Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Декабря 2011 в 13:55, контрольная работа

Описание

Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Задача № 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

Содержание

Задача № 1……………………….…………………………………………..3
Задача № 2…………………...………………………………………………6
Задача № 3 …………………………………………………………………10
Задача № 4 …………………………………………………………………14
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА………………………………………...……20
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………32

Работа состоит из  1 файл

контр. по эмм..doc

— 789.50 Кб (Скачать документ)

СОДЕРЖАНИЕ 
 

   Задача  № 1……………………….…………………………………………..3

   Задача  № 2…………………...………………………………………………6

   Задача  № 3 …………………………………………………………………10

   Задача  № 4 …………………………………………………………………14

   ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА………………………………………...……20

   СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задача  № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации. 
 

      Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

      Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?        Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? 

Решение

      Введем обозначения:

      х1 — инвестиции в акции концерна А.

      х2 — инвестиции в акции строительного предприятия В.

      Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

     

     

     

     

     

      Построим ОДР задачи:

      Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

      Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

      I. (0;300) (300;0)

      т.(0;0) –  входит в ОДР;

      II. (200; 100), (0;0).

      т.(1;0) – входит в ОДР;

      III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

     т.(0;0) – входит в ОДР.

Рисунок № 1.

 

      Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

      Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

      Построим некоторую линию уровня 0,08х1+0,1х2=а.

      Пусть, например, а = 0

      (0;0) (100;-80)

      Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

      При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

      Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых:

     

     

      х1 = 200;

      Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 100; х2 = 200 максимальное значение, равное

      f(х12) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

      Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

Тип сырья Нормы расхода  сырья на одно изделие Запасы  сырья
А Б В Г
I 1 2 1 0 18
II 1 1 2 1 30
III 1 3 3 2 40
Цена  изделия 12 7 18 10  

      Таблица 1 «Сырьё»

      Требуется:

      1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум

выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

      2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

      3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

      4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

      - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

      - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

      - оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение

     

      1. Обозначим через хj = 1-4 – количество продукции каждого вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции»:

     

     

     

     

     

      Оптимальный план задачи получен с помощью надстройки Excel Поиск решения:

      Рисунок  2 «Поиск решения»

      Оптимальный план: Х1=18, Х2=0, Х3=0, Х4=11

      Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (х1 = 18, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 11)

      1 х 18 + 2 х 0 + 1 х 0 + 0 х 11 = 18

      1 х 18 + 1 х 0 + 2 х 0 + 1 х 11 = 29 < 30

      1 х 18 + 3 х 0 + 3 х 0 + 2 х 11 = 40

      Значение целевой функции на этом плане равно:

      f (X) = 12 х 18 + 7 х 0 + 18 х 0 + 10 х 11 = 326

 

    

      2. Двойственная задача имеет вид:

      min (18у1+30у2+40у3)

     

     

     

     

     

      Для нахождения оценок (у123) используем вторую теорему двойственности.

      Т.к. как 2-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то у2=0.

      Так как х1>0 и х4>0, то для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

      у2 = 0

     

     

      у1 = 7, у2 = 0, у3 = 5.

      Значение целевой функции составит:

      min φ(Y) = 18 х 7 + 30 х 0 + 40 х 5 = 326

      f(Х) = φ (Y) = 326

      3. Нулевые значения х2, х3 обозначает то, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.

      4. Прирост объемов сырья первого типа на единицу дает приращение стоимости на 7 у.е., третьего типа – на 5 у.е., второго типа – не приведет к изменению стоимости. Недефицитным является сырье второго типа. Острее ощущается дефицит сырья первого типа, чем третьего.

      Так как изменение сырья II вида не приведет к изменению стоимости получим:

     

     

      Х = (х1 = 22, х2 = 0,х3 = 0, х4 = 15)

      Соответственно выручка увеличится на 78 у.е. и составит 404 у.е.

      Изделие «» в план включать невыгодно, т.к. 7 х 2 + 0 х 2 + 5 х 2 – 10 = 14 >0.

Задача  № 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

 

      Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.

     Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

     Специалистами управляющей компании получены экономические  оценки aij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Вариант № Для первой строки Для второй строки Для третьей  строки
ЗА ЗБ
1 0,1 0,2 0,1 200 0,2 0,1 0,0 150 0,0 0,2 0,1 250

      Таблица  2 «Элементы матрицы»

Предприятия (виды продукции) Коэффициенты  прямых затрат aij Конечный  продукт Y
1 2 3
1 ЗА
2 ЗБ
3

Информация о работе Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"