Контрольная работа по Экономико-математические методы и прикладные модели

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

 высшего профессионального образования

«Всероссийский заочный  финансово-экономический институт»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине        Экономико-математические методы и прикладные модели

 

 

Тема __________ВАРИАНТ 6_____

 

 

 

 

 

 

Москва – 2012

 

 

 

Задача 1

 

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

Финансовый  консультант фирмы «АВС» консультирует  клиента по оптимальному инвестиционному  портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

 Анализируются  акции «Дикси – Е» и «Дикси  – В». Цены на акции: «Дикси  – Е» - 5 долл. за акцию; «Дикси  – В» - 3 долл. за акцию.

Клиент  уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам  «АВС», прибыль от инвестиций в эти  акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.

Задача  консультанта состоит в том, чтобы  выдать клиенту рекомендации по оптимизации  прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

1. Перенесём все вышеперечисленные величины в таблицу:

Вид дохода	Наименования акций		Запас средств
	Дикси-Е	Дикси-В
Переменные	Х1	Х2
Стоимость 1 акции	5	3	25000
Прибыль от инвестиции акций  в следующем  году	1,1	0,9

 

 

2) Математическая  формализация задачи.

Пусть: X₁ – количество акций «Дикси-Е»,

           X₂ – количество акций «Дикси-В».

Тогда стоимость  акций будет задаваться целевой  функцией:

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Ограничения по необходимому максимуму количества акций:

3) Для  получения решения графическим методом строим прямые:

X1	5000	0
X2	0	8333,3

Построим прямые ограничения (Рис. 1):

   (5000; 8333,3)

        (3500; 2500)

                (5000; 0)

                 (0; 5000)

и линию уровня:

   (0; 0); (4500; -5500)

X1	0	4500
X2	0	-5500

 

 

Построим  векто-градиент перпендикулярный линии уровня , При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

5х₁ +3 х₂ = 25 000         5х₁ +3 х₂ = 25 000         30000 – 5 х₂ + 3 х₂ = 25000

 х₁ + х₂ =  6000;            х₁ = 6000 – х₂;               х₁ = 6000 – х₂;

- 2 х₂ = -5000           х₂ = 2500

 х₁ = 6000 – х₂;          х₁ = 3500.

Точка С (3500;2500)

Значение целевой функции в  точке С (2500; 3500) равно:

Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси- Е - 3500 шт. и акций Дикси- В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл..

 

Для определения  минимума целевой функции линию уровня необходимо передвигать в обратном направлении вектора – градиента. Последней точкой ОДР в данном случае  будет являться т. О с координатами (0; 0). А минимальное значение ЦФ = 1,1*0 + 0,9*0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа  оптимального плана задачи линейного  программирования

На основании  информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования  ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. продукции			Запасы сырья
	А	Б	В
I II III	18 6 5	15 4 3	12 8 3	360 192 180
Цена изделия	9	10	16

 

 Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
• оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

 

 

Решение:

 

1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Обозначим переменные:

Пусть  х₁ – число единиц продукции A;

х₂ – число единиц продукции Б;

х₃ – число единиц продукции В.

Число ограничений исходной задачи линейного программирования соответствует  числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3. Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Оптимальный план выпуска продукции будем  искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

             

                                  

Теперь  будем искать  оптимальное решение  с помощью настройки «Поиск решения»:

 

В результате будет получена следующая  таблица:

   

Рисунок 3

Использование надстройки  «Поиск решение»  программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий x₁ =0; x₂ =8; x₃ =20. Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400.

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x₁ =0) ее можно не производить.

 

2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

Обозначим переменные:

Пусть  y₁ – цена единицы ресурса продукции A;

y₂ – цена единицы ресурса продукции Б;

y₃ – цена единицы ресурса продукции В.

Математическая  модель двойственной задачи имеет вид:

   g(y_1, y_2, y₃)= 360y₁ + 192y₂ + 180y₃   → min 

Найдем  решение двойственной задачи с помощью  теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности . Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₃ =0. Так как х₂ ≠ 0 и х₃ ≠ 0,то получаем систему уравнений:

                                

Двойственная  задача имеет оптимальное решение у* = ( , , ).

Сырье первого  типа имеет цену , сырье второго типа имеет цену , сырье третьего типа имеет цену 0.

Проверим  выполнение первой теоремы двойственности:

f(x^*) = 0+10·8+16·20 = 400

g(y^*) = 360 + 192 + 0 = 400       f(x*) = g(y*)

3) В прямой задаче х₁=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у₃=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

 

4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ = ), чем сырье первого типа (у₁ = ).

б) Определим, как изменится общая стоимость продукции:

Увеличение  запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на единиц.

Уменьшение  сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на единиц.

I  – возрастает на 45

II  – уменьшается на 9

По теореме  об оценках 

Таким  образом,  общая  прибыль  уменьшится  на 5  единиц   и   составит     400 – 5 = 395 ед.

Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II – уменьшить на 9 кг:

Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.

 

Так как х₁ = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

                       

 

                   

 

То есть оптимальный план выпуска будет  иметь вид:

х₁=0      х₂=14,5     х₃=15,625

 f(x^*) = 395 (ден.ед)

 

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Вычислим  величину

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

,  

-2,3 < 0, т.е. затраты на производство изделия Г меньше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого  вида, второе предприятие – продукции  второго вила, третье предприятие  – продукции третьего вида. Часть  выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами  управляющей компании получены экономические  оценки а_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции Y.