Задачи по "Финансовой математике"

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  
ИНСТИТУТ

Филиал  в г. Брянске 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по  дисциплине

ФИНАНСОВАЯ  МАТЕМАТИКА 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Брянск  — 2009

ЗАДАНИЕ 1

      Имеются квартальные данные о кредитах коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов): 

 

      Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=l,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

      1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса  с линейным ростом имеет следующий вид:

,

где Y_p(t) — расчетное значение экономического показателя для периода t; k — период упреждения; a(t), b(t) — коэффициенты модели, которые уточняются по мере перехода от одного уровня временного ряда к следующему; F(t+k–L) —коэффициент сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L — период сезонности (для квартальных данных L=4).

      Уточнение параметров модели для уровня временного ряда t производится с помощью следующих формул:

где a₁, a₂, a₃ — параметры сглаживания (по заданию a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3).

      Начальные значения параметров модели a(0) и b(0) определим, построив методом наименьших квадратов линейную модель

по первым восьми значениям Y(t) из таблицы исходных данных. С помощью встроенных функций табличного процессора EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» были определены значения параметров a(0) и b(0) (см. приложение). Окончательно модель (4) имеет вид:

.

      С помощью этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими данными Y(t), что позволяет определить приближенные значения коэффициентов сезонности I — IV кварталов соответственно:

F(–3)=0,8612; F(–2)= 1,0778; F(–1)=1,2777; F(0)=0,7831(см. приложение).

      С использованием формул (1) — (3) строим адаптивную модель Хольта-Уинтерса для всех N=16 уровней временного ряда (см. приложение).

      2. Оценим точность построенной модели через среднюю относительную ошибку аппроксимации , определяемую по формуле

% (см. приложение),

где — остатки.

      Значение  не превышает 5 %, что свидетельствует о высокой точности модели.

      3. Для того чтобы модель Хольта-Уинтерса была адекватной исследуемому экономическому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.

      1) Проверим случайность уровней ряда остатков по критерию поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков равно p=8 (см. приложение).

      Критическое число поворотных точек для  N=16 определяется по формуле

      Так как  , то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

      2) Проверим независимость уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции) двумя методами: по d-критерию Дарбина-Уотсона и первому коэффициенту автокорреляции r(1).

      d-статистика Дарбина-Уотсона определяется по формуле

.

      Сравниваем  d-статистику с критическими значениями d₁=1,10 и d₂=l,37. Так как ,5, то уровни ряда остатков признаются независимыми.

      Первый  коэффициент автокорреляции определяется по формуле

.

      Видно, абсолютная величина (модуль) первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r₁=0,32, что указывает на независимость уровней ряда остатков.

      3) Проверим соответствие ряда остатков  нормальному закону распределения по R/S-критерию:

,

где E_max и E_min — наибольший и наименьший остатки соответственно; — среднее квадратическое отклонение ряда остатков.

      Значение R/S-критерия попадает в критический интервал от 3 до 4,21. Это означает, что уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

      Таким образом все условия адекватности и точности выполняются, что позволяет говорить о приемлемом качестве модели.

      4. С использованием формулы

строим прогноз размеров кредитов на четыре квартала вперед.

      Имеем

:

• 17-й квартал (период упреждения k=1): Y_р(17)= 56,3;
• 18-й квартал (k=2): Y_р(18)= 69,6;
• 19-й квартал (k=3): Y_р(19)= 83,4;
• 20-й квартал (k=4): Y_р(20)= 50,9.

      5. Строим график фактических, расчетных и прогнозных значений кредитов на жилищное строительство (см. приложение). 
 

ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 2 листах.

ЗАДАНИЕ 2

      Даны  цены финансового инструмента (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней:

 

      Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

      Интервал  сглаживания n принять равным пяти дням (n=5). Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.