Шпаргалка по "Статистике"

f(X/y) и f(Y/x) – нормальные плотности

Геометрически  плотность f(x,y) двуменого нормального распределения (1) представляет «холмообразную » поверхность. Проекция вершины холма на плоскость xOy имеет координаты (m₁, m₂) Эта точка называется центром рассеивания.

Сечение поверхности Z=f(x,y) плоскостями , параллельными плоскости xOy, есть кривые, определяемые ур-нием:

, где λ – const. Проекциями  этих кривых на плоскость xOyбудут  эллипсы. Т.к. плотность f(x,y) имеет на этих кривых постоянное значение, то соответствующие эллипмсы наз. эллипсами равных вероятностей

Эллипсы равных вероятностей имеют общий центр – центр рассеивания с координатами(m₁, m₂)  и общие оси симметрии (они наз главными осями ξ и η)

18.Функции  случайных величин.  Вычисление мат  ожиданий. Нахождение  закона распределения  для функции одной  случайной величины, в случае дискретной  и непрерывной  случайной величин

Сиреневый учебник  по кот ДЗ делали стр119

Функции дискретных случайных величин 

Если каждому  возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное  значение случайной величины Y, то Y  называют функцией случайногвеличины Х

y=φ(x)

y=φ(x)

 
 
 

Пример:

y=x³ 
 

x→y 
 

y=x² 
 

Функции непрерывных  случайных величин 

y=φ(x) – непрерывная дифференцируемая монотонная ф-ция

1.Монотонно возрастает (Лекции 13 рисунок)

{y<Y}равносильно{x<X}

{x<X}: F_x(x)=P(x<X)= - ф-ция распределения

P(y<Y)=G_y(y)-ф-ция распределения

g(y)=

2.Монотонно убывает

X>x

P(y>Y)=G_y(y)

g(y)=

Функция  плотности  вероятности для функции случайной  величины

y=φ(x)

g(y)=

Математическое  ожидание

y=φ(x)

1. Пусть X- дискрет  случ. вел, тогда y_n= φ(x_n)

 

2.Пусть X –непрер.  Случ. вел

 

Для вычисления числовых характеристик неслучайной  ф-ции случайной величины не надо знать закона распределения зависящей  от X случайной величины Y, а достаточно знать закон распределения случайного аргумента X.

19. Функции нескольких  случайных величин.  Вычисление мат  ожиданий и дисперсий  для суммы случайных  величин. 

1. Математическое  ожидание

2. Дисперсия

                Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1. M[X+Y] = M[X] + M[Y]
2. M[X*Y] = M[X] * M[Y]
3. D[X+Y] = D[X] + D[Y]

 
 

3. Коэффициент ковариации

                Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1. Если X и Y независимы, то Cov(X,Y) = 0   (обратное неверно!)

2. Cov(aX,bY) = ab*Cov(X,Y), где a и b – константы
3. Cov(X,Y)

 

4. Коэффициент корреляции

Св-ва мат. ожидания и дисперсии:

1. |ρ(X,Y)| ≤ 1, этот результат следует из свойства 3 для ковариации случайных величин X и Y.
2. Если Х и Y – независимые случайные величины, то ρ(X,Y) = 0 (по свойству 1 для ковариации)
3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью: Y=aX + b, где a и b – константы, а ≠ 0, то  |ρ(X,Y)| = 1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

20. Центральная предельная  теорема. Теорема  Муавра-Лапласа. Асимптотическое  распределение среднего  арифметического  случайных величин. 

Центральная предельная теорема. 
Одна из формулировок: Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ². Рассмотрим величину X=X1+…+Xn, при n->∞ функция распределения случайной величины

имеет нормальное распределение N(0,1) и равномерно по х сходится к функции распределения стандартного нормального закона Φ(х), где

Формулировка  Ляпунова Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием m и дисперсией σ².

 

Следствия ЦПТ.

Распределение среднего арифметического  случайных величин.

Пусть X1…Xn… - независимые и одинаково распределенные случайные величины с мат.ожиданием и дисперсией . Среднее арифметическое их: 

]=nm/n=n

.

При n->∞ -> 0. Среднее арифметическое можно представить: , т.е. можно рассмотреть как сумму случайных величин. Тогда

 – в силу центральной  предельной теоремы 

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть Х – случайная величина, имеющая  биномиальное распределение. (q=1-p; n испытаний)

Х –  число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли

Х=0…n

 

Введем  величину

Причем         M[Xi]=1*p+0*q=p

                  D[Xi]=M[Xi²]-p²=p-p²=p(1-p)=pq 

X = X1 + … + Xn     (они все независимы и имеют одинаковое распределение)

M[X] = M[X1 + … + Xn] = M[X1] + … + M[Xn] = np

D[X] = D[X1 + … + Xn] = D[X1] + … + D[Xn] = npq

Следовательно: X  

 
 

Теорема Муавра-Лапласа позволяет количественно  оценить разброс события А  в некотором эксперименте, который  может повторятся n раз в неизменных условиях. Приблизительное значение p равно значению наблюдаемой относительной частоты появления события А в n экспериментах, причем, чем больше n тем выше относительная точность этого результата. 

21. Теорема Бернулли. 

Пусть А – случайный исход некоторого экспериментов, P(A)=p – вероятность этого исхода. Предположим, что эксперимент повторяется n раз в неизменных условиях (т.е. вероятность Р(А)=р не изменяется при повторении экспериментов). Тогда относительная частота появление события А при n -> ∞ сходится по вероятности к р:

,    или   

где n – общее число исходов,

       m – число благоприятных исходов,

       p – вероятность появления случ. величины.

Док-во:

Пусть    Причем , а .

Вычислим  математическое ожидание случайной  величины : 

M[Xi] = 1*p + 0*q = p

И математическое ожидание их среднего арифметического:

Случайные величины , i=1…n по условию взаимно независимы, а их среднее арифметическое есть относительная частота появления события А в середине n экспериментов

Теорема Бернулли дает математическое обоснование  экспериментальным результатам, в  которых наблюдается устойчивость частот при увеличении числа экспериментов.

Устойчивость  среднего арифметического можно объяснить тем, что случайное отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном результате, в массе однородных результатов взаимно поглощаются, нивелируются, выравниваются. Вследствие этого средний результат  

ктически  перестает быть случайным и может быть предсказан достаточно точно. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

22. Теорема Чебышева  и ее обобщение. 

Если  дисперсии n-независимых случайных величин (X1…Xn) ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Док-во:

По условию: M( )=    …   M( )=   

 

По первому  неравенству Чебышева получаем:

поскольку P>1, то:

Вывод: при достаточно больших n выполнение рассматриваемого неравенства является событием практически достоверным, а неравенства противоположного смысла практически невозможно.

Таким образом предел по вероятности следует понимать не как категорическое отверждение, а как утверждение, вероятность которого гарантируется с вероятностью близкой к 1 (при n->∞)

Таким образом, при большом числе случайных  величин практически достоверно, что их средняя случайная величина как угодна мало отличается от неслучаной – среднего математического ожидания, т.е. перестает быть случайной.