Основные теоретические сведения по задачам линейного программирования и теории двойственности

F = 3x₁ + 4x₂+ 3x₃+ x₄.

Так как предприятию нужно получить максимальную прибыль, ставится задача максимизации целевой функции

F = 3x₁ + 4x₂+ 3x₃+ x₄ ®max.

Трудовые ресурсы ограничены 80 единицами, его расходуется на производство ковров “Лужайка”  — 7x₁ единиц, на производство ковров “Силуэт” — 2х₂ единицы, на производство ковров “Лужайка” — 2x₃ единицы, на производство ковров “Дымка” — 6x₄ единиц. Поскольку количество израсходованного ресурса не должно превышать его запаса на предприятии, можно записать следующее ограничение:

7x₁ + 2х₂ + 2x₃ + 6 x₄ £80.

Аналогично записываются ограничения  для других ресурсов:

 

Сырья: 5x₁ + 8x₂ + 4x₃ + 3x₄£ 480

Станочного оборудования: 2x₁ + 4x₂ + x₃ + 8x₄£ 130

 

Таким образом, математическая модель задачи выглядит следующим образом:

 

 

Целевая функция представляет собой  общую прибыль от производства продукции. Ограничения отражают конечность запасов  ресурсов на предприятии. Неотрицательность  переменных следует из их смысла.

Приведем  исходную задачу к каноническому  виду:

 

 

Дополнительные переменные (y_i) есть остатки ресурсов каждого вида.

 

Составим двойственную задачу к  математической модели:

Двойственные переменные z_i — это оценки ресурсов задачи (теневые цены). В двойственной задаче приведем ограничения к виду равенства, вычитая из левых частей ограничений дополнительные переменные (v_j):

Дополнительные двойственные переменные (v_j) есть производственные потери на одну единицу продукции j-го типа.

Для решения  задачи в Excel с помощью надстройки Поиск решения сформируем экран так, как показано на рисунке:

 

 

Вызовем надстройку Поиск решения и заполним окно поиска. Необходимо также установить флажок Линейная модель, нажав кнопку Параметры.

 

 

Затем активизируем процесс поиска и после его окончания в  окне Результаты поиска решения выделим все три типа отчетов. Нажатие кнопки OK приведет к созданию новых листов рабочей книги: “Отчет по результатам”, “Отчет по устойчивости” и “Отчет по пределам”. Результаты решения на исходном рабочем листе будут сохранены.

4. Анализ решения задачи планирования выпуска ковров.

 

Оптимальные значения всех переменных исходной и двойственной задач с пояснением этих значений в терминах постановки задачи.

Максимальная  прибыль 150 тыс. руб., достигается при выпуске:

Ковров  “Лужайка” 0 ед.,

Ковров  “Силуэт” 30 ед.,

Ковров  “Детский” 10 ед.,

Ковров  “Дымка” 0 ед..

 

При этом затрачено ресурсов:

Рабочей силы: 80 чел./дней;

Сырья:  280 кг;

Оборудование:  130 станко/час;

 

Не  использовано ресурсов (оптимальные  значения дополнительных двойственных переменных y_i):

Рабочей силы: 0 чел./дней;

Сырья:  200 кг;

Оборудование:  0 станко/час;

 

Теневая цена (оптимальные значения дополнительных двойственных переменных z_i):

Рабочей силы: 1,333333333;

Сырья:  0;

Оборудование:  0,333333333;

 

 

1.  Каков оптимальный план выпуска ковров? Какая будет получена при этом общая стоимость продукции?

 

Ковров “Лужайка” 0 ед.,

Ковров “Силуэт” 30 ед.,

Ковров “Детский” 10 ед.,

Ковров “Дымка” 0 ед..

 

При таком плане производства общая стоимость продукции составит 150 тыс. руб.

Приложение 1  “ Результат решения задачи планирования выпуска ковров ”

 

2.  Имеется ли остаток какого-либо ресурса?

y₁^* = 0; y₂^* = 200; y₃^* = 0;

При выпуске ковров по оптимальному плану будет остаток  сырья (200 кг.) Остальные ресурсы будут  использованы полностью.

Из отчета по устойчивости можно  получить следующие значения теневой  цены:

z₁^* = 1,333333333; z₂^* = 0; z₃^* = 0,333333333;

Сопоставляя значения y_i и z_i, убеждаемся в справедливости 2-й теоремы двойственности:

Наиболее дефицитным видом ресурсов являются трудовые ресурсы, т.к. их теневая цена будет самой наибольшей. Так же оборудование будет загружено не полностью.

Приложение 2 “Отчет по устойчивости”

3.  Как изменится общая стоимость продукции, если количество трудовых ресурсов увеличить на 100 чел/дн (нанять еще рабочих)? Стоит ли увеличивать трудовые ресурсы на 200 чел/дн?

Трудовые ресурсы  являются наиболее дефицитными, т.к. теневая  цена для него выше чем для остальных (1,333) Общая стоимость продукции при увеличении трудовых ресурсов на 100 чел/дней увеличится на 133,3 тыс. руб. Из отчета по устойчивости видно, что допустимое увеличение 150 чел/дней, но  увеличив трудовые ресурсы на 200 чел/дней, прибыль возрастет на 160 тыс.  руб.

Приложение 3 “ Результат решения задачи при увеличении трудовых ресурсов.”

4. К чему приведет плановое задание по выпуску ковров “Дымка” в количестве 10 шт?

Не  выгодным является продукция II так как нормированная стоимость для нее равна 1 тыс. руб. Выполнив задание, прибыль уменьшится на 100 тыс. руб.

       Приложение 4 “ Результат решения задачи планирования выпуска продукции, при выпуске ковров “Дымка” в количестве 10 шт.”

Заключение

В результате написания  курсовой работы, были получены знания о линейном программировании. Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т. е. равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

Так же сформированы знания об исследование операций. Исследование операций представляет собой математические и количественные методы для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Исследование операций начинается тогда, когда для обоснования решений применяется тот или другой математический аппарат.

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов  в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором  смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические  возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для  анализа и синтеза экономических  ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим  названием — математическое программирование.

В данной курсовой работе была решена задача линейного программирования с помощью надстройки Excel «Поиск решения» и применены знания теории двойственности для анализа её решения.

В результате решения задачи был найден оптимальный для фабрики выпуск продукции, при котором она максимизирует свою прибыль:

Ковров “Лужайка” 0 ед.,

Ковров “Силуэт” 30 ед.,

Ковров “Детский” 10 ед.,

Ковров “Дымка” 0 ед..

 

При таком плане прибыль  от реализации будет максимальна - 150 тыс. руб.

Так же были рассчитаны необходимые  для этого ресурсы. Было выявлено, какие ресурсы у предприятия находятся в излишке, а какие в дефиците. Была найдена продукция, выпуск которой не выгоден для предприятия и рассчитана сумма потерь при увеличении объема выпуска данной продукции.

Список  использованных источников

 

Автоматизация решения задач линейного программирования. Пособие для студентов дневной  формы обучения экономических специальностей.- В.В. Бондарева, О.И. Еськова – Гомель, БТЭУ, 2003 г.

Еськова О.И. Экономико-математические методы и модели: курс лекций для студентов  дневной формы обучения экономических  специальностей – Гомель, БТЭУ, 2006 г.

Орлова  И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению  задач. – М: Вузовский учебник, 2007 г.

Экономико-математические методы и модели. Компьютерные технологии решения: Учеб. Пособие.- И.Л. Акулич, Е.И. Велесько и др. – Мн.:БГЭУ, 2003.

Экономико-математические методы и модели: Учеб. Пособие.-под  ред.С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова.- Мн.:БГЭУ, 2006.

Зайцев, М. Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. Компьютерно-ориентированный  подход: учеб.пособие для вузов / М. Г. Зайцев. – М. :Дело, 2002.

Костевич  Л.С. Математическое программирование: Учеб.- практ. Пособие. – Мн.:БГЭУ, 2003.

Методические  требования к содержанию и оформлению курсовых работ – Л.П.Харлап, Е.М. Сибагатова – Гомель, БТЭУ, 2004

http://journal.vlsu.ru/index.php?id=1542

 

Приложение 1

“Результат решения задачи планирования выпуска ковров”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2

 

“Отчет по устойчивости”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

 

“ Результат решения задачи при увеличении трудовых ресурсов”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 4

 

“Результат решения задачи планирования выпуска продукции,  при выпуске ковров “Дымка” в количестве 10 шт. ”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 5

 

“Отчет по результатам ”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 6

 

“Отчет по пределам”