Дефект массы

разных массовых числах, т. е. в разных частях шкалы, оказались

удовлетворительными.

Последним и очень важным контрольным измерением для проверки правильности

дисперсионной формулы (2.3) было измерение массы атома водорода при больших

массовых числах. Это измерение проделали один раз для А =87,

как  разность  масс  дублета  C₄H₈O₂ –

С₄Н₇O₂. Результаты 1,00816±2 а. е. м.

с погрешностью до 1/50000 согласуются  с измеренной массой Н, равной

1,0081442±2 а. е. м., в пределах погрешности измерения сопротивления

ΔR и погрешности калибровки сопротивлений для этой части шкалы.

Все эти пять серий контрольных  измерений показали, что формула  дисперсии

пригодна для данного прибора, а результаты измерений достаточно надежны.

Данные измерений, выполненных на этом приборе, были использованы для

составления таблиц.

     § 3. Полуэмпирические формулы для вычисления масс ядер и энергий связи ядер.

                 п.3.1. Старые полуэмпирические формулы.                

По мере развития теории строения ядра и появления различных  моделей ядра

возникли попытки создания формул для вычисления масс ядер и  энергий связи ядер.

Эти формулы основываются на существующих теоретических представлениях о

строении ядра, но при  этом коэффициенты в них вычисляются  из найденных

экспериментальных масс ядер. Такие формулы частично основанные на теории и

частично выведенные из опытных данных, называют полуэмпирическими формулами

.

Полуэмпирическая формула  масс имеет вид:

     M(Z, N)=Zm_H+Nm_n-E_B(Z, N),                           (3.1.1)

где M(Z, N) – масса нуклида с Z протонами и

N – нейтронами; m_H – масса нуклида Н¹

; m_n – масса нейтрона; E_B(Z, N)

– энергия связи ядра.

Эта формула, основанная на статистической и капельной моделях  ядра,

предложена Вейцзекером. Вейцзекер перечислил известные из опыта

закономерности изменения  масс:

     1.  Энергии связи легчайших ядер возрастают очень быстро с массовыми числами.

     2.  Энергии связи Е_В всех средних и тяжёлых

ядер возрастают приблизительно линейно с массовыми числами А.

     3.  Средние энергии связи на один нуклон Е_В/

А лёгких ядер возрастают до А≈60.

     4.  Средние энергии связи на один нуклон Е_В/

А более тяжёлых ядер после А≈60 медленно убывают.

     5.  Ядра с чётным числом протонов и чётным числом нейтронов имеют

несколько большие энергии  связи, чем ядра с нечётным числом нуклонов.

     6.  Энергия связи стремится к максимуму для случая, когда числа протонов

и нейтронов в ядре равны.

Вейцзекер учёл эти закономерности при создании полуэмпирической формулы

энергии связи. Бете и Бечер несколько упростили эту формулу:

     E_B(Z, N)=E₀+E_I+E_S+E_C+E_P.                                  (3.1.2)

и её часто называют формулой Бете-Вейцзекера. Первый член Е₀

– часть энергии, пропорциональная числу нуклонов; Е_I –

изотопический или изобарный  член энергии связи, показывающий, как  изменяется

энергия ядер при отклонении от линии наиболее устойчивых ядер; Е_S

– поверхностная или свободная  энергия капли нуклонной жидкости; Е_С

– кулоновская энергия  ядра; Е_Р – парная энергия.

Первый член равен

     Е₀ = αА.                                                 (3.1.3)

Изотопический член Е_I есть функция разности N–Z

. Т.к. влияние электрического  заряда протонов предусматривается  членом Е

_С, Е_I есть следствие только ядерных сил.

Зарядовая независимость  ядерных сил, особенно сильно ощущаемая  в лёгких ядрах,

приводит к тому, что  ядра наиболее устойчивы при N=Z. Так как

уменьшение устойчивости ядер не зависит от знака N–Z,

зависимость Е_I от N–Z должна быть по

меньшей мере квадратичной. Статистическая теория даёт следующее  выражение:

     Е_I = –β(N–Z)²А^–1.                                         (3.1.4)

Поверхностная энергия капли  с коэффициентом поверхностного натяжения σ

равна

     Е_S=4πr²σ.                                               (3.1.5)

Кулоновский член есть потенциальная  энергия шара, заряженного равномерно по

всему объёму зарядом Ze:

                                               (3.1.6)

Подставив в уравнения (3.1.5) и (3.1.6) радиус ядра r=r₀A^1/3, получим

                                      (3.1.7)

                                (3.1.8)

а подставив (3.1.7) и (3.1.8) в (3.1.2), получим

                                                                          

    

     .  (3.1.9)

Постоянные α, β и γ подбирают такими, чтобы формула (3.1.9)

лучшим образом удовлетворяла  всем значениям энергий связи, вычисленным  по

экспериментальным данным.

Пятый член, представляющий парную энергию, зависит от четности числа нуклонов:

    

 

                                                                 (3.1.10)

Ферми уточнил также постоянные по новым экспериментальным данным.

Полуэмпирическая формула  Бете-Вейцзекера, выражающая массу нуклида в старых

единицах (¹⁶О=16), получилась такой:

    

	M(A, Z) = 0,99391A – 0,00085 + 0,014A2/3 + +0,083(A/2 – Z)2A-1 + 0,000627Z2A-1/3 + π0,036A-3/4

 

                                                                 (3.1.11)

Для четных нуклидов π = –1; для  нуклидов с нечетным А π

= 0; для нечетных нуклидов  π = +1.

К сожалению, эта формула  весьма устарела: расхождения с действительными

величинами масс может  достигать даже 20 Мэв и имеет среднее значение около 10

Мэв.

В многочисленных дальнейших работах первоначально лишь уточняли коэффициенты

или вводили некоторые  не слишком важные дополнительные члены. Метрополис и

Рейтвизнер еще раз уточнили формулу Бете–Вейцзекера:

    

M(A, Z) = 1,01464A + 0,014A2/3 + +0,041905 + π0,036A-3/4

 

                                                                 (3.1.12)

Для четных нуклидов π = –1; для  нуклидов с нечетным А π

= 0; для нечетных нуклидов  π = +1.

Вапстра предложил учитывать влияние оболочек с помощью члена такого вида:

                                 (3.1.13)

где A_i, Z_i и W_i –

эмпирические постоянные, подбираемые по опытным данным для  каждой оболочки.

Грин и Эдварс ввели в формулу масс следующий член, характеризующий влияние

оболочек:

                       (3.1.14)

где α_i, α_j и K_ij

– постоянные, полученные из опыта;

и – средние значения

N и Z в данном интервале между заполненными оболочками.

п.3.2. Новые полуэмпирические формулы с учетом влияния оболочек

Камерон исходил из формулы  Бете—Вейцзекера и сохранил два первых члена формулы

(3.1.9). Член, выражающий поверхностную  энергию E_S

(3.1.7), был изменен.

    

Рис. 3.2.1. Распределение плотности  ядерной материи ρ по

Камерону в зависимости  от расстояния

до центра ядра. А—средний радиус ядра; Z —

половина толщины поверхностного слоя ядра.

    

При рассмотрении рассеяния  электронов на ядрах, можно сделать вывод, что

распределение плотности  ядерной материи в ядре ρ_n

трапециеобразно (рис. 16). За средний радиус ядра т можно принять

расстояние от центра до точки, где плотность убывает  вдвое (см. рис. 3.2.1). В

результате обработки опытов Хофштедтера. Камерон предложил такую формулу для

среднего радиуса ядер:

Он считает, что поверхностная  энергия ядра пропорциональна квадрату среднего

радиуса r², и вводит поправку, предложенную

Финбергом, учитывающую симметрию ядра. По Камерону, поверхностную энергию

можно выразить так:

    

 

Четвертый, кулоновский, член формулы (3.1.9) также был исправлен  в связи с

трапецеидальным распределением плотности ядра. Выражение для кулоновского

члена имеет вид

    

 

Кроме того. Камерон ввел пятый кулоновский обменный член,  характеризующий

корреляцию в движении протонов в ядре и малую вероятность  сближения протонов.

Обменный член

Таким образом, избыток масс, по Камерону, выразится так:

     М - А = 8,367А - 0,783Z + αА +β +

     + Е_S + E_C + Е_α = П (Z, N).                               (3.2.5)

Подставив экспериментальные  значения М—А методом наименьших

квадратов получили следующие  наиболее надежные значения эмпирических

коэффициентов (в Мэв):

     α=–17,0354; β=– 31,4506; γ=25,8357; φ=44,2355.                   

                                                                    (3.2.5а)

С помощью этих коэффициентов  были вычислены массы. Расхождения между

вычисленными и экспериментальными массами показаны на рис. 3.2.2. Как можно

заметить, в некоторых  случаях расхождения достигают 8 Мэв. Особенно

велики они у нукли-дов с замкнутыми оболочками.

Камерон ввел дополнительные слагаемые: член, учитывающий влияние ядерных

оболочек S(Z, N), и член P(Z, N),

характеризующий парную энергию и учитывающий изменение массы в зависимости от

четности N и Z:

               М—А=П(Z, N)+S(Z, N)+P(Z, N).                       (3.2.6)

    

    

    

Рис. 3.2.2. Разности между значениями масс, вычисленными по основной формуле

Камерона (3.2.5), и экспериментальными значениями тех же масс в зависимости от

массового числа А.

При этом, т.к. теория не может предложить вида членов, который отражал бы

некоторые скачкообразные  изменения масс, он объединил их в одно выражение

                 T(Z, N)=S(Z, N)+P(Z. N).                         (3.2.7)

Далее была выдвинута гипотеза о том, что воздействие четности и оболочек

зависит в отдельности  от числа протонов Z и от числа нейтронов

N, т.е.

      T(Z, N)=T(Z) +T(N).                                  (3.2.8)

Это разумное предложение, так  как опытные данные подтверждают, что протонные

оболочки заполняются  независимо от нейтронных и парные энергии для протонов

и нейтронов в первом приближении  можно считать независимыми.

На основании таблиц масс Вапстра и Хьюзенга Камерон составил таблицы поправок

T(Z) и T(N) на четность и заполнение оболочек.

Г. Ф. Драницына, использовав новые измерения масс Бано, Р. А. Демирханова и

многочисленные новые измерения β- и α-распадов, уточнила значения

поправок T(Z) и T(N) в области редких земель от

Ва до Pb. Она составила новые таблицы избытков масс (М—А),

вычисленных по исправленной формуле Камерона в этой области. В таблицах

приведены также вычисленные  заново энергии β-распадов нуклидов в той же

области (56≤Z≤82).

Старые полуэмпирические формулы, охватывающие весь диапазон А,

оказываются слишком неточными  и дают очень большие расхождения  с измеренными

массами (порядка 10 Мэв). Создание Камероном таблиц с более чем 300

поправками уменьшило расхождение до 1 Мэв, но расхождения все же в

сотни раз превышают погрешности  измерений масс и их разностей. Тогда  появилась

идея разбить всю область  нуклидов на подобласти и для каждой из них создать

полуэмпирические формулы ограниченного применения. Такой путь и избрал Леви,

который вместо одной формулы с универсальными коэффициентами, пригодными для

всех А и Z, предложил формулу для

отдельных участков последовательности нуклидов.

Наличие параболической зависимости  от Z энергии связи нуклидов изобар

требует, чтобы в формуле  содержались члены до второй степени  включительно.

Поэтому Леви предложил такую  функцию:

     М(А, Z)=α₀+ α₁ А+ α₂ Z+

α₃ АZ+ α₄ Z²+ α₅

                             А²+δ;               (3.2.9)

где α₀, α₁, α₂, α

₃, α₄, α₅ – численные

коэффициенты, найденные  по опытным данным для некоторых  интервалов, а 

δ — член, учитывающий спаривание нуклонов и зависящий от четности

N и Z.

Все массы нуклидов разбили  на девять подобластей, ограниченных ядерными

оболочками и подоболочками, и значения всех коэффициентов формулы (3.2.9)

вычислили по экспериментальным данным для каждой из этих подобластей. Значения

найденных коэффициентов  та и члена δ, определяемого четностью,

приведены в табл. 3.2.1 и 3.2.2. Как видно из таблиц, были учтены не только

оболочки из 28, 50, 82 и 126 протонов или нейтронов, но и подоболочки из 40,

64 и 140 протонов или  нейтронов.

                                                                   Таблица 3.2.1

     Коэффициенты α в формуле Леви (3.2.9), ма. е. м (¹⁶О =16)

    

Z	N	α0	α1	α2	α3	α4	α5
29–40 29–40 29–40 41–50 51–64 51–64 65–82 >82 >82	29–40 41–50 51–82 51–82 51–82 83–126 83–126 127–140 >140	–155,91 –150,06 +96,27 –135,41 –133,60 –672,82 –83,72 –1746,56 571,90	13,202 7,359 3,780 5,342 6,399 13,059 3,843 18,067 –1,407	–21,956 –10,094 –17,406 –9,712 –13,465 –14,140 –10,680 –10,846 –12,238	–0,9707 –0,7023 –0,5349 –0,5570 –0,4287 –0,4461 –0,4644 –0,4364 –0,3971	1,4544 0,9473 0,8150 0,7432 0,6417 0,6492 0,6464 0,6133 0,5706	0,11565 0,10340 0,10050 0,09758 0,06583 0,05370 0,08739 0,05171 0,08613