Лидарный информационно – измерительный комплекс контроля вредных примесей в атмосфере

     Рассмотрим  первую модель. На первом этапе выполнения решений (2.1.5.), (2.1.6.) определяются оптимальные параметры γ априорной функции g (r, g). Это проблема двух- или трехмерной вынужденной минимизации функции T(g) с ограничениями, показанными выше, где T(g) представляется в виде:

 

        (2.1.14.)

     где:

     v _k, v _R – весовые коэффициенты, величины которых обратно пропорциональны экспериментальным ошибкам многоволновых сигналов на длинах волн k и для их Рамановских компонентов соответственно.

 

     Второй  этап решений (2.1.5.), (2.1.6.) – находят функцию s(r _i ) из системы алгебраических уравнений для коэффициентов обратного рассеяния β _ak и коэффициентов ослабления σ _a1 (z) + σ _aR (z):

 

              (2.1.15.)

 

        (2.1.16.)

     Для получения устойчивого решения  для s (r _i ) должны быть проведены некоторые регуляризационные процедуры. Регуляризационная процедура базируется на представлении о минимизации и «гладкости» функции s (r _i ). Это означает, что имеет минимум не только функция s (r _i ), но и ее первая s¢(r _i ) и вторая s¢¢(r _i ) производные. Кроме того, все решения f (r _i ) должны быть положительными. Таким образом,  формула регуляризации представляется в следующем виде:

 

      

 (2.1.17.)

 

     В выражении (2.1.17.) величина β^*_ak и (σ^*_a1 (z) + σ^*_aR (z)) находится на первом этапе алгоритма. Величины s ₀ и s _n+1 в выражении (2.1.17.) устанавливаются равными 0. Компоненты v _k и w _i – весовые коэффициенты. Коэффициенты a ₀ , a ₁ и a ₂ – масштабные факторы. Параметр a - регуляризационный параметр. По мере минимизации уравнения (2.1.15.) величина a остается постоянной.

     Первые  два слагаемых (2.1.17.) представляют квадраты разности между экспериментальной и теоретической величинами коэффициентов обратного рассеяния (ослабления). Величина этого выражения после окончания минимизации представляется как остаток δ.

     Третий  и четвертый слагаемые дают меру нормальности и «гладкости» функции  s _i .

     Параметр  регуляризации a определяет отношения между двумя первыми слагаемыми, показанными выше в  (2.1.17.).

     Функционал Q _m (s _i +g(r _i , γ ₀ )) используется для предотвращения появления отрицательной компоненты s _i в течение процесса минимизации и представляется в виде:

 

        (2.1.18.)

     где:

     θ – небольшая положительная константа,

     ζ _i = 0 при s _i > θ и ζ _i = 1 при s _i = θ,

  μ - параметр, который специально связывает функционал Q _m (s _i +g(r _i , γ ₀ ))  с общим функционалом T_α (s _i ).

 

     Требуемая функция s _i определяется минимизацией функционала T_α (s _i ). Проблема состоит в выборе величины параметра регуляризации α. Путем вариации α могут быть получены различные значения f (r) = s (r) + g (r, g). При небольшой величине α функция f (r) может сильно отличаться от априорной функции и быть не гладкой, но хорошо согласовываться с экспериментальной величиной β _ak и (σ _a1 (z) + σ _aR (z)) (разность δ небольшая). Наоборот, при большой α функция f (r) – гладкая и согласуется с априорной функцией, но разность, как правило, велика.

     Минимизация функционала T_a (s _i ) при фиксированном параметре α осуществляется прямой минимизацией  (2.1.15.) с использованием какого-либо метода вынужденной нелинейной оптимизации. Нелинейность  связана с присутствием функционала Q _m (s _i +g(r _i , γ ₀ )), не являющегося квадратной функцией s _i по всей области варьирования s _i от -∞ до +∞.

     В целях получения более точного  решения, которое может быть скоординировано с известными экспериментальными данными, введем критерий гладкости функции f (r). Степень гладкости G для функции f (r) определяется как:

      G = (max γ _i )   (2.1.19.)

      где:

      γ _i = max (f _i + 1 / f _i , f _i / f _i + 1),                  i = 2, 3, … , n - 2.

 

     Таким образом, предельные отношения f ₂ / f ₁ и f _n / f _n -1 исключаются из рассмотрения.

     Уменьшение  величины G по отношению к максимальной приводит к более гладким функциям. Критерий выбора достаточно прост: удовлетворять интуитивной идее гладкости функции  и быть сравнимым с экспериментальными данными f (r).

     Перед началом минимизации функционала (2.1.17.) должны быть определены гладкость G и разность δ: G = G ₀ , δ = δ ₀ . Затем следует серия минимизаций за счет изменения величины α с заданным шагом. Из полученной последовательности решений учитываются только те решения, для которых G £ G ₀ . После этого среди них выбираются решения, для которых величина разности δ наиболее близка к δ ₀ .

     Путем вариации параметров G и δ можно получить решения, удовлетворяющие различным критериям. Точные, но не гладкие решения могут быть получены путем увеличения G и уменьшения δ. С другой стороны, уменьшая G и увеличивая δ можно получить более гладкие, но менее согласующиеся с экспериментальными данными решения.

     Рассмотрим  более сложный вариант алгоритма  регуляризации, где модель аэрозоля может меняться вместе со спектром аэрозоля. В этом случае число моделей считается как априорно возможным. По существу, набор матриц B _ki , C _ki и C _kR для каждой модели выбирается предварительно. Выбор между моделями может быть сделан по критерию минимума среди разностей δ полученных при минимизации функционала (2.1.17.) с фиксированной величиной параметра α.

     Выбирается следующая стратегия алгоритма решения. Вначале берется большая величина α = α ₀ и выбирается оптимальная модель. Затем алгоритм начинает работу, используя фиксированную выбранную модель аэрозоля. После окончания берется конечная величина α = α _f и процесс выбора оптимальной модели повторяется для α = α _f . Если отобранная модель такая же, как предыдущая, алгоритм останавливает работу.

     2.2. Алгоритм вычислений функции распределения частиц аэрозоля по размерам, а также счетной и массовой концентрации аэрозоля

 

     Перед началом процесса происходит калибровка сигнала лидара по профилю коэффициентов  обратного рассеяния, полученных в  результате зондирования (или сравнение сигналов лидара по коэффициентам обратного рассеяния).

     Сравнение сигналов лидара происходит с использованием выбранной точки, в которой коэффициенты обратного рассеяния предполагаются известными. Затем решение лидарного уравнения последовательно переносится от выбранной точки на другие части трассы лидара. Этот путь решения  надежен кроме тех интервалов лидарной трассы, где проблема обратного рассеяния не может быть решена из-за небольшой величины сигналов обратного рассеяния  или большой величины ошибок при решении лидарного уравнения. В этом случае в таких частях лидарной трассы используется другой алгоритм решения лидарного уравнения. Таким образом, программа обработки данных включает предварительную стадию.

     1-й  тип калибровки (прямая калибровка)

     Выбор калибровочной точки важен для  целей обработки лидарных данных.. Эта точка может быть взята на различных высотах в различных точках полученного в результате зондирования сигнала обратного рассеяния в атмосфере (см. рис. 2.2.1.). Обычно опорная точка выбирается на большой высоте, где коэффициенты обратного рассеяния аэрозоля малы по сравнению с коэффициентами Релеевского рассеяния, поэтому они либо полагаются равными 0, либо берутся согласно некоторой модели атмосферного аэрозоля. В этом случае β(Z _r ) = β _m (Z _r ). Величина β _m (Z _r ) вычисляется из модели атмосферного аэрозоля. На участке стратосферы калибровочная точка выбирается выше уровня аэрозоля стратосферы. По достижении верхней тропосферы калибровочная точка выбирается под тропопаузой, где обычно наблюдается малая величина содержания аэрозоля. Для нижней тропосферной стадии калибровочная точка может быть выбрана выше границы перемешивания.

 

Рис. 2.2.1. Выбор калибровочной точки.

 

     2-й  тип калибровки

     Калибровочная процедура 2-го типа используется, когда  в каком-либо случае сигнал от точки  z _g не может быть обнаружен, например, когда ниже находятся облака. Другая ситуация, когда 1-й тип калибровки невозможен, может иметь место, когда большое содержание аэрозоля наблюдается на всех высотах. В таких ситуациях калибровка может быть выполнена на базе предыдущих калибровок по 1-му типу. В данной ситуации необходимо провести измерение прозрачности атмосферы T(0, z), где

 

        (2.2.1.)

 

     Лидарные  измерения прозрачности проводятся с помощью метода лидарного зондирования по наклонной трассе.

     Следующие уравнения иллюстрируют процедуру калибровки.

     Для более ранней калибровки по 1-му типу в точке z _g1

 

      F(z _g1) = β _m (z _g1) T²(0, z _g1) (2.2.2.)

 

     Для последующей калибровки в точке  z ₀, выбранной в качестве опорной:

 

      F _N (z _g) = β(z _g ) T²(0, z _g ) (2.2.3.)

 

     Из (2.2.2.), (2.2.3.) следует:

 

      β(z _g ) = F _N (z _g ) β _m (z _g1 ) T²(0, z _g1 ) / (F (z _g1 ) T²(0, z _g )) (2.2.4.)

 

     Это означает, что опорная величина β(z _g ) может быть получена при помощи данных предварительной калибровки по 1-му типу с использованием данных о прозрачности атмосферы в момент обеих калибровочных процедур.

     На  предварительном этапе обработка сигнала выполняется на базе выбранной оптической модели атмосферы. Вычисление параметров функции распределения не производится. Априорная информация используется в лидарном отношении для профилей высоты аэрозольного рассеяния θ _a (z) = β _m (z Cos f) / σ _m (z Cos f), где f угол трассы зондирования над горизонтом. Величина β _m (h) и σ _m (h) (где h –это высота) на длине волны зондирования берется из оптической модели атмосферы. Кроме того, априорно используется профиль коэффициента молекулярного рассеяния σ _m (z). Решение лидарного уравнения β _m (z) может быть представлено в виде:

 

        (2.2.5.)

      где:

       ;

       ;

       .

 

     Из (2.2.4.) можно видеть, что решение уравнения (2.2.5.) позволяет определять  аэрозольное ослабление через величину фактора T²_a (z, z _g ). Заметим, что решение  (2.2.5.) – это строгое решение лидарного уравнения.

     Оценка  относительной ошибки β _a (z) выполняется и записывается в аналитическом виде:

 

        (2.2.6.)

     где: