Преобразовав  уравнение (2.8) и подставив в нее значения коэффициентов, получим:

  (2.9)

.

 

 

3 Проверка на устойчивость  методами Гурвица  и ЛАЧХ-ЛФЧХ. Оценка  быстродействия системы  относительно заданного  значения. Определение  граничного коэффициента  усиления

3.1 Определение устойчивости системы по критерию Гурвица

     Критерий  устойчивости Гурвица – это алгебраический критерий в форме определителей, составляемых из коэффициентов характеристического уравнения. Определителей составляется n, где n – порядок уравнения линейной САР. Определители Гурвица составляются по следующим правилам:

1. Характеристическое уравнение приводится к виду, при котором a_n > 0.
2. Число строк и столбцов определителя D_k равно k.
3. По диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_k.
4. Слева от диагонали коэффициенты с убывающими индексами, справа – с возрастающими индексами. Левее a₀ пишутся 0.
5. Все коэффициенты с индексами, значения которых больше степени характеристического уравнения, замещаются нулями.

     Критерий  устойчивости Гурвица: линейная САР  устойчива, если все коэффициенты характеристического  уравнения и все n определителей Гурвица положительны.

     Исходное  характеристическое уравнение системы:

       (3.1.1) 

     Коэффициенты характеристического уравнения (3.1.1) положительны.

     ,   .

       Вычислим определители Гурвица:

  

    

     

      

         

       Так как положительны все коэффициенты  характеристического уравнения  и все определители Гурвица,  делаем вывод о том, что система устойчива.

 

3.2 Определение устойчивости системы по частотным характеристикам

Преобразуем передаточную функцию к виду:

,                         (3.2.1)

     где W (jw) – амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ),  

U (w) – вещественная частотная характеристика, V (w) – мнимая частотная характеристика, A (w) – амплитудная частотная характеристика (АЧХ), (w) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

     Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) будет строиться по формуле:

                                                 (3.2.2)

     Построив  ЛАЧХ и ЛФЧХ системы по задающему  воздействию, определим запас устойчивости по модулю и по фазе,  частоту среза (частота, на которой коэффициент  усиления равен единице), быстродействие системы.

     Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика строится по формуле:

                                                                            (3.2.3)

     ЛАЧХ системы приведена на рисунке 3.1.

Логарифмическая фазово-частотная характеристика определяется по формуле:

                                                    (3.2.4)

      ЛФЧХ  системы приведена на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - ЛAЧХ и ЛФЧХ системы

     Из  рисунка 3.1 видно, что ЛАЧХ пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФЧХ достигнет -π. Таким образом, проанализировав логарифмические характеристики, делаем вывод: система устойчива.

     По  графику ЛАЧХ определили частоту среза:

     

     Зная  частоту среза, вычислим время переходного процесса данной системы:

     (3.2.5)

     

     Полученное  быстродействие системы не удовлетворяет заданному : 

       

Требуется синтез корректирующих звеньев.

 

     

4 Синтез системы

     Синтез  САУ - оптимальное, наиболее выгодное для  статики и динамики построение структуры  системы. Синтез САУ является центральной  задачей целевого проектирования автоматизированных систем, наилучшим способом удовлетворяющих  заданным требованиям. Проектирование систем включает схемотехнику, анализы и расчеты и обеспечивает достоверные показатели, часто не удовлетворяющие требуемых ожиданий. Обеспечивая принципы работы, функционирование, технико-экономические показатели, требуемые характеристики в статике, системы могут оказаться неустойчивыми в динамике. При обеспечении требуемых динамических режимов схемотехника может не обеспечить требуемой точности статики (установившихся режимов). Указанные противоречия снимаются путем замены расчета и анализа с коррекцией получаемых результатов на синтез по заданным требованиям с последующим анализом и коррекцией синтеза.

     В конечном итоге оптимизация структур САУ путем синтеза должна обеспечить наилучшие по качеству переходные процессы, требуемое быстродействие и требуемые  статические характеристики. Эта  цель всегда достигается при любой  сложности оптимизируемой структуры, при любых параметрах и показателях.

     Доказано, что динамика САУ будет наилучшей  с требуемыми показателями качества и быстродействия переходных процессов, если передаточную функцию синтезированной  системы удается привести к виду, описываемому выражениями:

• для технического оптимума

     W_ТОi(p) = ,     (4.1)

• для симметричного оптимума

     W_СО(p) = ,    (4.2)

где Тai – эквивалентная постоянная времени синтезируемого контура, не подлежащая компенсации (коррекции);

      ,     (4.3)

    i – номер синтезируемого контура;

    Тa₁ – расчетная эквивалентная постоянная времени внутреннего (первого) контура САУ, определяемая по заданному быстродействию системы t_ПП;

      ,     (4.4)

    k – число синтезируемых контуров (не номер i).

     Обеспечить  оптимальные передаточные функции (4.1) и (4.2) можно, если в синтезируемом разомкнутом контуре убрать все постоянные времени, превышающие в сумме значение Тai, и величину общего коэффициента передачи контура заменить параметром .

     Такая задача решается включением в главный  тракт контура специального звена  последовательной коррекции с необходимой  передаточной функцией. Синтезируемая  структура должна быть одноконтурной  с отрицательной единичной обратной связью, чтобы передаточные функции  по формулам (4.1) и (4.2) с интегральными составляющими были для замкнутого контура апериодическими. Если такой связи нет, то ее следует ввести.

    Кроме указанных главных принципов  синтеза структуры с помощью  ПФ (4.1), (4.2) необходимо соблюдать дополнительные правила:

1. В многоконтурной системе синтез ведется поконтурно от внутреннего контура к последующему за ним внешнему контуру (поочередно).
2. Контур не должен содержать много звеньев интегрирующего и дифференцирующего типов. Иначе это усложнит исполнение корректирующих звеньев. Для упрощения многозвеньевого контура целесообразно выделять в нем дополнительные внутренние контура за счет введения отрицательных связей, не предусмотренных в системе по ее функциональному назначению.
3. Корректирующие звенья должны иметь стандартное исполнение из группы разработанного класса П, И, ПИ, Д, ПД, ПИД. Характеристики таких регуляторов, в том числе передаточные функции приводятся в многочисленной литературе по ТАУ.
4. Синтезируемый контур должен быть однолинейным, т.е. перекрещивающиеся связи нужно вывести из него по правилам ТАУ.
5. Эквивалентная некомпенсируемая постоянная времени Т_ai внешнего синтезированного контура по отношению к такой же постоянной внутреннего контура должна быть большей не менее чем в 2 раза по правилу (4.3). Только в этом случае переходные процессы внутреннего контура заканчиваются до начала переходных процессов во внешнем (динамически контура становятся независимыми).
6. Без заметной погрешности малые постоянные времени апериодических звеньев можно суммировать или прибавлять к большим постоянным времени.

L

K_δ

УС

U_РС

U_РС

W_п  

W^I 
 

W_Д2

ЭД

W_М  

W_ОМ  

W_ОС  

ООС

-U_ОС

-U_ОМ

-М_С

U_РМ

L_з

 Пользуясь вышеприведенными правилами, проведем синтез электромеханической системы, приведенной на рисунке 4.1. 
 
 
 
 

Рисунок 4.1 - Упрощенная структурная схема автоматизированной электромеханической системы, подлежащей синтезу

     Будем считать, что синтезируемый контур является внутренним (первым) для САУ, то есть с него начинается синтез, система  имеет 2 контура (i = 1, k = 2).

 Постоянная  времени T_а1 = 0,005 с.

     Первым  делом избавимся от элемента в  цепи обратной связи. Приравняем передаточную функцию разомкнутого синтезируемого контура к условию технического оптимума и выразим передаточную функцию корректирующего звена

    (4.5) 

   

Упрощённая  передаточная характеристика первого  контура с компенсацией единичной  обратной связи примет вид 

.

     Рассмотрим  второй контур.

     Постоянная времени T_а2 = 2× T_а1 = 0,01.