

Вывод:Совхозу следует рекомендовать включать в дневной рацион одного животного ежедневно 2 ед. корма 1-го вида и 2 ед. корма 2-го вида. В этом случае ожидаются минимальные затраты в сумме 1 тыс.ден.ед.

Задача 4 Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

4.2. Компания по продаже мототехники оценивает ежедневныйспрос в 20 единиц. Годовые издержки хранения на один мотоциклсоставляют 10 тыс. руб. Магазин работает 300 дней в году. Средниеиздержки одного заказа составляют 40 тыс. руб. Определите совокупные издержки заказа и оптимальный размер партии. Постройте график общих годовых затрат.

Решение:

Дано: 
Т=300 рабочих дней в году;

М=20 ед.спрос в день,    20*300=6000 ед. спрос в год;

h=10000 годовые издержки хранения на один мотоцикл;

K=40000средние издержки одного заказа.

Найти:

Z1(Q), Q_опт,построить график общих годовых затрат.

Решение:

Размер партии:

Q_опт== ≈ 219 ;

Совокупные издержки заказа в год:

Z1(Q)=+=+=1095890,5+1095000 ≈2190890

Частота заказов  в год:

= ≈ 27

Периодичность поступления:

= ≈0,03 ≈9 дней

Решим задачу с помощьюExcel.

Вводим исходные данные

 

По формулам находим  искомые данные: размер партии, совокупные издержки заказа в год, частота заказов в год, периодичность поступления.

 

 

Строим график общих годовых  затрат с помощью таблицы: