Спектральный анализ с использованием алгоритмов БПФ

Министерство образования и  науки Российской Федерации

ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный  университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»

 

Кафедра теоретических  основ радиотехники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Спектральный анализ с использованием алгоритмов БПФ

Отчет по лабораторной работе №2

по  дисциплине «цифровая обработка  сигналов»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	Подпись	Дата	Ф.И.О.
Преподаватель	____________________	____________	Сосновский А. В.
Студентка	____________________	____________	Хорькова М. А.

 

Группа Р-37072

 

 

 

 

 

 

Екатеринбург, 2010

 

Цель работы

Изучить алгоритмы БПФ. Исследовать  АЧХ и ФЧХ БПФ-фильтра. Оценить  искажения спектра сигнала при  использовании алгоритма БПФ.

 

1.  Расчетное задание

1. 1. Разработать алгоритм и изобразить граф-схему («бабочку») БПФ с основанием 2 и числом точек 8. Построить сигнальный граф этого БПФ для следующих алгоритмов:

• с прореживанием по времени,
• с прореживанием по частоте.

Определить общее число  аддитивных и мультипликативных  операций, используемых в этих алгоритмах.

 

Рассмотрим идею БПФ с прореживанием по времени на примере деления набора отсчетов пополам. Если у нас имеется некоторая входная последовательность с четным числом отсчетов N, тогда первая половина коэффициентов ДПФ исходной последовательности вычисляется через коэффициенты ДПФ двух последовательностей половинной длины, полученных из исходной путем прореживания. Т.е.

(1)

 

Вторую половину коэффициентов можно получить, учтя, что    и

периодические функции с периодом :

                   (2)

 

Соотношения (1) и (2) являются основой алгоритма  БПФ с прореживанием по времени  и поэтому носят название базовой операции. Ее удобно представлять направленным графом. По его виду базовую операцию БПФ с основанием 2 называют «бабочкой» (рис. 1).

 

Рис.1. Структурная схема  «бабочки» БПФ с прореживанием  по времени

 

Дальнейшие вычисления строят по итерационному  принципу: последовательности отсчетов с четными и нечетными номерами вновь разбивают на две части и продолжают процесс до тех пор, пока не получится последовательность из двух элементов. Так -точечные ДПФ могут быть представлены как комбинации двух -точечных ДПФ:

 

 

 

Здесь и - коэффициенты  -точечного ДПФ последовательностей,  составленных из четных и нечетных членов последовательности .

Двухточечное ДПФ последовательности , может быть рассчитана без умножений:

 

На рис.2 приведен полученный таким  образом граф восьмиточечного БПФ.

Рис.2. Граф алгоритма восьмиточечного  БПФ с прореживанием по времени.

 

Рассмотрим теперь алгоритм БПФ с прореживанием по частоте:

а)   Из исходной последовательности длиной N получаются две

последовательности  и длиной N/2 согласно следующим формулам:

                                                ₍₃₎

   

 

б) ДПФ последовательности дает спектральные отсчеты с четными номерами, ДПФ последовательности - с нечетными:

 

                             (4)

 

 

Соотношения (3) также описывают базовую операцию – «бабочку», граф которой приведен на рис.3.

 

 

Рис.3. Базовая операция БПФ с  прореживанием по частоте.

Соотношения (3) и (4) также  позволяют толковать алгоритм БПФ  как сочетание умножения на множители поворота ДПФ над последовательностями половинной длины. Только в алгоритме с прореживанием по частоте умножение на множители поворота предшествует выполнению короткого БПФ. Переходя далее от -точечных ДПФ к -точечным и так далее приходим к двухточечному ДПФ, которое вычисляется без комплексных умножений. Проиллюстрируем   построение   алгоритма   БПФ   с   прореживанием   по частоте на  примере последовательности  из 8 отсчетов.  На  первом этапе представим 8-точечные ДПФ через 4-точечные ДПФ (рис.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 4 Представление 8-точечного ДПФ  через 4-ч точечное

 

Каждое четырехточечное  ДПФ в свою очередь может быть показано через комбинацию: получение  вспомогательных последовательностей  половинной длины - умножение на множители поворота - двухточечное ДПФ. В результате приходим к алгоритму, граф которого изображен на рис.5.

 

Рис.5. Полный граф 8-точечного  БПФ с прореживанием по частоте

 

Для обоих  типов БПФ число требуемых  пар «умножение-сложение» можно  оценить как  . Таким  образом при N=8 получим 24 пары операций.

 

1.2 АЧХ и ФЧХ БПФ-фильтра на 4-м и 5-м отводах

 

 

 

1. 3. Спектры сигналов

• гармонического колебания при f_д = 2f₀,
• гармонического колебания при f_д = 4f₀,
• гармонического колебания при f_д = f₀/2+ f₀/16,
• прямоугольного видеоимпульса.

f_д = 2f₀

f_д = 4f₀

 

 

 

f_д = f₀/2+ f₀/16

Прямоугольный видеоимпульс

 

2. Результаты  лабораторной работы

2.1. АЧХ и ФЧХ БПФ-фильтра на 1-м и 2-м отводах

1	11,08	5,16
2	27,16	10,88
3	29,40	6,51
4	32,00	0,00
5	29,38	9,59
6	16,34	23,27
7	9,52	29,20
8	0,00	32,00
9	6,62	29,23
10	4,02	18,17
11	4,06	9,31
12	0,00	0,00
13	4,08	6,34
14	2,08	5,07
15	2,52	3,85
16	0,00	0,00

 

2.2. БПФ гармонического колебания с частотой, соответствующей максимуму главного лепестка АЧХ для 1-го отвода

 

2.3. БПФ гармонического колебания с частотой, соответствующей частоте между 1-м и 2-м отводами. Рассмотреть и объяснить возникшие искажения спектра сигнала. (f = 6 Гц)

2.4. Спектры прямоугольных видео- и радиоимпульсов с произвольными параметрами.

 

     2.5. Спектр гармонического сигнала, заданного числом отсчетов n1 и дополнением массива нулями до n (n1< n). Оценить и объяснить искажения спектра этого сигнала. Рассмотреть 3 случая:

• n1 = 0.25n,
• n1 = 0.5n,
• n1 = 0.75n.

 

Выводы

В ходе лабораторной работы мы изучили алгоритмы БПФ, исследовали  АЧХ  БПФ-фильтра, оценили искажения  спектра сигнала при использовании алгоритма БПФ. Были проведены исследования АЧХ и БПФ-фильтра по его отводам. Вид АЧХ зависит от частоты дискретизации, формы сигнала и отвода, который рассматривается в данный момент.