Шпаргалка по "Статистике"

Условные  распределения: Условная вер-ть события Х=хi при условии, что Y=yj (p_yi>0) определяется формулой   (1). Система равенств (1) при , i=1,2, .., n задает условное распределение случ. вел. X при условии,что случ. вел Y принимает заданное значение Y= yj.

Опр Определение независимости случ. величин. Пусть таблица (1) суть таблица распределения случ. вел X и Y. Случ. вел-ны X и Y наз. независимыми, если события X=xi и Y=yj независимы для всех i и j таких, что 1≤i≤n,  1≤j≤m, т.е.   или p_ij= .(если это условие не выполняется , то величины зависимые) Если X и Y независимые случ. вел., то таблица распределения (1) имеет вид таблицы умножения. Аналогично определяется взаимная независимость более чем 2-ух случ. вел. Для независ. случ. вел. Условные вер-ти равны безусловным вер-тям = ,  

Опр Случайные величины X1, X2,..,Xn определенные на одном дискретном вероятностном пр-ве наз. взаимно независимыми, если для любой комбинации значений x_i1, x_i2, .., x_in. .

Опр Пусть случ. величины X и Yимеют конечные дисперсии. Ковариацией X и Y наз.. математическое ожидание произведения центрированных случ. величин (X-m_x) и (Y-m_y):

cov(X,Y)=M[(X-m_x)(Y-m_y)]= M[XY]-m_xM[Y]-m_xM[X]+m_xm_y=M[XY]-m_xm_y  (Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от её математического ожидания)

Св-ва cov:

1.Если X и Y независимые  случ. вел, то cov(X,Y)=0, обратное же неверное, т.е. если cov(X,Y)=0, это не значит,что величины независимы.

2.cov(aX,aY)=abcov(X,Y), где a и b – константы

3.cov(X,Y)≤

Это неравенство  явл. следствием неравенства Коши-Буняковского: (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²] (1).

Док-во нер-ва (1):

Рассмотрим очевидное  неравенство M[(aX+Y)²]  ≥0, где а-любое действительное число, а≠0. Преобразуем левую часть этого неравенства, используя св-ва мат. ожиданий

M[(aX+Y)²]=M[a²X²+2aXY+Y²]=a²M[X²]+2aM[XY]+M[Y²]≥0 Т. К. Полученный относительно a трехчлен принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант будет меньше или равен нулю: 4(M[XY])²-4M[X²] *M[Y²]≤0 Отсюда следует неравенство (M[XY])²≤M[X²]*M[Y²]. Заменим X на (X-m_x), а Y на (Y-m_y), получим: (M[(X-m_x)(Y-m_y)])²≤M[(X-m_x)²]*M[(Y-m_y)²] или (cov(X,Y))²≤D[X]*D[Y]

Механическая  интерпретация. 
 

n-мерные случ. величины

(x1, x2,..,xn)- n-мерный случ. вектор

(x1, x2,..,xn)=

M[ ]=(M[x1],…, M[xn]), т.е мат. ожидание вектора равняется вектору мат. ожиданий.

Cov(Xi;Yj)=M[(Xi-m_xi)(Yj-m_yj)], j,i=1,..,n

 

-ковариационная матрица (симметрична)

-корреляционная матрица(симметрична)

D[x1+x2+x3]=D[x1]+D[x2]+D[x3]+2cov(x1,x2)+2cov(x2,x3)+2cov(x1,x3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

14.Мат.  ожидание и дисперсия  суммы случайных  величин. Мат ожидание  произведения случайных  величин.

M[X]=m_x=    M[Y]=m_y=

(M[X], M[Y])-центр распределения.

Пусть X и Y - случ. вел. С конечными мат. ожиданиями. Мат. ожидание их суммы равно сумме их мат. ожиданий.

M[X+Y]=

M[X]+M[Y]

Пусть X и Y- взаимно независимые случ. вел с конечными мат. ожиданиями. Мат ожидание произведения XY равно произведению их мат. ожиданий.

M[XY]= =M[X]*M[Y]. Это правило распространяется на любое конечное число взаимно независимых случ. величин. Заметим, то последнее равенство для зависимых случ. величин, вообще говоря, е выполняется.

Пусть X и Y- случ. Вел с совместным распределением, задаваемым таблицей (1). Условное мат. ожидание случ. dел. X при условии, что Y принимает заданное значение

Y = yj, вычисляется по формуле: M[X/Y=yj]= >0

Дисперсия суммы случайных  величин:

D[X+Y]    z=X+Y =>

D[z]=M[(z-m_z)²], а m_z=m_x+m_y

D[z]= M[((X-m_x)+(Y-m_y))²]= M[(X-m_x)²]+2 M[(X-m_x)(Y-m_y)]+ M[(Y-m_y)²]=D[X]+2cov(X,Y)+D[Y]

Таким образом:

D[X±Y]=D[X]+D[Y]±2cov(X,Y)

Если X и Y независимые, то cov(X,Y)=0 =>  D[X±Y]=D[X]+D[Y]

Рассмотрим

D[aX±bY]=a²D[X]+b²D[Y]±2abcov(X,Y) 

15.Коэффициент  корреляции как  характеристика статистической  связи. Некоррелированность  и независимость  случ. величин.

В качестве меры линейной зависимости между случ. величинами X и Y используют коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

 

Св-ва коэфиициента корреляции:

1.

Док-во: рассмотрим систему 2-ух случ. вел: (X,Y) Проведем нормировку (стандартизацию), т.е.

M[X]= m_x       D[X]=σ_x²             X^x_{нормиров}=    Нормированная величина – это тогда, когда

M[Y]=m_y         D[Y]= σ_y²        Y^y_{нормиров}=                m_ч=0, а σ_x=1

Cov(X^x,Y^y)=M[{ }]*M[{ }]=

2. Если  X и Y – незав. случ. вел, то , причем обратное неверно

3.Если X и Y связаны  линейной функциональной зависимостью: Y=aX+b, где a,b – const , a≠0,то

Док-во:

Т.к M[Y]=aM[X]+b=am_x+b, то имеем cov(X,Y)=M[(X-m_x)*(Y-m_y)]=M[(X-m_x)(aX+b-am_x-b)]=M[(X-m_x)a(X-m_x)]=aD[X]

Вычислим  дисперсию случ. вел. Y=aX+b     D[Y]=D[aX+b]=a²D[X]

Таким образом, коэффициент корреляции равен:

 Следовательно,  =1, если a>1 и

=-1, если a<0

Т.е коэффициент  корреляции является показателем линейной зависимости, но если ρ_xy=0. это не значит,что между ними нет никакой связи, это значит, что нет линейной зависимости.

Если коэффициент  корреляции между случ. вел. X и Y равен 0, то говорят, что X и Y некоррелированны.

Некоррелированность случ. вел X и Y означает только, что между  ними нет линейной зависимости и не означает статистическую независимость случ. вел X и Y.  

16.Системы  2-ух непрерывных  случ. вел. Определение  ф=ции распределения  и плотности, условные  распределения, зависимость  и независимость  случ. вел. Числовые  характеристики.

Пусть на вероятностном  пр-ве (Ω,F,P) заданы непрерывные случ. вел X1=X1(ω), X2=X2(ω),.., Xn=Xn(ω), ω Ω.

Опр Совместной ф-цией распределения F(x₁, x₂,…, x_n) случ. вел X1,X2,..,Xn наз-ся вероятность события [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]: F(x₁, x₂,…, x_n) =P [X1<x1;X2,x2;…;Xn<xn]

Фукция распределения:

F(X,Y)=P[X<x,Y<y]

Если пользоваться геом. интерпретацией системы образом  случ. точки, то ф-ция распред. есть не что иное, как вер-ть попадания  случ точки (X,Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (x,y), лежащий левее и ниже ее .(Лекция 12, рис)

1.Ф-ция распред.  Есть неубывающая ф-ция обоих  своих аргументов,т.е

При x2>x1, F(x2,y)≥ F(x1,y)

При y2>y1  F(x,y2) ≥F(x,y1)

2.Повсюду на -∞ ф-ция распред. равна нулю:

F(x,-∞)= F(-∞,y)= F(-∞,-∞)=0

3. F(x,+∞)=F1(x), F(+∞,y)=F2(y)

4. F(+∞,+∞)=1

Неотрицательная ф-ция n переменных f(x₁, x₂,…, x_n) наз-ся совместной плотностью распределения случ. величин X1,X2,..,Xn , если их совместная ф-ция распределения может быть представлена в виде F(x₁, x₂,…, x_n) = Геометрически функцию f(x,y) можно изобразить некоторой поверхностью – поверхность распределения. Если пересечь поверхность распред. Плоскостью, перелелльной плоскости XOY, и спроектировать полученное сечение на плоскость XOY, получится кривая, в каждой точке которой плотность расред. постоянна.

Плотность распределения  имеет след. св-ва:

1. f(x₁, x₂,…, x_n) ≥; (это ясно из того, что плотность распред. есть предел отношения двух неотриц. величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника)

2. =1; (геометрически это cв-во означает ,что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью XOY равен едицице.)

3.Если ф-ция  определена, вектор попадет в  некоторую область,тогда вер-ть  определяется: P[(x1,x2,..,xn) G]= (геометрически вер-ть попадания в область G изображается объемом цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью распред и опирающегося на область G.

Зная совместную плотность распределения f(x₁, x₂,…, x_n)  случ. вел X1,X2,..,Xn  можно найти плотность распред. каждой случ. вел. Для двумерного вектора (X1,X2) с плотностью f(x₁, x₂) распределение случ. вел X1, f₁(x₁) равна f₁(x₁) = , а плотность распред. случ. вел. X2, f₂(x₂) равна f₂(x₂) =

Опр Случ. величины X1,X2,..,Xn  наз-ся независимыми, если для любых действительных переменных x₁, x₂,…, x_n,  F(x₁, x₂,…, x_n) =F1(x₁)* F2(x₂)*…* Fn(x_n), где Fi(x_i)-ф-ция распред. случ. вел Xi, i=1,2..,n

Равносильное определение независимости случайных величин  X1,X2,..,Xn   записывается так f(x₁, x₂,…, x_n) =f₁(x₁)* f₂(x₂)*…* f_n(x_n), где f_i(x_i)-плотность распред. случ вел. Xi, i=1,2..,n

f₁(x)=

f₂(y)=  

X и Y независимы, если = f₁(x)* f₂(y)

X и Y независимы, если f(X/Y)= f₁(x); f(Y/X)= f₂(y)

Условные  плотности распределения.

Распределение Y, если X принимает какое-либо значение f(Y/X)

Распределение X, если Y принимает какое-либо значение f(X/Y)

Условная  ф-ция и распределения.

Распред. X, при  условии Y=y

  

f(X/y)=    f(Y/x)=

Числовые  характеристики:

1. Мат ожидание:

M[X]=m_x=

M[Y]=m_y=

2.Дисперсия

Св-ва:

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

M[X*Y]=M[X]*M[Y], если X и Y независимые

D[X+Y]]=D[X]+D[Y], если X и Y независимые 

3.Ковариация

4.Коэффициент  корреляции

(Св-ва ковариации билет 13, св-ва корреляции билет 17.Нормальный закон на плоскости.

Двумерное нормальное распределение  –это распределение системы двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y), определяемой формулой.

  Плотность распределения  случ. вел X, f₁(x), вычисляется интегрированием f(x,y) по y:

 Аналогично вычисляется плотность распред случ вел Y,f₂(y):

 Формула (1) показывает,что  в случае двумерного нормального  распределения с плотностью (1) компоненты X и Y имеют нормальное распред,  причем M[X]=m₁, D[X]=σ₁², M[Y]= m₂, D[Y]=σ₂²

Ковариация X и Y равна

cov(X,Y)=M[(X-m₁)(Y-m₂)]= Отсюда следует,что параметр ρ в (1) есть коэффициент корреляции

Св-ва:

1.Если (X,Y) имеет норм. распред.:

Каждая компоненты этого распределения также имеет  нормал. распределение

 

2. Если ρ=0 => f(x,y)= * => X и Y – независимые

3.Условная плотность  распределения: