Шпаргалка по "Статистике"

 

Начальным моментом k-го порядка α_k случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины X.

, α=1,2,3..

k=1 α₁=M[X]=m

k=2 α₂=M[X²] 

Центрированная  случайная величина - это величина, равная X’=X-MX

Покажем, что математическое ожидание MX’  равно 0.

 

Центральным моментом k-го порядка μ_k случ.величины Х называется матем.ожидание  k-ой степени отклонения Х от ее мат.ожидания m

, k=1,2,3…

 Модой d_x дискретной случайной величины, принимающей зн-я x₁,x₂.. , называется такое зн-е случ.величины,кот.имеет наибольшую вер-ть: P[X= d_x]=max P[X=x_k] (при условии что x_k –единств.зн-е,удовлетвор.этому условию.

 Медианой  h_x случайной величины называется такое ее значение, для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Квантиль порядка р=0,5 назыв. медианой h_x случ.вел-ны Х (h_x=х_0,5)

 Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки, в  которой площадь под кривой распределяется пополам.

7.Повторение  испытаний. Схема  Бернулли. Биномиальное  распределение. Формула  Пуассона

Последовательные  испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний.

Схема испытаний Бернулли:

1. послед-ть независимых  испытаний с двумя исходами («успех»  и «неуспех»);

2. эксперимент  проводится n раз в неизменных  усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны. 

n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).

 - формула Бернулли, где C_n^k-число случайного размещения события А в послед-ти из n мест.

Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем. Свойства бином.распр-я:

1. ;

2. -матем.ожидание

3. -дисперсия.

Приближенная  формула Пуассона: . При , при условии (-интенсивность потока): = = ; .

• 9.Производящие функции вероятностей.
• G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=M[z^k]   
• G(1)=   (кси) =1                                    
• G’(z)=P₁+2P₂z+3P₃z²+…+ KP_Kz^k-1      
• G’(1)=M[x]=m                                      
• G”(z)=2P₂+6P₃z+…+k(k-1)P_kZ^k-2        
• G”(1)=∑k²P_k - ∑kP_k                                              
•                    _{k=0              k=0}Биномиальное распределение
• X=0,1,2,…n –бином-ое распредел.
• Pk=P[x=k]=C^k_nP^kq^n-k
• G(z)=P₀+P₁z+P₂z+…+P_kz^k…=∑ C^k_nP^kq^n-kz^k=
• =∑ C^k_n(pz)^kq^n-k=(pz+q)ⁿ
• G’(z)=n(pz+q)^n-1p
• G’(1)=M[x]=np
• G”(z)=n(n-1)( pz+q)^n-2p²
• G”(1)=n(n-1)p²
• M[x]=np = ∑kP_k        D[x]=npq = ∑(k-np)²P_k
• Распределение Пуассона
• P_k=P[x=k]= (λ^k\k!)e^-λ
• G(z)= ∑(λ^k\k!)e^-λz^k=e^-λ∑( λz)^k\k!= e^-λ e^zλ= e^λ(z-1)
• G’(1)= e^λ(z-1) λ
• G’(1)= λ= M[x]=m
• G”(z)= e^λ(z-1) λ²
• G”(1)= λ²                             
• M[x]=λ   D[x]= λ²+ λ- λ²= λ
• Геометрическое распределение
• X=0,1,2….
• P_k=P[x=k]q^kp
• G(z)= ∑P_kz^k=∑q^kpz^k=p∑(qz)^k=P*1\(1-qz)=P\(1-qz)
• M[x]=1\p  D[x]=q\p²
• 10.Вероятность в непрерывных пространствах элементарных событий и ее свойства. Геометрические вероятности
• Пусть - непрерывное простр-во.
• Алгебра событий (F) – это система подмножеств , кот.удовл-ет следующим свойствам:
• 1. ;
• 2. A,B F => A+B F, AB F, не А и не В CF;
• 3 . F явл-ся сигма-алгеброй, если определены операции.
• Пусть событие А F, тогда Р(А) – вероятность, число, которое должно удовл-ть: 1. Р(А)>=0; 2. P( )=1; 3. A+B F => P(A+B)=P(A)+P(B). Свойства вероятностей:
• 1. - вер-ть невозможного события
• 2.
• 3. - если А-следствие В, то Р(А)<=Р(В).
• 4. P(A+B)<=P(A)+P(B)
• 5. непрерывности:
•       если А1, А2,…, Аn,…: , то ;
•       если , то .
• Геометрические вер-ти, Для любого подмножества А можно посчитать его площадь: Р(А)=площ.А/площ.
• Т.к. вер-ть пропорцион-на площади, то чем > лощадь, тем  > вероятность попадания в событие.
• P(A)=mes(A)/mes( ) – мера А/мераS.

 
 
 
 
 
 

11.Непрерывные  случайные величины. Функция распределения  и плотность распределения,  и их Свойства. Механическая интерпретация.  Свойства мат.  Ожидания и дисперсии.  Квантили. Мода. Медиана.  Асимметрия и эксцессСлучайная величина Х называется непрерывной, если для нее существует неотрицательная частично-непрерывная функция f(x) , удовлетворяющая для любых значений x равенству (случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал). f_x - плотность распределения вероятностей (плотность распр-я единичной массы на инт-ле). Св-ва:

если x [a;b]: 1. f(x)>=0;  2. ; ;

если  : 1. f(x)>=0;  2. ; - норм.распр-е. 

F(x) – ф-я распределения для непрер.случ.величин, определена на всей числовой оси, ее значение в точке х равно вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее чем х. Свойства:

1. 0 <=F(X)<= 1
2. F(- )=0
3. F(+ )=1
4. F(X)-неубыв.ф-я
6. F(X)=dF(X)/dx
7. - вер-ть попадания в отрезок [c;d].

Мат.ожидание: , , где f(x)dx=P[x<X<x+dx] – элемент вер-ти. Свойства:

1. M[cX]=cM[X]
2. M[c+X]=c+M[X]
3. M[X+Y]=M[X]+M[Y]
4. = ,

Дисперсия: , .Начальный момент k-го порядка - ;

Центральный момент k-го порядка - .Асимметрия - , где - ср.квадратич.отклонение

Эксцесс – хар-ет форму распред-я в окрестности вершины

Квантиль – абсцисса (точка на оси х), которая слева от себя отделяет площадь под графиком плотности, равную Р. F(x_p)=P – порядок квантили. 1. ;  2. . Квантиль порядка 0,5 – х_0,5 – для любого распр-я наз-ся медианой (h) (отделяет ½ площади под плотностью слева и справа). Если распр-е симметрично, то h совпадает с мат.ож. m.

Мода (d) – абсцисса, при кот. плотность распр-я имеет максимум: f(d)=max

- моды нет (несколько лок.максимумов) 

12. Нормальное распределение.  Вероятность попадания  в интервал, симметричный  относительно мат.  ожидания. Асимметрия  и эксцесс распределения.  Вычисление центрального  момента порядка  k. Стандартизированное нормальное распределение и его свойство. Правило трех сигм.

Нормальное  распределение N(m,s²) имеет плотность, определяемую формулой:

 

 Функция распр-я F(х) норм.распр-я равна:

 

 Параметры m и s² норм.распр-я равны соответственно мат.ожиданию и дисперсии случ.вел-ны Х:

 

 

 Центральные моменты норм.распр-я можно вычислить из рекуррентного ур-ния:

 μ_k+2=(k+1)s²μ_k , k=0,1,2,… (причем μ₀=1)

 Для норм.распр-я все центр.моменты  нечетного порядка равны 0.

 Коэффициент ассиметрии a_x норм.распр-я равен 0.

 a_x=μ₃/s₃

 Из  формул получаем: μ₂=s², μ₄=3s⁴

 Коэффициент эксцесса равен 0: е_х= μ₄/s⁴-3=0

 Стандартизированное нормальное распределение  и его свойство.

 Норм.распр-е  с нулевым мат.ожиданием и дисперсией,равной 1, назыв.стандартным норм.распр-нием:

 Х~ N(0,1)

 Ф-ла плотности j(х) станд.норм.закона равна

  , -¥<x<¥

 А функция  распр-я:

 

 Так как плотность распр-я станд.норм.закона j(х) симметрична относ-но оси ординат,то для ф-ции распр-я Ф(х) справедливо след.св-во: Ф(-х)=1-Ф(х)

 Зн-я  функции Ф(х) использ.при вычислении вер-ти попадания норм.распр-ной  случ.величины Х в заданный интервал:

 

 В практич.задач  часто приходится вычислять вер-ть попадания случайной величины Х~ N(m,s²) в интервал, симметричный относительно ее математического ожидания m:

 

 Используя получ.рез-тат,вычислим вер-ть отклоенения  от мат.ожидания норма.распр-ной случ.вел-ны на вел-ну,равную трем средневкадратич.отклонениям, 3s:

 P[|X-m|<3s]=2Ф(3)-1»2*0,9987-1»0,9973

 Этот  результат известен как «правило трех сигм»: с вер-тью 0,9974(практически =1)зн-е нормально распределенной случ.вел-ны лежит в интервале (m-3s;m+3s)

 Правило трех сигм это правило часто используется для подтверждения или отбрасывания гипотезы о нормальном распределении случайной величины. 

13. Системы дискретных  случайных величин.  Таблица распределения.  Независимость. Ковариация. Механическая интерпретация.  Условные распределения.

Рассмотрим две  случайные величины X  и Y, определенные на одном дискретном вероятностном  пр-ве (Ω,F,P). Обозначим значения, кот. принимает случ. величина Х через  х1, х2, …, хn, а значения случ. величины Y через y1,y2,…,yn. Распределение вероятностей X и Y обозначим соответственно p_х1, p_х2, …, p_хn и p_y1, p_y2, …, p_yn. Вер-ть события, состоящего в том, что Х=хi и Y=yj, обозначим как P[X=xi; Y=yj]=p_ij.

Опр Система равенств P[X=xi; Y=yj]=p_ij, p_ij>0, , p_ij=1, i=1,2, .., n, j=1,2,..,m определяет совместное распределение дискретных случайных величин X и Y или системы 2-ух дискр. случ. величин (X,Y).

Распределение системы 2-ух дискр. случ. вел. (X,Y) записывают в виде таблицы распределения. 

Таблица (1)

Суммируя вер-ти p_ij по строкам, получим рапределение случ. вел X: , i=1,2, .., n, суммирование вер-тей p_ij по столбцам дает распределение случ. вел. Y: , j=1,2,..,m. Аналогично определяется распределение системы более чем 2-ух случ. вел.