Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Февраля 2012 в 11:41, контрольная работа
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику? Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.
Введение -----------------------------------------------------------------------стр. 3
1. Задачи математического программирования------------------------стр. 5
2. Свойства задачи линейного программирования--------------------стр. 8
Задача----------------------------------------------------------------------------стр. 10
Список использованной литературы--------------------------------------стр. 11
Содержание
Введение ------------------------------
1. Задачи математического
программирования--------------
2. Свойства задачи
линейного программирования----
Задача------------------------
Список использованной литературы--------------------
Введение
Многие задачи, с которыми
приходится иметь дело в повседневной
практике, являются многовариантными.
Среди множества возможных
Математическое
1)
совокупность неизвестных
2) целевую
функцию (функцию цели,
показатель эффективности,
критерий оптимальности,
3) Наилучший
вариант доставляет целевой
Эти условия следуют из
ограниченности ресурсов, которыми располагает
общество в любой момент времени,
из необходимости удовлетворения насущных
потребностей, из условий производственных
и технологических процессов. Ограниченными
являются не только материальные, финансовые
и трудовые ресурсы. Таковыми могут
быть возможности технического, технологического
и вообще научного потенциала. Нередко
потребности превышают
Один из разделов математического программирования - линейное программирование. Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.
Начало линейному
1) умение находить начальный опорный план
2) наличие признака оптимальности опорного плана
3) умение переходить к не худшему опорному плану.
Задачи математического программирования
Исследование различных, в том числе и экономических, процессов обычно начинается с их моделирования, т.е. отражения реального процесса через математические соотношения. При этом производится составление уравнений или неравенств, связывающих различные показатели (переменные) исследуемого процесса, которые образуют систему ограничений.
В этих соотношениях выделяются
такие переменные, меняя которые,
можно получить оптимальное значение
основного показателя данной системы
(прибыль, доход, затраты и т.п.). Соответствующие
методы, позволяющие решать указанные
задачи, объединяются в общее название
«математическое
Математическое
Итак, математическое программирование
— это раздел высшей математики,
занимающийся решением задач, связанных
с нахождением экстремумов
Методами математического программирования решаются задачи распределения ресурсов, планирования выпуска продукции, ценообразования, транспортные задачи и т.п.
Математическое
1) выбор переменных задачи;
2) составление системы ограничений;
3) выбор целевой функции.
Переменными задачи называются величины х1,х2,х3....хn, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора Х=( х1,х2,х3....хn)
Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые следуют из ограниченности ресурсов или других экономических или физических условий, например, положительности переменных и т.п. Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти. Таким образом, общая задача математического программирования формулируется следующим образом: найти экстремум целевой функции задачи
f(х1 х2, х3...., хn) →max
f (х1 х2, х3...., хn) →min (a)
и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений
g1 (x1, x2, x3....xn) =0
gm(x1, x2, x3....xn) =0
Если целевая функция (a) и система ограничений (b), (c) являются линейными, то задача математического программирования называется задачей линейного программирования.
В общем случае задача линейного программирования может быть записана в следующем виде:
Z(x) = c1x1+c2x2+…. +cnxn →max (min)
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
ai1x1 + ai2x2 + … + a in xn ≤ bi
a(i+1)1x1+a(i+1)2x2+…+a(i+1)n xn ≤ bi+1 (e)
am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm
xi ≥ 0, i=1,2,…t;
t≤ n
Это позволяет найти экстремум целевой функции задачи (d) и соответствующие ему переменные Х=(х1,х2,х3,...., хn) при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений (e) и условиям не отрицательности (f).
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор Х=(х1,х2,х3,...., хn), удовлетворяющий системе ограничений и условиям не отрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР), Оптимальным решением (планом), задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
Так как в данном случае решается задача на экстремум, то возникает вопрос о возможности использования классических методов исследования на экстремум функции многих переменных. Первым шагом в этом направлении является использование необходимого условия экстремума функции, которое состоит в том, что частные производные функции многих переменных или равны нулю, или не существуют.
Но если все ci = 0, то и Z= 0, т.е. экстремум функции не обнаруживается. Связано это с тем, что производную можно использовать для определения экстремума только во внутренних точках области решений, а в данном случае экстремум, как будет показано ниже, находится на границах области. Отсюда и возникает необходимость разработки специальных методов поиска экстремума
Свойства задачи линейного программирования
Понятие линейного программирования.
Линейное программирование—раздел
математического
Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.
Формы записи задачи линейного программирования:
Общей задачей линейного программирования называют задачу:
max(min)Z |
(1)при ограничениях: |
(i=1,2….m) |
(2) |
(i = m1+1,..., m1) |
(3) |
(i = m2+1,..., m2) |
(4) |
xj≤ 0 (j=1,2…..n1) |
(5) |
xj-произвольные (j= n1+1,…..n) |
(6) |
где сj,аij,
bi;- заданные действительные числа;
(1) - целевая функция;
(2) - (6) -ограничения;
х = (х,;...;хn) –план задачи.
Свойства решений.
Пусть ЗЛП представлена в следующей записи:
mах Z = сх
А1х1,+А2х2+... + Аnхn=А0 (8)
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0,…….хn ≥ 0 (9)
Чтобы задача (7) - (8) имела решение, системе её ограничений (8) должна быть совместной. Это возможно, если r этой системы не больше числа неизвестных n. Случай r>n вообще невозможен. При r= n система имеет единственное решение, которое будет при хj ≥ 0 (j=1,...,n) оптимальным. В этом случае проблема выбора оптимального решения теряет смысл. Выясним структуру координат угловой точки многогранных решений. Пусть r<n, вэтом случае система векторов А1,А2,...,Аn содержит базис — максимальную линейно независимую подсистему векторов, через которую любой вектор системы может быть выражен как ее линейная комбинация. Базисов, может быть несколько, но не более с. Каждый из них состоит точно из r векторов. Переменные ЗЛП, соответствующие r векторам базиса, называют, как известно, базисными и обозначают БП. Остальные n — r переменных будут свободными, их обозначают СП. Будем считать, что базис составляют первые m векторов А1,А2,...,Аm. Этому базису соответствуют базисные переменные х1,х2,...,хm, а свободными будут переменные хm+1,хm+2,….хn.
Если свободные переменные приравнять к нулю, а базисные переменные при этом примут неотрицательные значения, то полученное частное решение системы (8) называют опорным решением (планом). Если ЗЛП имеет решение, то целевая функция достигает экстремального значения хотя бы в одной из крайних точек многогранника решений. Если же целевая функция достигает экстремального значения более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся их выпуклой линейной комбинацией.
Задача
Зависимость доходов фирмы R и издержек I в зависимости от объёма производства x задётся функциями следующего вида: R(x)=2/3x3 – 18x2 – 17x ; C(x)=1/3x3 – 10x2 +150. производственные мощности позволяют производить до 30 единиц продукции. При каком объёме производства прибыль максимальна?
Решение
R(x) = 2/3x3 – 18x2 – 17x
C(x) = 1/3x3 – 10x2 +150
P(x) = R(x) – C(x)
P(x) =2/3x3 – 18x2 – 17x – 1/3x3 + 10x2 –150
P(x) =1/3x3 – 8x2 – 17x –150
Решая кубическое уравнение по теореме Кордано получаем 3 значения х.
x1=27
x2= 3
x3= – 5 (не имеет экономической силы)
Ответ: 27
Список использованной литературы
1. Замков О.О., Толстопятенко А.В, Математические методы в экономике, Дело и сервис, 2001
2. Коршунова Н.И., Плясунов В.С. Математическая экономика. М.: Вита-Пресс, 1996
3. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: