Спектральный анализ рядом Фурье

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Рязанский  государственный  радиотехнический университет»

(ГОУВПО  «РГРТУ») 

Кафедра

«Информационно-измерительной  и биомедицинской техники» 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа 

по дисциплине:

«Преобразование измерительных сигналов» 

на тему:

Спектральный  анализ 
 
 
 

Выполнил:

ст. группы 734

Вахтинская  Е.А.

Проверил:

Садовский Г.А

 
 
 
 
 

Рязань 2010

Задание

1. Рассчитать аналитически спектр одного периода заданного сигнала и периодической последовательности:

1. Непосредственно преобразованием Фурье;
2. С использованием теорем о спектрах.

2. Проверить правильность расчетов численными методами.

3. Построить спектры периода.
4. Построить спектральную диаграмму периодической последовательности в синусно-косинусной и амплитудно–фазовой формах.
5. Исследуемые сигналы: 2-я и 7-я функции Уолша.

 
 
 

 

        
 
 

 
 
 

Представим  данный сложный сигнал в виде суммы простых сигналов:

      -1,

  =          1, 

                         -1,    
 

Спектр  сигнала вычисляется по формуле:

                       

 Подставляя  в формулу, получаем:  

 

 Получившиеся  интегралы являются табличными

                     ,  

                   

   Формулы  Эйлера: 

                    

   Используя эти формулы, получим:

 

 

 
 

    
 
 
 
 

Суммируя получившиеся выражения, получим:

 
 

Вычислим  спектр сигнала, используя теоремы  о спектрах. 

   Спектры  сигналов, представленных на рисунках, равны:

                           

Таким образом, сумма этих спектров равна

 
 

   Как можно заметить выражения для энергетического спектра, вычисленного методом прямого преобразования Фурье и с помощью теорем о спектрах, совпадают – из этого можно сделать вывод, что вычисления произведены, верно.

 

    Построим  спектр периодической последовательности импульсов, который является дискретным. Коэффициенты ряда Фурье при ,  ,  =0,

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Представим  заданный сложный сигнал в виде суммы  простых сигналов:

       

Спектр сигнала вычисляется по формуле:

Подставляя  x(t) в формулу получим:

Получившиеся  интегралы вычисляются по формуле:

Используя формулы Эйлера вычислим спектр сигнала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Просуммировав получившиеся выражения, получим:

Вычисление спектра сигнала, используя теоремы о спектрах

Заданный  сигнал можно представить как  сумму прямоугольных импульсов.

Спектр  прямоугольного импульса вычисляется: , где – амплитуда сигнала, – длительность импульса. Подставляя значения нашего сигнала, получим:

Просуммировав полученные выражения, получим:

Выражения для энергетического спектра, вычисленного методом прямого преобразования Фурье и с помощью теорем о  спектрах, совпадают, следовательно, вычисления были сделаны, правильно.  

    Построим  спектр периодической последовательности импульсов, который является дискретным. Коэффициенты ряда Фурье при  ,  ,  =0,