Контрольная работа по Экономико-математические методы и прикладные модели

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 20 Июня 2013 в 22:56, контрольная работа

Описание

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».
Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5 долл. за акцию; «Дикси – В» - 3 долл. за акцию.
Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.
По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.
Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Работа состоит из  1 файл

КОНТРОЛЬНАЯ экон-мат.методы.doc

— 1.34 Мб (Скачать документ)

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение

 высшего профессионального образования

«Всероссийский заочный  финансово-экономический институт»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине        Экономико-математические методы и прикладные модели

 

 

Тема __________ВАРИАНТ 6_____

 

 

 

 

 

 

Москва – 2012

 

 

 

Задача 1

 

Решить графическим методом  типовую задачу оптимизации

Финансовый  консультант фирмы «АВС» консультирует  клиента по оптимальному инвестиционному  портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

 Анализируются  акции «Дикси – Е» и «Дикси  – В». Цены на акции: «Дикси  – Е» - 5 долл. за акцию; «Дикси  – В» - 3 долл. за акцию.

Клиент  уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам  «АВС», прибыль от инвестиций в эти  акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1 долл.; «Дикси – В» - 0,9 долл.

Задача  консультанта состоит в том, чтобы  выдать клиенту рекомендации по оптимизации  прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии  к ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

  1. Перенесём все вышеперечисленные величины в таблицу:

Вид дохода

Наименования акций

Запас средств

Дикси-Е

Дикси-В

Переменные

Х1

Х2

 

Стоимость 1 акции

5

3

25000

Прибыль от инвестиции акций  в следующем  году

1,1

0,9

 



 

 

2) Математическая  формализация задачи.

Пусть: X1 – количество акций «Дикси-Е»,

           X2 – количество акций «Дикси-В».

Тогда стоимость  акций будет задаваться целевой  функцией:

Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Ограничения по необходимому максимуму количества акций:

3) Для  получения решения графическим методом строим прямые:

X1

5000

0

X2

0

8333,3


Построим прямые ограничения (Рис. 1):

   (5000; 8333,3)

        (3500; 2500)

                (5000; 0)

                 (0; 5000)

и линию уровня:

   (0; 0); (4500; -5500)

X1

0

4500

X2

0

-5500


 

 

Построим  векто-градиент перпендикулярный линии уровня , При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку С, это и есть точка максимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

1 +3 х2 = 25 000         5х1 +3 х2 = 25 000         30000 – 5 х2 + 3 х2 = 25000


 х1 + х2 =  6000;            х1 = 6000 – х2;               х1 = 6000 – х2;


- 2 х2 = -5000           х2 = 2500

 х1 = 6000 – х2;          х1 = 3500.

Точка С (3500;2500)

Значение целевой функции в  точке С (2500; 3500) равно:

Ответ: чтобы обеспечить оптимальную прибыль от инвестиций необходимо купить: акций Дикси- Е - 3500 шт. и акций Дикси- В - 2500 шт., при этом прибыль от двух видов купленных акций составит – 6100 долл..

 

Для определения  минимума целевой функции линию уровня необходимо передвигать в обратном направлении вектора – градиента. Последней точкой ОДР в данном случае  будет являться т. О с координатами (0; 0). А минимальное значение ЦФ = 1,1*0 + 0,9*0 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа  оптимального плана задачи линейного  программирования

На основании  информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования  ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид сырья

Нормы расхода сырья на ед. продукции

Запасы сырья

А

Б

В

 

I

II

III

 

18

6

5

 

15

4

3

 

12

8

3

 

360

192

180

Цена изделия

9

10

16

 

 

 Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
    • определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II – уменьшить на 9 кг;
    • оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

 

 

Решение:

 

1) Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Обозначим переменные:

Пусть  х1 – число единиц продукции A;

х2 – число единиц продукции Б;

х3 – число единиц продукции В.

Число ограничений исходной задачи линейного программирования соответствует  числу используемых для изготовления изделий типов сырья и равно 3. Зная цены изделий, нормы расхода сырья на их изготовление и запасы сырья, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Оптимальный план выпуска продукции будем  искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

             

                                  

Теперь  будем искать  оптимальное решение  с помощью настройки «Поиск решения»:

 

В результате будет получена следующая  таблица:

   

Рисунок 3

Использование надстройки  «Поиск решение»  программного средства позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий x1 =0; x2 =8; x3 =20. Целевая функция имеет максимальное для данных условий задачи значение f(x) = 400.

Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден. ед. необходимо изготовить 8 единиц продукции Б и 20 единиц продукции В, а продукция вида А убыточна (x1 =0) ее можно не производить.

 

2) Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

Обозначим переменные:

Пусть  y1 – цена единицы ресурса продукции A;

y2 – цена единицы ресурса продукции Б;

y3 – цена единицы ресурса продукции В.

Математическая  модель двойственной задачи имеет вид:

   g(y1, y2, y3)= 360y1 + 192y2 + 180y3   min 

Найдем  решение двойственной задачи с помощью  теоремы двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

Для нахождения оценок (у123) используем вторую теорему двойственности . Так как третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то у3 =0. Так как х2 ≠ 0 и х3 ≠ 0,то получаем систему уравнений:

                                

Двойственная  задача имеет оптимальное решение у* = ( , , ).

Сырье первого  типа имеет цену , сырье второго типа имеет цену , сырье третьего типа имеет цену 0.

Проверим  выполнение первой теоремы двойственности:

f(x*) = 0+10·8+16·20 = 400

g(y*) = 360 + 192 + 0 = 400       f(x*) = g(y*)

3) В прямой задаче х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль.

В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

 

4) а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

Так как цена третьего сырья у3=0, то сырье третьего типа не дефицитно.

Дефицитное  сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане  исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у2 = ), чем сырье первого типа (у1 = ).

б) Определим, как изменится общая стоимость продукции:

Увеличение  запасов сырья I типа на одну единицу приведет к росту прибыли на единиц.

Уменьшение  сырья II типа на одну единицу приведет к уменьшению прибыли на единиц.

I  – возрастает на 45

II  – уменьшается на 9

По теореме  об оценках 

Таким  образом,  общая  прибыль  уменьшится  на 5  единиц   и   составит     400 – 5 = 395 ед.

Определим, как изменится план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг., а II – уменьшить на 9 кг:

Предположим, что изменения производятся в пределах устойчивости двойственных оценок, т. е. не меняется структура оптимального плана.

 

Так как х1 = 0, а третье ограничение выполняется как строгое неравенство, то определим изменение плана выпуска из системы уравнений:

                       

 

                   

 

То есть оптимальный план выпуска будет  иметь вид:

х1=0      х2=14,5     х3=15,625

 f(x*) = 395 (ден.ед)

 

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг.

Вычислим  величину

Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:

,  

-2,3 < 0, т.е. затраты на производство изделия Г меньше его цены, следовательно, включать изделие Г в план производства выгодно, так как оно принесет дополнительную прибыль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

 

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого  вида, второе предприятие – продукции  второго вила, третье предприятие  – продукции третьего вида. Часть  выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами  управляющей компании получены экономические  оценки аij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции Y.

Информация о работе Контрольная работа по Экономико-математические методы и прикладные модели