Задачи по "Финансовой математике"

Решение

      Для сглаживания исходного временного ряда и расчета индикаторов используется табличный процессор EXCEL.

1. Экспоненциальная скользящая средняя (EMA)

      Экспоненциальная  скользящая средняя для уровня временного ряда t определяется по формуле

,

где C_t — цена закрытия дня t; — параметр сглаживания.

      Первым уровнем, для которого определяется EMA, является уровень . Для этого уровня EMA рассчитывается по формуле средней арифметической первых n уровней ряда:

.

      Таким образом

.

      Для следующих уровней EMA определяется по основной формуле. Так для уровня t=6:

,

и т. д. для остальных уровней (см. приложение).

      EMA дает сглаженную кривую, на которой более отчетливо, чем на графике цен, прослеживается тенденция к росту или падению цен. EMA можно рассматривать как линию тренда. Поэтому если EMA пересекает ценовой график и идет над ним, то это сигнал к продаже финансового инструмента, если под ним — к покупке.

      Анализ  графика EMA для последних уровней временного ряда показывает, что экспоненциальная скользящая средняя пересекает ценовой график и идет над ним (см. приложение). Это является сигналом к продаже финансового инструмента.

2. Момент (MOM)

      Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

.

      Первым днем, для которого определяется момент, является день , для которого

.

      Аналогичным образом рассчитывается MOM и для последующих дней.

      Положительные значения MOM свидетельствуют об относительном росте цен (сигнал к покупке), отрицательные — об их снижении (сигнал к продаже).

      Анализ  графика MOM показывает, что для последних уровней MOM имеет отрицательные значения. Это является сигналом к продаже финансового инструмента.

3. Скорость изменения цен (ROC)

      Скорость  изменения цен рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад:

.

      Расчет скорости изменения цен ROC, также как и момента MOM начинают со дня :

 и т.д.

      Значения ROC, превышающие уровень 100 %, свидетельствуют об относительном росте цен (сигнал к покупке). Если значения ROC ниже 100 %, то это является сигналом к продаже.

      Анализ последних значений ROC показывает, что они ниже уровня 100 %. Это является сигналом к продаже финансового инструмента.

4. Индекс относительной силы (RSI)

      Индекс  относительной силы для уровня временного ряда t определяется по формуле

,

где AU_t — сумма приростов конечных цен за n дней; AD_t — сумма убыли конечных цен за n дней.

      Индекс  относительной силы RSI начинают рассчитывать с уровня . Для этого уровня сумма приростов конечных цен будет иметь значение

;

сумма убыли конечных цен —

.

      Индекс относительной силы равен

%,

и т. д. для последующих уровней.

      Если значения RSI находятся в пределах от 80 до 100 % (зона «перекупленности»), то это означает, что цены сильно выросли, надо ждать их падения, и готовиться к продаже финансового инструмента. Сигналом к продаже служит момент выхода графика RSI из зоны «перекупленности».

      Если значения RSI находятся в пределах от 0 до 20 % (зона «перепроданности»), то это означает, что цены упали слишком низко, надо ждать их роста и готовиться к покупке. Сигналом к покупке служит момент выхода графика RSI из зоны «перепроданности».

      Анализ  графика RSI для последних уровней временного ряда не позволяет сделать однозначный вывод, продавать или покупать финансовый инструмент. Рекомендация — «держать».

5. Стохастические линии (%R, %K, %D)

      Индекс %R для дня t определяется по формуле

,

где H_n и L_n — соответственно максимальная и минимальная цены за n дней ( предшествующих и текущий t).

      Индекс %K для дня t определяется по схожей формуле

.

      Первым днем, для которого рассчитываются индексы %R и %K, является день . Для этого дня максимальная цена за n=5 дней (предшествующих и текущий) составила

;

минимальная цена —

.

      Индекс %R имеет значение

;

индекс %K равен

,

и т. д. для остальных дней.

      Смысл индексов %R и %K состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен, наоборот, ближе к минимальной. Индексы %R и %K проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия. Если значение индекса %R ниже 20 %, то это является сигналом к покупке финансового инструмента. Превышение же индексом %R уровня 80 %, наоборот, свидетельствует о необходимости продажи финансового инструмента. Для индекса %K выводы противоположные.

      Анализ  графиков индексов %R и %K для последних уровней временного ряда показывает, что индекс %R превысил 80 %, а индекс %K упал ниже уровня 20 %. Все это является сигналом к продаже финансового инструмента.

      Индекс %D для дня t рассчитывается аналогично индексу %K, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, оперируя их трехдневной суммой:

.

      Первым днем, для которого определяется индекс %D, является день . Для этого дня

,

и т. д. для последующих уровней.

      По  своему смыслу индекс %D схож с индексом %K. Поэтому, если значение индекса %D ниже 20 %, то это указывает на падение цен и является сигналом к продаже финансового инструмента. Если индекс %D выше уровня 80 %, то это свидетельствует о росте цен и является сигналом к покупке финансового инструмента.

      Анализ  графика индекса %D не позволяет сделать однозначный вывод, продавать или покупать финансовый инструмент. Рекомендация — «держать».

      6. Рекомендации по результатам сглаживания временного ряда и расчета индикаторов  

      ¨ «Покупать»

      Сигнал к покупке финансового инструмента не подает ни один из индикаторов.

      ¨ «Держать»

      На  необходимость «держать» финансовый инструмент указывают индикаторы RSI и %D.

      ¨ «Продавать»

      Сигнал  к продаже финансового инструмента  подают индикаторы EMA, MOM, ROC, %R и %K.

      ВЫВОД: финансовый инструмент целесообразно продавать. 

ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.

ЗАДАНИЕ 3

      Выполнить различные финансовые расчеты, используя следующие исходные данные:

 

      Расчеты выполнить вручную и с использованием табличного процессора MS Excel. 

      Задача 1. Банк выдал ссуду размером P=5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды —08.01.2007 г., возврата — 22.03.2007 г. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Простые проценты рассчитываются по ставке i=7 % годовых. Найти проценты I:

      1.1) точные с точным числом дней  ссуды;

      1.2) обыкновенные с точным числом  дней ссуды;

      1.3) обыкновенные с приближенным  числом дней ссуды.

      Решение. Определим число дней ссуды:

точное

;

приближенное

.

      Действительное число дней в 2007 году — 365 (год невисокосный).

      1. Точные проценты с точным числом дней ссуды («АСТ/АСТ»):

 руб.

      2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («АСТ/360»):

 руб.

      3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («30/360»):

 руб.

      Задача 2. Через t=90 дней после подписания договора должник уплатит S=5 000 000 руб. Кредит выдан под i=7 % годовых (проценты простые, обыкновенные). Какова первоначальная сумма ссуды Р?

      Решение. Так как проценты обыкновенные, временная база составляет K=360 дней. Первоначальная сумма ссуды Р или, что одно и тоже, — современная стоимость выплачиваемой в будущем суммы S, определяется ее математическим дисконтированием по ставке простых процентов:

 руб.

      Задача 3. Через t=90 дней предприятие должно получить по векселю S=5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом и учел его по простой учетной ставке d=7 % годовых (временная база равна 360 дням). Определить полученную предприятием сумму P и дисконт D.

      Решение. За вексель предприятие получило в банке

 руб.

      Доход банка в виде дисконта составил

 руб.

      Задача 4. В кредитном договоре на сумму P=5 000 000 руб. и сроком на n=6 лет зафиксирована ставка сложных процентов i=7 % годовых. Определить наращенную сумму S к концу срока ссуды.

      Решение. Наращенная сумма к концу срока ссуды составит