Кинематика вращательного и поступательного движения

 

 

 

 

Линейная скорость

 

• Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:

 

 

 

 

• При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы ( ∆φ = const ), и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости ( ω = ωcp ). Тангенциальные ускорения aτ у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют ( aτ = 0 ), а нормальное (центростремительное ) ускорение an какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения.
• Вектор an направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.

 

Равномерное вращательное  движение

 

 

 

 

Неравномерное вращательное  движение

 

• При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела ω с течением времени изменяется.

 

 

 

 

 

Среднее угловое ускорение

 

• Средним угловым ускорением εср в промежутке времени ∆t = t2 - t1 называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆ω = ω2 - ω1 вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка
• Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково ( ∆ω12 = ∆ω34 и т.д.), тоεср = const (равнопеременное вращение).

 

 

 

 

Угловое ускорение

 

• Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

 

 

 

 

• Изменение ∆ω угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном вращательном движении с угловым ускорением ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t - t0). Если при t0 = 0 начальная угловая скорость тела равна ω0, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет ω = ω0 + ε·t.

 

 

 

 

• Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t0 при равнопеременном движении:
• Тангенциальная составляющая ускорения:
• Нормальная составляющая ускорения:

 

 

 

 

 

• Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: S = R·φ, υ = ω·R, aτ = R·ε, an = ω2·R.

 

 

 

 

9.Примеры решения задач

 

 

 

 

Равномерное прямолинейное  движение 

 

• Пример 1. Уравнение движения тела дано в виде х = 4 - 3t. Определить начальную координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды.

 

Дано:

х = 4 - 3t,

t1 = 2с;

х0 - ? vx - ? S - ?

 

 

 

 

 

 

Решение: Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: х = х0 + vx t   и   х = 4 - 3t.

Очевидно, что х0 = 4м, vx = - 3м/с (знак "-" означает, что направление  скорости не совпадает с направлением  оси ОХ, т.е. они противоположно  направлены). Перемещение тела найдем  по формуле: S = х - х0. Конечную координату  х можно определить, подставляя  в уравнение движения время t1: х = 4 - 3t1. В общем виде формула  перемещения: S = 4 - 3t1 - х0 = 4 - 3t1 - 4 = - 3t1= -3 · 2 = - 6 м (Тело движется в  отрицательном направлении оси  ОХ).

Ответ: х0 = 4м; vx = -3м/с; S = -6м.

 

 

 

 

 

• Пример 2.Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t =10 мин. по траектории АВ. Скорость течения реки vр = 0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой скоростью v относительно воды и под каким углом α к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время?

 

 

 

 

• Дано:

vр = 0,3 м/с,

L = 240 м,

t = 10 мин = 660  с.

v' - ? α - ?

 

 

 

 

• Решение: Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно берега скорость лодки равна:

 

 

 

 

• Эта скорость (рисунок 1.1), является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно воды v' (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки vр (скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По закону сложения скоростей: v =vр + v'. Так как по условию задачи скорость лодки относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ, то скорость лодки относительно воды(по теореме Пифагора):

 

 

 

 

• Искомый угол можно найти из выражения:

 

 

 

 

• Ответ: v' = 0.5 м /с, α = arctg ≈ 530.

 

 

 

 

Неравномерное движение

 

• Пример 1. Пусть х возрастает пропорционально квадрату времени, т.е. х = А·t2. Чему равна мгновенная скорость в момент времени t1 - ?

Дано:

х = А·t2;

v - ?

Решение: В общем случае производная от степенной функции tn записывается в виде:

 

Мгновенная скорость определяется:

 

Ответ: В момент времени t1 имеем v = 2·а·t1.

 

 

 

 

• Пример 2. Зависимость пройденного телом пути S от времени t задается уравнением S = At - Bt2 + Ct3, где А = 2 м/с, В = 3 м/с2, С = 4 м/с3.

Найти:   а) зависимость  скорости v и ускорения a тела от  времени t;

б) расстояние S, скорость v и  ускорение а тела через время t =2 с после начала движения.

 

 

 

 

 

Дано:

S = At - Bt2 + Ct3,  А = 2 м/с, В = 3 м/с2,  С = 4 м/с3;

а) v(t) -?, a(t) -?

б) S -? , V -? , a-? при t = 2 c.

Решение:

а) Скорость тела: v = ds /dt ; v = A - 2Bt + 3Ct2; v = 2 - 6t + 12t2 м/с. Ускорение  тела: а = dv /dt; а= - 2B + 6Сt; a = - 6 + 24t м/с2.

б) Расстояние, пройденное  телом, S = 2t - 3t2 + 4t3. Тогда через  время t = 2c имеем: S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2.

Ответ: v = 2 - 6t + 12t2; a = - 6 + 24 t м/с2; S = 24 м; v = 38 м/с; а = 42 м/с2

 

 

 

 

 

Равнопеременное прямолинейное  движение

 

• Пример 1. Ускорение автомобиля равно а = - 4 м/с2. Что это означает?
• Решение: Ускорение автомобиля отрицательно, следовательно, скорость его уменьшается, т.е. автомобиль тормозит. Его скорость уменьшается на 4 м/с за каждую секунду.

 

 

 

 

• Пример 2. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один, имея скорость 18 км/ч, движется равно замедленно, с ускорением 20 см/с2, другой, имея скорость 5,4 км/ч, движется равноускоренно с ускорением 0,2 м/с2. Через какое время велосипедисты встретятся и какое перемещение совершит каждый из них до встречи, если расстояние между ними в начальный момент времени 130 м?

 

 

 

 

 

• Дано:v01 = 18 км/ч = 5 м/с,a1 = 20 см/с2 = 0,2 м/с2,v02 = 5,4 км/ч = 1,5 м/с,a2 = 0,2 м/с2,x02 = 130 мS1 - ? S2 - ? t1 - ? 
  

 

 

 

 

• Решение: Пусть ось ОХ совпадает с направлением движения первого велосипедиста, а начало координат с точкой O, в которой он находился в момент времени t = 0 (рисунок 1.4). Тогда уравнения движения велосипедиста таковы :

 

 

 

 

• В момент встречи в точке А: t = t1; x1 = x2. Тогда получим равенство:

 

 

 

 

• откуда v01·t1 + v02·t1 = х02, т.к. а1 = а2,

 

 

 

 

• Определим перемещение каждого до встречи:

 

 

 

 

 

 

 

• Ответ: S1 = 60 м; S2 = 70 м; t1 = 20 c.

 

 

 

 

Свободное падение тел

 

•  
  Пример 2. Тело падает вертикально вниз с высоты 20 м без начальной скорости. Определить:

1) путь h, пройденный  телом за последнюю секунду  падения,

2) среднюю скорость  падения vср,

3) среднюю скорость  на второй половине пути vср2.

 
Дано:

h0 = 0м,∆t = 1c,h -  ? vср -? vср2 -?

 

 

 

 

• Решение: Направим ось у вертикально вниз, и пусть начало координат совпадает с начальным положением тела (рисунок 1.5).
• 1) Согласно формуле:

 

 

 

 

 

• уравнение движения запишется в виде:

 

 

 

  

 

 

 

 

 

• в момент падения на землю у = h0. Отсюда время движения тела:

 

 

 

• За время ( t - ∆t) тело прошло путь 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Путь за последнюю секунду равен:

 

 

 

 

 10.История кинематики

 

 

 

 

• Механика была порождена деятельностью человека по механизации процессов производства. Пока люди не научились использовать энергию горючих ископаемых, центральную роль играли различные механизмы. И первой, естественно, была кинематика механизмов. Основная проблема здесь — преобразование вращательного движения в поступательное. 

 

 

 

 

• Первые книги о механизмах появляются в XV в., их число постепенно увеличивается. В середине XVIII в. создается теоретическая база. Французский ученый Жан Даламбер (1717—1783) в своей книге «Динамика» (1743) высказывает мысль, что механику надо изучать с движения как такового. Эту мысль развивает петербургский академик Леонард Эйлер (1707—1783) в знаменитой «Теории движения твердых тел». Он считает целесообразным разделить исследование движения твердого тела на две части: геометрическую и механическую, Перемещение точек тела надо исследовать, не рассматривая причин движения, для получения аналитических формул, определяющих перемещение. Выделяется, таким образом, чисто геометрический аспект проблемы, и это, естественно, дает методические преимущества, упрощая подходы и поиски решения.  

 

 

 

 

• Еще более определенно идея выделения кинематики сформулирована выдающимся деятелем Великой французской революции Л. Карно (1758—1823). Он писал: «Геометрия могла бы включить в себя движения, не связываемые с взаимодействием тел, ибо механика, собственно говоря, не наука о движении, а наука о сообщении движения... Не движение само по себе является предметом механики, а эффект видоизменений, которым оно подвергается»

 

 

 

 

• Наконец, у великого французского ученого Андре Мари Ампера (1775—1836) появляется понятие «кинематика»: «Наука, которая рассматривает сами по себе движения, наблюдаемые нами в окружающих телах и, особенно, в устройствах, называемых машинами, я называю кинематикой...».  
  

 

 

 

 

• В «Опыте философии наук» Ампер утверждает, что кинематика должна быть частью теоретической механики, прикладной дисциплиной, в которой изучаются разнообразные механизмы.  
  Интересен его пример в обосновании дидактической ценности кинематики: «Чтобы составить себе ясное представление о том зубчатом зацеплении, с помощью которого минутная стрелка часов делает двенадцать оборотов, тогда как часовая делает только один, надо ли заниматься силой, приводящей часы в движение? Разве действие зацепления, поскольку оно регулирует отношение скоростей этих двух стрелок, не остается тем же, когда движение вызывается какой-либо силой, отличною от силы обычного двигателя, например, когда мы поворачиваем стрелку пальцем?»