Определение оптимального плана замены оборудования

Итак, суммарные затраты V(t) за период времени [0,t]:

V(t) = c0n(t) + b∙Zср∙t → min.

Используя соотношениe (1.1.3) и переходя к затратам в единицу времени (для этого разделим предыдущее выражение на t), получим:

V = c0∙    + b∙           → min.

Выразим Z_max через q (объем производственной партии). Это легко сделать, используя график движения запаса, представленный на рисунке 1.2.1, а именно, рассматривая некоторые треугольники и используя простейшие тригонометрические соотношения:

Zmax =   ( - ),

откуда:

V = c0∙    +      ∙( - ) → min.

Приравняем нулю производную:

Выразим q:

(1.2.1)

Выражение (1.2.1) используется для определения оптимального размера партии с модели с постепенным пополнением запаса.

Оптимальное значение "точки  заказа" S^* в этом случае, как и для однопродуктовой статической модели, находится из соотношения (1.1.6):

S* = .

"Точка заказа" в  данном случае представляет собой  уровень запаса, при котором следует  начать пуско-наладочные работы.

Данный метод не подходит, так как объект исследования не является одновременно потребителем и производителем изделия.

 

1.3 Вероятностные модели управления запасами

 

Модели управления запасами, рассмотренные нами выше, предполагали, что потребность в хранимых изделиях известна и постоянна. На практике в большинстве случаев потребность является переменной величиной, изменяясь ежедневно. В связи с эти необходимо иметь и поддерживать так называемый резервный (буферный) запас, обеспечивая определенный уровень защиты от дефицита изделий.

Резервный запас - это величина запаса, постоянно поддерживаемая дополнительно к ожидаемой потребности.

В случае нормального распределения  колебаний спроса это будет среднее  значение отклонений. Если, например, среднемесячная потребность составляет 100 изделий, и мы предполагаем, что в следующем  месяце она останется такой же, а запас составляет 120 единиц, то 20 единиц и будут резервным запасом.

Известны несколько подходов к установлению величины запаса, обеспечивающего  защиту от колебаний спроса. Один из них основывается на определении  ожидаемого количества изделий, которых  может не хватить. Например, можно  поставить задачу так: установить такой  уровень запаса, чтобы можно было удовлетворить не менее чем 95% заказов  на данную продукцию, т.е. дефицит изделий  будет существовать лишь в течение 5% всего времени. Таким образом, мы подошли к определению понятия "уровень обслуживания".

Уровень обслуживания – доля (процент) от общей величины спроса, которую можно реально получить из наличного запаса.

Если, например, годовая потребность  в некотором изделии составляет 1000 шт., то 95%-ый уровень обслуживания означает, что 950 шт. можно получить из запаса, а 50 шт. не хватит.

Концепция уровня обслуживания основана на статистической характеристике, известной как "Ожидаемое z или E(z)". E(z) – это ожидаемое количество изделий, которых будет не хватать на протяжении каждого интервала времени выполнения заказа.

Концепция предполагает, что  потребность в хранимой продукции  является нормально распределенной случайной величиной.

Чтобы определить уровень  обслуживания, необходимо знать, сколько  изделий не хватит.

Предположим, что среднемесячная потребность в каком-либо изделии  составляет 100 шт. ( = 100), а среднеквадратическое отклонение - 10 шт. ( = 10). Если в начале месяца в запасе имеется 110 ед., сколько изделий нам может не хватить?

Для ответа на этот вопрос придется вычислить сумму произведений:

E(z) = 1∙P( =111) + 2∙P( =112) + 3∙P( =113) + ...,

где P( =111) - вероятность того, что потребуется 111 шт., т.е. не хватит одного изделия;

P( =112) - вероятность того, что потребуется 112 шт., т.е. не хватит двух изделий;

P( =113) - вероятность того, что потребуется 113 шт., т.е. не хватит трех изделий и т.д.

Такое суммирование даст нам  количество изделий, которых может  не хватить, если запас в начале месяца составляет 110 шт.

Решение такой задачи - достаточно трудоемкий процесс. Однако в настоящее время значения E(z) табулированы. Соответствующая статистическая таблица (так называемая таблица Брауна) показывает зависимость ожидаемого дефицита изделий (E(z)) от резервного запаса, выраженного в стандартных отклонениях спроса (z). При этом табличные значения приведены к стандартному отклонению спроса, равному единице.

Данный метод не подходит из-за допущения о дефиците товара.

 

1.4 Модель, учитывающая количественные скидки

Модели управления запасами, рассмотренные нами ранее, несмотря на существенные отличия, все же имели  общую особенность - стоимость изделий  была постоянной при любом объеме заказа.

Модель, которую мы рассмотрим в данном подразделе, описывает порядок  определения оптимальной величины заказа для случая, когда цена единицы  изделия меняется в зависимости  от объема заказа.

Количественные скидки – снижение закупочной цены при покупке более крупных партий товара.

Скидки предоставляются  с тем, чтобы убедить потребителей покупать как можно больше.

Дальнейшее изложения  материала будем сопровождать рассмотрением  примера.

Компания, занимающаяся производством  медицинских препаратов, выпустила  прайс-лист на хирургические бинты. Соответствующие данные представлены в таблице 1.4.1.

 

Таблица 1.4.1 - Прайс-лист на хирургические бинты

Объем партии, коробки	Цена за коробку, $
от 1 до 44  от 45 до 69  70 и выше	2,00  1,70  1,40

 

Итак, в данном случае, затраты  на собственно покупку продукции  должны включаться в целевую функцию  модели.

Общие расходы складываются из трех составляющих:

V(t) = c0n(t) + b∙Zср∙t + c1d(t) → min.

(1.4.1)

Напомним, что в данном случае c₁ - закупочная цена единицы товара.

В однопродуктовой статической модели при определении q^* закупочная цена не учитывалась, поскольку она не оказывала влияния на величину оптимального объема партии.

Когда условия предполагают наличие количественных скидок, для  каждой закупочной цены имеется отдельная U-образная кривая общих расходов (рисунок 1.4.1). Кривые подняты на разный уровень - меньшая закупочная цена поднимает кривую общий расходов на меньший уровень, большая - на больший.

Однако ни одна кривая не относится ко всем возможным значениям  объема партии; каждая кривая относится  только к части диапазона значений. Реальный показатель общих расходов сначала находится на кривой с  максимальной закупочной ценой, а затем  опускается вниз, последовательно, кривая за кривой, в точках изменения цены. Точка изменения цены - это минимальный  объем партии, необходимый для  получения скидки. В примере с  бинтами - это 45 и 70 коробок. В результате получается кривая общих расходов - ступенчатая в точках изменения цены. На рисунке 1.4.1 такая кривая показана жирной линией.

 

Рисунок 1.4.1 – Кривые общих затрат в модели количественных скидок

 

Как видно из рисунка 1.4.1, каждая кривая имеет свою точку минимума, однако, не все точки реально применимы. Например, на рисунке минимум для кривой $1,40 находится в точке, приблизительно соответствующей объему партии 55 коробок. Но прайс-лист из таблицы 1.4.1 показывает, что закупочная цена для заказа объемом 55 коробок будет $1,70 за коробку. Реальная кривая общих расходов изображена на рисунке ступенчатой линией. Только такие соотношения цены и объема закупок реальны.

Цель модели количественных скидок – определение такого объема заказа, который даст минимальные  общие расхода для всего набора кривых.

Существуют два основных варианта модели количественных скидок. Для них процедура поиска точки q* несколько отличается.

Рассмотрим оба варианта.

Особенность первого варианта - стоимость хранения (b) постоянна и не зависит от закупочной цены. В этом случае для всех кривых точка минимума будет единой (см. рисунок 1.4.2).

Кривые общих расходов отличаются лишь тем, что более низкие закупочные цены отражены на более  низкой кривой общих расходов.

 

Рисунок 1.4.2 – Первый вариант модели количественных скидок. Кривые общих затрат

 

Для первого варианта модели процедура оптимального объема партии состоит в следующем.

1. По формуле Уилсона  (1.1.5) рассчитать q – единую точку минимума для всех кривых.

2. Поскольку диапазоны  цен не перекрываются, только  одна закупочная цена будет  иметь рассчитанную точку q в  своём реальном диапазоне. Если  реальный q находится в наименьшем  диапазоне цен, то это и будет  оптимальный объем заказа q^*.

Если реальный q находится  в другом диапазоне, то необходимо рассчитать общие затраты (по формуле (1.4.1)) для q и для всех точек изменения цены с меньшей закупочной стоимостью. Та точка, для которой расходы окажутся наименьшими, будет являться оптимальным размером партии q^*.

Второй вариант модели. Здесь стоимость хранения определяется как процент от закупочной цены. В этом случае каждая кривая будет иметь свою точку минимума. По мере снижения закупочной цены каждая последующая точка минимума будет располагаться справа от предыдущей точки, находящейся на более высокой кривой. Ситуацию иллюстрирует рисунок 1.4.3.

 

Рисунок 1.4.3 – Второй вариант модели количественных скидок. Кривые общих затрат

Процедура определения оптимального объема заказа в этом случае такова.

1. Начиная с наименьшей  цены, рассчитывать по формуле  Уилсона точку минимума для  каждого диапазона цен, пока  не отыщется реальный q (т.е. пока  полученное значение q не попадет  в реальный диапазон объема  партии для своей цены).

2. Если реален q для самой  низкой цены, то он и будет  оптимальным объемом заказа q^*.

Если реальный q не попадает в диапазон минимальной цены, то необходимо сравнить общие расходы (пользуясь формулой (1.4.1)) в точках изменения цены для всех меньших цен и общие затраты для наименьшего реального q. Тот объем партии, который даст минимальные общие расходы, и будет оптимальным q^*.

Решить проблему с помощью  данной модели невозможно, так как  дистрибьютор не предоставляет скидок.

 

1.5 Однопериодная модель

 

Такая модель применяется  при заказе скоропортящихся продуктов  и предметов с ограниченным сроком годности. Это, например, свежие фрукты и овощи, живая рыба, цветы, газеты, журналы.

Для данной категории товаров  характерной чертой является тот  факт, что непроданные (или неиспользованные) товары не хранятся более одного периода.

Или же, если такая ситуация возникает, то происходит уценка продукции. Например, вчерашний хлеб может продаваться  по сниженным ценам, несвежую рыбу списывают, старые журналы сдают в букинистические  магазины или пункты приема макулатуры.

Иногда возникают даже определенные расходы, связанные с  избавлением от испорченных или  просроченных товаров.

Ситуацию, о которой идет речь, иногда называют "задачей уличного разносчика газет". Решение такой  задачи предполагает ответ на вопрос: сколько газет должен заказывать каждый день уличный разносчик газет?

Анализ однопериодной  модели сфокусирован на двух видах  затрат:

1) издержки, связанные с  нехваткой запасов; 

2) издержки, связанные с  излишком запасов. 

Рассмотрим оба вида издержек.

Издержки нехватки включают в себя потери от нереализованных продаж. Этот вид издержек выражается как нереализованная прибыль на единицу товара:

 

Cs

=

Выручка от реализации  единицы продукции

-

Закупочная цена  единицы продукции.

 

Издержки избыточных запасов образуются в случае, если часть товара осталась нереализованной к концу периода.

Издержки избытка –  разность между закупочной ценой  единицы товара и выручкой от экстренной реализации:

 

Ce

=

Закупочная цена  единицы продукции

-

Выручка от экстренной  реализации единицы товара  по окончании периода.

 

Если возникают дополнительные расходы, связанные с реализацией  или избавлением от избыточных запасов, тогда выручка от экстренной реализации становится величиной отрицательной  и повышает издержки от избыточных запасов.

Задача однопериодной  модели – определить объем заказа, который обеспечит минимальные  издержки, связанные с недостаточными или избыточными запасами.

Будем рассматривать два  случая.

1. Спрос на хранимый  товар близок к непрерывному  распределению (например, к нормальному  или равномерному).

2. Спрос на хранимый  товар близок к дискретному  распределению.