Анализ различных факторов, влияющих на формирование цен на двухкомнатные квартиры на рынке первичного жилья

Базовая идея состоит в том, что общая дисперсия признака раскладывается на составляющие, каждая из которых характеризует влияние того или иного фактора.

                                                  Q=QA+Qo,                                                            (6)

где Q – общая дисперсия,

   QA – дисперсия (рассеяние характеризуется влиянием фактора А),

    Qo – остаточная дисперсия (рассеяние характеризуется влиянием других случайных факторов).

                                                                                              (7)

                                                                                            (8)

где m – количество групп,

      n – количество единиц в каждой группе,

        - среднее значение признака.

Затем рассчитываются оценки дисперсий:

                                                                                                           (9)

                                                                                                   (10)

На основе оценок дисперсий рассчитывают расчетное значение критерия Фишера, которое затем сравнивают с критическим.

                                                                                                             (11)

Выдвигается гипотеза об отсутствии влияния фактора на показатель.

Если Fр>Fкр, то гипотеза отвергается, следовательно, делается вывод, что фактор влияет на исследуемый показатель. [1,стр.8-13]

2.4  Корреляционный анализ

Любой экономический показатель связан с другими. Исследование таких взаимосвязей – важнейшая задача статистики.

Различают два вида связей, существующих между показателями, – функциональные и стохастические.

Функциональной называется зависимость, при которой одному значению факторного признака строго соответствует единственное значение результативного признака. Стохастическая зависимость характеризуется тем, что результативный признак не полностью определяется факторным признаком, его влияние проявляется в среднем при достаточно большом числе наблюдений.

Наиболее часто для исследования стохастических зависимостей используют метод корреляции.

К изучению связи методом корреляции обращаются в том случае, когда нельзя изолировать влияние посторонних факторов. При этом число наблюдений должно быть достаточно велико, так как малое число наблюдений не позволяет обнаружить закономерность связи.

Первая задача корреляции заключается в математическом выражении изменения результативного признака в связи с изменением одного или несколько факторных признаков. Данная задача решается определением уравнения регрессии и носит название регрессионного анализа. Вторая задача состоит в определении степени влияния искажающих факторов – различных показателей тесноты связи и называется корреляционным анализом.

Для оценки тесноты связи прямолинейной зависимости используется линейный коэффициент корреляции (r)

                                                                                                          (12)

или

                                      .                               (13)

Линейный коэффициент корреляции может изменяться от -1 до +1. Чем ближе значение r по абсолютной величине к единице, тем теснее связь. Если r>0, то связь между факторным и результативным признаками прямо пропорциональная, если r<0, то обратно пропорциональная.

Проверка значимости коэффициента корреляции осуществляется с помощью следующей нулевой гипотезы: Н₀: ρ=0, где ρ – коэффициент линейной корреляции в генеральной совокупности.

В зависимости от объема выборки:

1) Если n>50, то распределение данного коэффициента считается нормальным. Расчетное значение определяется по формуле:

                                             Fр= ,                                                             (14)

где r – коэффициент линейной корреляции;

n – объем выборки.

Критическое значение берем из таблицы нормального распределения с уровнем значимости α/2.

Если критическое значение оказывается меньше расчетного, то делается вывод о том, что коэффициент корреляции незначим.

2) Если n<50, то в предположении справедливости нулевой гипотезы рассчитывается статистика:

                                             Fp= .                                                             (15)

Критическое значение берем из таблицы распределения Стьюдента с (n-2) степенями свободы.

Выводы делаются аналогичным образом.

2.5 Множественная корреляция

Коэффициент множественной корреляции характеризует максимальную величину силы связи зависимой переменной Y и независимых переменных Xj, обозначают его или просто R.

В общем виде коэффициент множественной корреляции R может быть рассчитан из соотношения дисперсионных сумм :

                                                                                                                                    (16)

где - выровненные (теоретические) значения зависимой переменной (Y), полученные по данным регрессионной модели ;

-  средняя, рассчитанная по теоретическим значениям;

y - фактические значения зависимой переменной;

- средняя, исчисленная по фактическим значениям зависимой переменной.

              Когда известна матрица парных корреляций R, коэффициент множественной корреляции получают, решив матричное уравнение вида

                                                                                                                      (17)

где - определитель матрицы парных корреляций;

- определитель матрицы парных корреляций, в которой вычеркнуты строка и столбец, характеризующие связи независимых переменных Xj с зависимой переменной Y.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; изменяется в пределах от 0 до 1.

Зная коэффициент множественной корреляции, коэффициент множественной детерминации определяют просто как .             

Множественный коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных (аргументов), входящих в модель.             

Значимость множественного коэффициента корреляции проверяется по F - критерию. Например, для множественного коэффициента корреляции проверка значимости сводится к проверке гипотезы, что генеральный множественный коэффициент корреляции равен нулю, т. е. H0: , а наблюдаемое значение статистики находится по формуле:

                                                                                                   (18)

              Множественный коэффициент корреляции считается значимым, т. е. имеет место линейная статистическая зависимость, между X1 и остальными факторами X2,...,Xm, если: Fнабл. > Fкр.(α, m-1, n-m), где Fкр определяется по таблице F - распределения для заданных α, = m-1,  = n-m.              

2.6 Множественная регрессия

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т.е. модель вида:

                                                                              (19)

Если нельзя контролировать поведение отдельных переменных, т. е. не удается обеспечить равенство всех прочих условий для оценки влияния одного исследуемого фактора, то в этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. построить уравнение множественной регрессии.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Пусть результативный признак Y зависит от k факторных признаков. Необходимо  определить y=f(x1,x2… xk), в частности,

                                                                      (20)

при линейной форме связи

С помощью МНК необходимо оценить значение коэффициента bi таких, чтобы

  При нахождении неизвестных коэффициентов уравнения                              методом  МНК получим формулу для их определения:

(21)

Для определения значимости коэффициента bj используется статистика:    

                                                                                                               (22)

где Sbj – дисперсия j-го коэффициента:

                                               ,                                                              (23)

тогда

                                                    ,                      (24)
- диагональный элемент матрицы, ошибка уравнения.

Эти расчетные значения в предположении справедливости нулевой гипотезы Н0: b1=b0=0 (т.е. коэффициенты не значимы) распределены по закону Стьюдента с (n-k-1) степенями свободы, где n – объем выборки; k –количество факторов.

                                      ,                                                                                 (25)

где n – размерность Х,

m – количество коэффициентов уравнения регрессии.

Если единицы измерения  факторов различны: чтобы сделать сопоставимыми применяют нормированные коэффициенты регрессии:

                                                                                                                 (26)

i показывает величину изменения результативного фактора в значениях среднеквадратического отклонения при изменении факторного признака Xj на одну среднеквадратическую ошибку.

                                                                                                                                  (27)

Проверка качества уравнения регрессии заключается в следующих действиях:

1) проверка значимости всех  bj;

2) проверка общего качества уравнения регрессии с помощью коэффициента множественной детерминации R2.

3) Проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось при оценивании уравнений. Ошибки ej распределены по нормальному закону, нормированному закону.

s2=const.

Для проверки общего качества уравнения регрессии используется коэффициент детерминации:

.                                                                            (28)

[2, стр. 16-28]

8

2.7    Метод наименьших квадратов. Предпосылки метода наименьших квадратов

Для получения несмещенных, эффективных и состоятельных оценок параметров регрессионной модели необходимо выполнение следующих предпосылок:

1. Возмущение i (i=1, 2, …, n) есть величина случайная, а факторы X1, X2, …, Xp — величины неслучайные. Это означает, что вектор возмущений  — случайный вектор, а матрица значений факторов X — неслучайная (детерминированная).

Проверка выполнения этой предпосылки может проводиться с помощью разных критериев. Наиболее простыми из них являются метод серий и метод поворотных точек, которыми исследуется ряд остатков регрессии. Иногда достаточным оказывается визуальный анализ графика (графиков) остатков.

2. Математическое ожидание возмущения равно нулю i:

                              (i=1, 2, …, n).                                       (29)

Другими словами, математическое ожидание вектора возмущений  есть нулевой вектор размера n:

                                               .                                                     (30)

Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей и моделей, нелинейных по переменным. Для моделей, нелинейных по параметрам и приводимых к линейному виду логарифмированием, предпосылка выполняется для логарифмов исходных данных.

3. Дисперсия возмущения одинакова для всех наблюдений результата Y:

                          (i=1, 2, …, n)                                             (31)

Это условие называется условием гомоскедастичности или равноизменчивости возмущений. Выполнение этой предпосылки может проверяться разными методами. Гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения одинакова для всех значений  .