Сущность и значение средних величин в социально-экономических исследованиях

       Степенные средние величины исчисляются в  двух формах – простой и взвешенной. Простая средняя величина считается по несгруппированным данным и имеет следующий вид:

        ,

где  - варианта (значение) осредняемого признака; - показатель степени средней; - число вариант (наблюдений).

        Взвешенная  средняя величина считается по сгруппированным данным, представленных виде дискретных или интервальных рядов распределения:

         ,

где - варианта (значение) осредняемого признака или срединное значение интервала, в котором измеряется варианта; - показатель степени средней; - частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.

        Формула расчёта степенных средних включает показатель степени (m). В зависимости от его значения различают следующие виды степенных средних приведённые в табл. 1

        Таблица 1

 

      Наиболее распространённым видом  средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может простой и взвешенной. Примером средней арифметической может служить общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат всех работников.

           Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется в тех случаях, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным. Использовать её можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

     Средняя арифметическая взвешенная – это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес. Расчёт средней арифметической взвешенной производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

     Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, более полно раскрывающими её сущность:

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: ;
2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведения отдельных вариантов на соответствующие им частоты: 
3. Если индивидуальные значения признака, т.е. варианты, уменьшить или увеличить в А раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в А раз:
4. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число:
5. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не измениться:

     Наряду  со средней арифметической, в статистике применяется средняя гармоническая величина,  обратная  средней арифметической из обратных значений признака. Как и средняя арифметическая, она может быть простой и взвешенной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей.

     Формула средней гармонической взвешенной (простой) величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить , откуда .Средняя гармоническая простая это обратная величина средней арифметической простой из обратных значений признака. Средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значение для единиц совокупности равны.

       Ещё одной формулой, по которой  может осуществляться расчёт  среднего показателя, является  средняя геометрическая. Рассматриваемая величина используется для вычисления средних темпов роста и прироста (снижения) наблюдаемых явлений. Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

     В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или  кубических единицах измерения. Тогда  применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

     Правило мажорантности: Чем выше показатель степени в формуле степенной средней, тем больше значение средней.

     В итоге можно сказать, что от правильного  выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического  исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение  для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней  с помощью соответствующего уравнения.

2.2Средняя  хронологическая.

         Одной из важнейших задач статистики является изучение анализируемых показателей во времени, их динамика. Эта задача решается с помощью рядов динамики. Они представляет собой ряд расположенных в хронологическом порядке показателей, которые характеризуют время.

     Средние из рядов динамики называются средними хронологическими, т.к. они характеризуют показатели во времени. Рассмотрим два вида средних хронологических:

     1. Средняя хронологическая из интервального ряда динамики.

     2. Средняя хронологическая из моментного ряда динамики.

     Интервальные – это такие ряды в которых данные приводятся за определенный период времени (месяц, год). Средний уровень ряда в интервальном ряду определяется по средней арифметической простой.

     Моментные – это такие ряды, где данные представлены на определенный момент времени (на определенную дату). Если интервалы времени между датами равны, то расчет средней ведут по формуле средней хронологической простой:

           где   ;

                       i - величина интервала;

A – то значение X которое приходится на середину интервала с наибольшей частотой.

     Хронологическая средняя широко применяется в рядах динамики, в социально-экономической статистике для определения средней численности населения и среднего размера остатков, а также для других показателей, исчисляемых на определенные моменты времени. Характерным примером использования средней хронологической есть, вычисления среднего остатка оборотных средств.

2.3 Структурные средние.

     Средние величины, описанные выше, дают обобщенное представление об изучаемой совокупности, и с этой точки зрения их теоретическое, прикладное и познавательное значение бесспорно. Но бывает, что величина средней не совпадает ни с одним из реально существующих вариантов, поэтому кроме рассмотренных средних в статистическом анализе целесообразно использовать величины конкретных вариантов, занимающие в упорядоченном (ранжированном) ряду значений признака вполне определенное положение. Среди таких величин наиболее употребительными являются структурные, или описательные, средние мода ( ) и медиана ( ).

     Мода – это значение показателя наиболее часто встречаемого в совокупности т.е мода это варианта с наибольшей частотой

       Отыскание моды производится по-разному, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда. Поиск моды в дискретном ряду происходит путем простого просматривания столбца частот. В этом столбце находится наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. Может оказаться, что два признака имеют одинаковую частоту. В этом случае ряд будет называться бимодальным.

     В интервальном вариационном ряду модой  приближенно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряде распределения мода вычисляется по формуле: 

          где

          - нижняя граница модального интервала;

      - величина модального интервала;

      - частота в модальном интервале;

      - частота интервала перед  модальным интервалом;

      - частота интервала после  модального интервала.

     Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

     Моду  можно определить графически по гистограмме. Для этого в самом высоком столбце гистограммы от границ 2-х смежных столбцов проводят линии, затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс и будет соответствовать моде.

     Мода  широко используется в статистической практике при изучении, например, покупательского  спроса, регистрации цен и т.д.

     Медиана – это значение признака, которое приходиться на середину упорядоченной совокупности. Она делит совокупность на две равные части. Значение в одной части будут меньше медианного в другой больше медианного.

     В ранжированных рядах несгруппированных  данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы по формуле:

          , где

     n – число членов ряда.

     В случае четного объема ряда медиана  равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

     В интервальных рядах распределения  медианное значение (поскольку оно  делит всю совокупность на две  равные по численности части) оказывается  в каком-то из интервалов признака x. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется по формуле:

    , где 

   x₀ - нижняя гранича медианного интервала;

   h_Me - величина медианного интервала;

   S_Me-1 - сумма накопленных частот до медианного интервала;

    - полусумма частот ряда;

   f_Me - частота медианного интервала.

   Медиану можно определить графически. Для  этого строится кумулята. Для определения Ме высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через полученную точку проводятся прямую, параллельную оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения и является Ме.