Контрольная работа по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской федерации»

(Финансовый университет)

Владимирский  филиал Финуниверситета

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

 

Вариант № 2

 

 

 

 

Исполнитель: Кий Марина Сергеевна

 

факультет Финансово-кредитный

специальность Бакалавр экономики

курс 3

группа дневная

№ зачетной книжки 10флб00462

 

Руководитель: Мануйлов Николай Николаевич

 

 

 

2013 г. 
Содержание

Стр.

1. Теоритическая часть …........................................................................	3
Задача 1. Симплекс-метод с искусственным базисом (М-задача)....	3
2. Практическая часть…..........................................................................	6
Задача 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации…...........................................................................................	6
Задача 3. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)….................................................................	9
Задача 4. Методы и модели анализа и прогнозирования экономических процессов с использованием временных рядов..........	18
Список литературы...................................................................................	20

 

 

 

1. Теоретическая часть

Задача 1. Симплекс-метод с искусственным базисом (М-задача)

Симплекс-метод с искусственным  базисом применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода, т.е. когда затруднительно найти первоначальный план опорный план исходной задачи ЛП, записанной в канонической форме. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом, из исходной получается новая M-задача.

В линейную форму исходной задачи добавляется в случае ее максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М) на сумму искусственных  переменных, где М –достаточно большое число. В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден.

При применении к этой задаче симплекс-метода оценки ∆j теперь будет зависеть от буквы М. Для  сравнения оценок нужно помнить, что М- достаточно большое число.

В процессе решения М-задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу.

Если в оптимальном  решении М-задачи нет искусственных  переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении M-задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

 

 

Пример

Целевая функция:

2x1-x2+7x3+11x4+5x5→min

 Условия:

2x1+5x3+x4+8x5=12

-3x1+6x2+2x3-2x4≤5

РЕШЕНИЕ.

Приведем систему ограничений  к каноническому виду, для этого  необходимо неравенства преобразовать  в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак больше или равно, то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются. Тогда система будет выглядеть следующим образом:

2x1+5x3+x4+8x5+R1=12

-3x1+6x2+2x3-2x4+X6=5

Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции.

Так как среди исходного  набора условий было равенство (первое условие) мы ввели искусственную  переменную R1. Это значит, что в  симплекс таблицу нам необходимо добавить дополнительную строку M, элементы которой рассчитываются как сумма соответствующих элементов условий-равенств (тех которые после приведения к каноническому виду содержат искусственные переменные R) взятая с противоположным знаком.

 Из данных задачи  составляем исходную симплекс таблицу.

	X1	X2	X3	X4	X5	Свободный член
F	2	-1	7	11	5	0
R1	2	0	5	0	8	12
X6	-3	6	2	-2	0	5
M	-2	0	-5	0	-8	-12

 

Так как в столбце  свободных членов нет отрицательных  элементов, то найдено допустимое решение. В строке M имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке M максимальный по модулю отрицательный элемент - это -8. Ведущей строкой будет та, для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является R1, а ведущий элемент: 8.

	X1	X2	X3	X4	Свободный член
F	0.75	-1	3.875	11	-7.5
X5	0.25	0	0.625	0	1.5
X6	-3	6	2	-2	5
M	0	0	0	0	0

 

В строке M отрицательные  элементы отсутствуют. Рассмотрим строку F в которой имеются отрицательные элементы, это означает что полученое решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -1 Ведущей строкой будет та для которой положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X6, а ведущий элемент: 6.

		X1		X6		X3		X4		Свободный член
F		0.25		0.167		4.208		10.667		-6.667
X5		0.25		0		0.625		0		1.5
X2		-0.5		0.167		0.333		-0.333		0.833
M	0		0		0		0		0

 

ОТВЕТ:

Так как исходной задачей  был поиск минимума, оптимальное  решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. Найдено оптимальное решение F=6.667 при значениях переменных равных: X5=1.5, X2=0.833,

 

2. Практическая часть

Задача 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Задача 2.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Исходные данные приведены ниже.

Питательные вещества	Количество  питательных веществ на 1 кг корма
	1-ый вид	2-ой вид
А В	2 2	1 4
Цена 1 кг корма, тыс. руб.	0,2	0,3

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решение: Введем обозначения:

Х1 - количество корма 1 вида;

Х2 - количество корма 2 вида.

Целевая функция  в данном случае затраты на корма  обоих видов. Требуется найти  такое распределение кормов обоих  видов, чтобы суммарные затраты  на покупку кормов были минимальны. При этом значения переменных должны находиться в области допустимых решений.

Целевая функция  задачи:

 f(X) = 0,2x₁ + 0,3x₂         min

Ограничения:

2х1+1х2>=6

2х1+4х2<=12

Прямые ограничения  означают, что область решений  будет лежат в первой четверти декартовой системы координат, отметим штриховкой эту область на рис.1.

Определим множество  решений первого неравенства:

2x₁ + x₂ = 6

X1	0	6
X2	3	0

Построим прямую  по двум точкам (0;6) и (3;0). На рисунке обозначим  её цифрой 1.

Аналогичным образом  построим область решения второго  неравенства:

2x₁ + 4x₂ = 12

X1	0	3
X2	6	0

 (на рисунке прямая 2).

Зададим произвольное значение для целевой функции.

0,2 x₁ + 0,3 x₂ = 3

X1	0	10
X2	15	0

   Через эти две  точки проведем линию уровня (пунктирная  прямая на рисунке).

Построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными функции f(X), т.е. (0,2;0,3). Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (0,2;0,3) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении.

В этом случае движение линии уровня осуществляем до её пересечения с точкой В. Следовательно, именно в этой точке достигается минимум целевой функции.

Определим координаты точки  В, являющейся точкой пересечения граничных прямых, решив систему уравнений:

2х1 + х2 = 6

2х1 + 4х2 =12

2x1+x2-2x1-4x2=6-12

-3х2 = -6  х2 = 2

2х1+2=6 2х1 =4 х1 =2

Ответ: В (2; 2) – min целевой функции.

Точка В является так  называемым оптимальным планом. В  точке В целевая функция принимает свое минимальное значение при заданной системе ограничений. Эта точка отвечает минимально возможным затратам на корма при заданной области допустимых решений. При заданной области допустимых решений отсутствует точка максимума для целевой функции. Смысл данного факта: затраты на корма при данной области допустимых решений никак не ограничиваются . Таким образом, целевая функция в задаче линейного программирования принимает, при заданной системе ограничений:

минимальное значение   min  f(X) = 0,2*2 + 0,3*2 = 1. (тыс. руб.);

максимальное  значение max f(X) = +∞ (функция неограниченна  сверху на области допустимых решений).

Ответ:   Чтобы затраты были минимальными необходимо расходовать 2ед. первого корма и 2 ед. второго корма.