Экономико-математические методы в управлении

Таким образом, получили, что наиболее предпочтительны кандидаты  под номерами 1, 4, 3 (в порядке убывания).

 

Задание 3. Дан временной ряд, характеризующий месячную динамику прибыли  в сфере услуг фирмы.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
	40	43	39	44	52	55	59	65	67	73	92	86	105	93	110

Определить оптимальный  тренд, проверить его адекватность и автокорреляцию  и рассчитать точечный прогноз на последующие  пять месяцев.

Решение.

Задачи данного типа удобно решать с помощью MS Excel, т.к. с помощью пакета анализа данным можно легко построить линию тренда. В этой задаче по условию дана линейная зависимость.

При оценке используют коэффициент  детерминации  R² = 0,9383 (выводится в области диаграммы при построении линии тренда) – значит, уравнение тренда отражает тесную зависимость двух параметров (динамику прибыли фирмы в сфере услуг в течение 15 месяцев) с достоверностью 94%. Следовательно, можно говорить о прогнозе на ближайшие 5 месяцев.

Чтобы оценить адекватность полученного тренда, можно воспользоваться  Пакетом анализа в MS Excel:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,969
R-квадрат	0,938
Нормированный R-квадрат	-1,154
Стандартная ошибка	6,169
Наблюдения	1
Дисперсионный анализ
	df	SS		MS	F
Регрессия	15	7529,657		501,977	197,851
Остаток	13	494,743		38,057
Итого	28	8024,400

 

Нормированный R-квадрат численно равен модулю коэффициента парной корреляции r_yt. Полученное численное значение практически равно 1, значит, можно говорить о тесной линейной зависимости.

Множественный R показывает уровень корреляции. В данном случае он достаточно высок, значит, полученные сведения достоверны.

Для оценки автокорреляции построим кореллограмму. Выборочный коэффициент корреляции r_τ определяется по формуле коэффициента корреляции, которой x_i = y_t, y_i = y_t+τ, n = n – τ:

Рассмотрим два лага τ=1 и τ=2.

Для лага 1 получим:

yτ	40	43	39	44	52	55	59	65	67	73	92	86	105	93
yτ+1	43	39	44	52	55	59	65	67	73	92	86	105	93	110

Вспомогательная таблица 

	yτ	yτ+1	yτ yτ+1
	40	43	1720	1600	1849
	43	39	1677	1849	1521
	39	44	1716	1521	1936
	44	52	2288	1936	2704
	52	55	2860	2704	3025
	55	59	3245	3025	3481
	59	65	3835	3481	4225
	65	67	4355	4225	4489
	67	73	4891	4489	5329
	73	92	6716	5329	8464
	92	86	7912	8464	7396
	86	105	9030	7396	11025
	105	93	9765	11025	8649
Сумма	820	873	60010	57044	64093

 

Тогда получим:

Для лага 2 получим:

yτ	40	43	39	44	52	55	59	65	67	73	92	86	105
yτ+1	39	44	52	55	59	65	67	73	92	86	105	93	110

Вспомогательная таблица 

	yτ	yτ+1	yτ yτ+1
	40	39	1560	1600	1521
	43	44	1892	1849	1936
	39	52	2028	1521	2704
	44	55	2420	1936	3025
	52	59	3068	2704	3481
	55	65	3575	3025	4225
	59	67	3953	3481	4489
	65	73	4745	4225	5329
	67	92	6164	4489	8464
	73	86	6278	5329	7396
	92	105	9660	8464	11025
	86	93	7998	7396	8649
Сумма	715	830	53341	46019	62244

 

Тогда получим:

.

 

 

 

Дальнейшие расчеты  для лагов τ=3 … 8 приведены в таблице

Лаг	Коэффициента автокорреляции уровней
1	0,952
2	0,977
3	0,949
4	0,972
5	0,978
6	0,975
7	0,893
8	0,962

 

Анализ значений автокорреляционной функции показывает, наличие линейной однородной зависимости.

 

Точечный прогноз  на следующие 5 месяцев находится для t=16, …,20

 

t
1	31,900
2	37,085
3	42,271
4	47,457
5	52,643
6	57,828
7	63,014
8	68,200
9	73,385
10	78,571
11	83,757
12	88,942
13	94,128
14	99,314
15	104,500
16	109,685
17	114,871
18	120,057
19	125,242
20	130,428

 

 

Задание 4. По ряду районов края определены: среднесуточное количество йода в воде и пище и пораженность населения заболеванием щитовидной железы.

 

Номер района	Количество йода в  воде и пище, усл. ед.	Пораженность населения  заболеванием щитовидной железы, %
1	201	0,9
2	178	1,6
3	155	1,1
4	154	2,8
5	126	2,5
6	81	3,4
7	71	6,9

Для оценки тесноты связи  пораженности заболеванием щитовидной железы с количеством йода в воде и пище определите коэффициент корреляции рангов Спирмена и проверьте его значимость.

Решение.

Номер района	Количество йода в  воде и пище, усл. ед. (x)	Пораженность населения  заболеванием щитовидной железы, % (y)	V Ранг признака x	W Ранг признака y	V – W	(V – W)2
1	201	0,9	7	1	6	36
2	178	1,6	6	3	3	9
3	155	1,1	5	2	3	9
4	154	2,8	4	5	-1	1
5	126	2,5	3	4	-1	1
6	81	3,4	2	6	-4	16
7	71	6,9	1	7	-6	36
				Сумма	0	108

 

Имеем .

Для проверки существования положительной корреляционной связи между количеством йода в воде и пище и пораженностью населения заболеваниями щитовидной железы используем статистику t-Стьюдента с v=n-2 степенями свободы .

Нулевая гипотеза Н₀: коэффициент корреляции не является статистически значимым, гипотеза Н₁: существует положительная корреляционная зависимость между данными признаками. При уровне значимости α = 0,05 имеем t _кр = t _0,05;5 = 2,02, . Получили, что , значит, связь между количеством йода в воде и пище и пораженностью населения заболеваниями щитовидной железы является статистически значимой.