Основные представления о специальной и общей теории относительности

       Но  наблюдатель в движущейся системе S^¢ также регистрирует сферическую световую волну, распространяющуюся из начала координат этой системы (точки 0^¢) со скоростью света в вакууме c. По его часам за время t^¢ волна пройдет расстояние r^¢ = c t^¢, где . Это связано с тем, что физические явления в инерциальных системах происходят одинаковым образом. Иначе, регистрируя различия, можно было бы найти "истинно" покоящуюся систему отсчета, что невозможно.

       Теперь  ясно, что координаты точек волнового  фронта в системе S и S^¢ связаны уравнением

       решение которого и является искомым обобщением преобразований перехода из одной инерциальной системы координат в другую.

       Опуская сам формальный вывод, который использует общие соображения об однородности и изотропии пространства и однородности времени (из которых, например, следует, что связь "штрихованных" и "нештрихованных" координат должна быть линейной), можно получить, что в условиях рассматриваемого мысленного эксперимента, параметры {x^¢,y^¢,z^¢,t^¢} связаны с параметрами {x,y,z,t} соотношениями

       

П

р

е

о

б

р

а

з

о

в

а

н

и

я

 

Л

о

р

е

н

ц

а

 

о

с

т

а

в

л

я

ю

т

 

н

е

и

з

м

е

н

н

ы

м

и

 

у

р

а

в

н

е

н

и

я

 

М

а

к

с

в

е

л

л

а

,

о

д

н

а

к

о

п

р

о

в

е

р

к

а

э

т

о

г

о

 

у

т

в

е

р

ж

д

е

н

и

я

 

в

ы

х

о

д

и

т

 

з

а

р

а

м

к

и

 

ш

к

о

л

ь

н

о

й

п

р

о

г

р

а

м

м

ы

 

п

о

ф

и

з

и

к

е.

       

Л

е

г

к

о

в

и

д

е

т

ь,

ч

т

о

 

у

р

а

в

н

е

н

и

я

Н

ь

ю

т

о

н

а

 

т

е

п

е

р

ь

н

е

с

о

х

р

а

н

я

ю

т

 

с

в

о

й

в

и

д

 

п

р

и

 

п

р

е

о

б

р

а

з

о

в

а

н

и

и (

12

).

П

о

э

т

о

м

у

 

в

т

о

р

о

й

 

з

а

к

о

н

 

Н

ь

ю

т

о

н

а

 

н

е

о

б

х

о

д

и

м

о

 

м

о

д

и

ф

и

ц

и

р

о

в

а

т

ь

.

Н

о

в

а

я

 

м

е

х

а

н

и

к

а

,

о

с

н

о

в

а

н

н

а

я

 

н

а

 

п

р

и

н

ц

и

п

е

 

о

т

н

о

с

и

т

е

л

ь

н

о

с

т

и

 

Э

й

н

ш

т

е

й

н

а

,

 

н

а

з

ы

в

а

е

т

с

я

 

релятивистской

(

о

т

 

л

а

т

и

н

с

к

о

г

о

relativus -

о

т

н

о

с

и

т

е

л

ь

н

ы

й

).

       

П

р

и

б

е

з

р

а

з

м

е

р

н

о

м

п

а

р

а

м

е

т

р

е

V/c

<

<

1

ф

о

р

м

у

л

ы

 

(

4

)

п

е

р

е

х

о

д

я

т

 

в

 

ф

о

р

м

у

л

ы

 

(

1

). Поэтому в  теории относительности выполняется  принцип соответствия - при малых скоростях движения частиц и систем отсчета релятивистские выражения переходят в формулы ньютоновой механики. Этот переход является характерной чертой любой физической теории: старые знания не перечеркиваются новыми достижениями, а включаются них как предельный частный случай.

       

Обратное преобразование координат системы S в координаты системы S^¢ можно получить из (

12

), поменяв местами  штрихованные и нештрихованные  координаты и проведя замену V ® - V:

       

       

Р

и

с. 6 
 
 
 
 
 
 
 

 

       

2.4

Преобразование

скорости

       Если частица движется относительно движущейся системы координат S

¢ со скоростью , то ее скорость в системе отсчета S может быть найдена с помощью преобразований Лоренца (12).

       Если  закон движения частицы в движущейся системе координат имеет вид 

       то  в покоящейся (лабораторной) системе координат этот закон, очевидно, имеет вид

       Выполнив  подстановку (13), найдем, что

       Эта формула определяет релятивистский закон сложения скоростей.

       При b = V/c ® 0 релятивистский закон сложения скоростей (13) с точностью до линейных по b членов переходит в формулу преобразования скоростей в классической механике:

       Из (13) следует, что скорость частицы меньшая скорости света в вакууме (v^¢ < c) в одной системе отсчета, останется меньше скорости света в вакууме (v < c) в любой другой системе отсчета, движущейся по отношению к первой с досветовой скоростью V < c. Если же ^¢ = (c,0,0), то = (c,0,0): скорость света одна и та же во всех системах отсчета.

       Более общее преобразование скорости можно  получить из формулы (14), если в ней  перейти к дифференциалам координат  и времени и использовать, что v_x = dx/dt,    v_y = dy/dt,    v_z = dz/dt и аналогичные выражения для v_x^¢, v_y^¢, v_z^¢. После преобразования получившегося соотношения, получим

 
 

        

       2.5 Собственное время, события и мировые линии частиц

       В качестве часов наблюдатели в системах S, S^¢ могут использовать любой периодический процесс, например, излучение атомов или молекул на определенных фиксированных частотах. Время, отсчитываемое по часам, движущимся вмемте с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Для измерения длин можно взять некоторый эталон - линейку. Собственной длиной линейки называется ее длина l₀ в той системе, в которой она покоится. Величина l₀ равна модулю разности координат концов линейки в один и тот же момент времени.

       Совокупность  декартовых координат  = (x,y,z) и момента времени t в некоторой инерциальной системе отсчета определяют событие. Событием является, например, нахождение точечной частицы в момент времени t в точке пространства, указанной вектором .

       Множество всех событий образуют "четырехмерный  Мир Минковского". Отдельные точки в четырехмерном пространстве указывают координаты и время некоторого "события". Последовательность кинематических состояний любого тела (его координаты в разные моменты времени) изображается мировой линией (Рис. 7).

       

       Рис. 7

       Если  частицы движутся только вдоль оси 0x, то наглядно представить "Мир Минковского" можно с помощью плоскости координат (с t, x). Время удобно умножить на скорость света, чтобы обе координаты имели одинаковую размерность. Это можно сделать, поскольку скорость света - универсальная мировая константа.

       

       Рис. 8

       Мировыми  линиями (в отличие от траекторий классической механики) обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной системе отсчета тела. Так, мировая линия тела, покоящегося в начале координат, будет совпадать с временной осью 0 ct, а тела, покоящегося в пространственной точке x_a - является прямой AB, параллельной оси времени. Мировая линия тела, движущегося с постоянной скоростью V - (и при t = 0, находящегося в точке x(0) = 0) - прямая CD; мировая линия светового луча, испущенного из начала координат в напралении оси x - биссектриса координатного угла OF; мировая линия тела, движущегося с переменной скоростью v(t) - кривая MN (cм. Рис. 8а))  

       2.6 Геометрический смысл преобразований Лоренца

       Выясним теперь геометрический смысл преобразований Лоренца. Еще раз запишем его  только для x и t в виде

       Это линейное однородное преобразование, очень похожее на преобразование поворота на угол a в плоскости XY: