Кинематика вращательного и поступательного движения
Содержание
- Кинематика поступательного движения
- Равномерное прямолинейное движение
- Неравномерное движение
- Равнопеременное прямолинейное движение
- Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх
- Движение тела, брошенного под углом к горизонту и брошенного горизонтально с некоторой высоты
- Равномерное движение точки по окружности
- Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- Примеры решения задач
- История кинематики
Введение
- Кинематика - наука, изучающая состояние движения независимо от вызывающих его сил, и получившая название от греческого слова cinhm(-состояние движения и составляющая часть общей науки о движении -механики. Цель ее состоит в изучении геометрических свойств движения,скоростей и ускорений: для достижения этой цели пользуются анализом и геометрией. К. называют геометрией четырех измерений, так как она имеет дело с тремя координатами пространства и еще с четвертым переменным,представляющим собой время. Скорости представляются первыми производными от координата по времени,ускорение - вторыми производными и еще, кроме того, рассматриваются производные от координат по времени высших порядков, называемые ускорениями высших порядков. С аналитической точки зрения, вся К. сводится к изучению соотношений, существующих между этими величинами.
Кинематика
- В последнее время явилось стремление к изучению К. чисто геометрическими способами. Первые, весьма общие кинематические теоремы,чисто геометрического характера, даны были знаменитым Пуансо (Poinsot) в его "Theorie
nouvelle de rotation des corps" в 1834 году. Если рассматривать движение таких систем, все точки которых движутся в плоскостях параллельных между собой, то дело приводится к рассмотрению движения плоских фигур в плоскости (К. на плоскости). Перемещение не изменяемой фигуры в плоскости вполне определяется перемещением неизменяемо соединенного с той фигурой прямолинейного отрезка. Всякое же перемещение в плоскости прямолинейного отрезка из одного положения в другое может быть произведено вращением отрезка около некоторой точки,называемой центром перемещения. К. изучает и движение изменяемых систем.Скорости поступательные, скорости вращения и ускорения изображаются прямолинейными отрезками и складываются по правилам сложения векторов.
- Кинематика поступательного движения
- При поступательном движении тела все точки тела движутся одинаково, и, вместо того чтобы рассматривать движение каждой точки тела, можно рассматривать движение только одной его точки.
Основные понятия кинематики
- Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин этого движения
- Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени
Тело отсчёта
- Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчета Система координат, связанная с телом отсчета, и часы для отсчета времени образуют систему отсчета, позволяющую определять положение движущегося тела в любой момент времени. В Международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр, а за единицу времени – секунда.
Материальная точка
Траектория
- Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение.
- Всякое тело имеет определенные размеры. Различные части тела находятся в разных местах пространства. Однако, во многих задачах механики нет необходимости указывать положения отдельных частей тела. Если размеры тела малы по сравнению с расстояниями до других тел, то данное тело можно считать его материальной точкой. Понятие материальной точки играет важную роль в механике. Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела. Так можно поступать, например, при изучении движения планет вокруг Солнца.
Способы задания движения
точки
- Положение материальной точки в пространстве в любой момент времени (закон движения) можно определять либо с помощью зависимости координат от времени x = x(t), y = y(t), z = z(t) (координатный способ), либо при помощи зависимости от времени радиус-вектора (векторный способ), проведенного из начала координат до данной точки
Естественный способ
- При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положительное и отрицательное направления отсчета.
Положение точки на
траектории однозначно определяется
криволинейной координатой S, измеряемой
вдоль траектории. Зависимость
S = f(t)
называется уравнением
движения в естественной форме.
Перемещение
- Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.
- Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.
- Если движение тела рассматривать в течение достаточно короткого промежутка времени, то вектор перемещения окажется направленным по касательной к траектории в данной точке, а его длина будет равна пройденному пути. В случае достаточно малого промежутка времени Δt пройденный телом путь Δl почти совпадает с модулем вектора перемещения При движении тела по криволинейной траектории модуль вектора перемещения всегда меньше пройденного пути
Касательное и нормальное
ускорения
- Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю. Вектор направлен по касательной к траектории.
- Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент. Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
2.Равномерное прямолинейное
движение
- Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Скорость
- Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени
Уравнение равномерного
движения
- Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v, на эту ось, для проекций ∆rx = |∆r| и ∆vx = |∆v| этих векторов мы можем получаем уравнение равномерного движения:
∆rx = vx · t .
Координаты тела
- Т.к. при равномерном прямолинейном движении S = |∆r|, можем записать: Sx = vx · t. Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем:
х = х0 + Sx = х0 + vx · t,
где х0 - координата тела в
начальный момент t = 0.
3.Неравномерное движение
- Движение, при котором за равные промежутки времени тело совершает неравные перемещения называют неравномерным или переменным.
- При движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени Δt можно задать с помощью вектора. Вектор изменения скорости за малое время Δt можно разложить на две составляющие: направленную вдоль вектора (касательная составляющая), и направленную перпендикулярно вектору (нормальная составляющая).
Средняя скорость и
её модуль
- Для характеристики движения вводится понятие средней скорости
- Средней скоростью называется величина, равная отношению перемещения тела ∆r за некоторый промежуток времени ∆t к этому промежутку
- Модуль средней скорости определяется как отношение пути ∆S, пройденного телом за некоторый промежуток времени, к этому промежутку
Мгновенная скорость
- При неограниченном уменьшении ∆t, v стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью. Итак, мгновенная скорость v есть предел, к которому стремится средняя скорость v, когда промежуток времени движения стремится к нулю
- Мгновенная скорость v есть векторная величина, равная первой производной радиуса - вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения
- По мере уменьшения ∆t путь ∆S все больше будет приближаться к |∆r|, поэтому модуль мгновенной скорости
- Мгновенная скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к траектории в этой точке. Различие между средней и мгновенной скоростями показано на рис.
Среднее ускорение
- При неравномерном движении тела его скорость непрерывно изменяется. Как быстро изменяется скорость тела, показывает величина, которая называется ускорением.
- Средним ускорением неравномерного движения в интервале от t до t + ∆t называется векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆v к интервалу времени ∆t
Мгновенное ускорение
- Мгновенным ускорением (или просто ускорением) тела называют предел отношения малого изменения скорости к малому промежутку времени Δt, в течение которого происходило изменение скорости
- Таким образом, ускорение ∆а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени. В данной системе отсчета вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекциями ах, ау, аz).