Анализ и прогнозирование числа собственных легковых автомобилей по субъектам РФ

 

Вытянутость  облака  точек  на  диаграмме  рассеяния  вдоль  наклонной прямой позволяет сделать предположение, что существует некоторая объективная  тенденция  прямой  линейной  связи  между  значениями  переменных  X  —центральный  федеральный  округ  и  Y  —число  собственных  легковых автомобилей.

Рисунок 5 - Диаграмма рассеивания (корреляционное поле)

 

Задание 7. Выполнить расчет линейного коэффициента корреляции между зависимыми признаками. Оценить его значимость по критерию t –Стьюдента.

Промежуточные  расчеты  при вычислении  коэффициента корреляции между переменными представлены в Таблице 7.

 

 

 

 

Таблица 7 - Расчет коэффициента корреляции

№	Y	X			)
1	51,8	29,2	-50,9588	-89,3294	4552,12173	7979,744	2596,802
2	59,2	35,9	-43,5588	-82,629	3599,239965	6827,62	1897,371
3	62,3	42,9	-40,4588	-75,6294	3059,877024	5719,808	1636,916
4	67,6	56,1	-35,1588	-62,4294	2194,944671	3897,431	1236,143
5	70,6	75,9	-32,1588	-42,6294	1370,9117	1817,267	1034,19
6	76,8	95,3	-25,9588	-23,2294	603,008200	539,6056	673,8605
7	81,3	98,1	-21,4588	-20,4294	438,391141	417,3609	460,4811
8	98,6	123,4	-4,15882	4,870588	-20,25591696	23,72263	17,29581
9	109,5	131,1	6,741176	12,57059	84,7405536	158,0197	45,44346
10	114,5	139,5	11,74118	20,97059	246,219377	439,7656	137,8552
11	116,8	140,4	14,04118	21,87059	307,088788	478,3226	197,1546
12	120,8	153	18,04118	34,47059	621,8899654	1188,221	325,484
13	129,1	162,7	26,34118	44,17059	1163,50526	1951,041	693,8576
14	134,6	168,2	31,84118	49,67059	1581,56996	2467,167	1013,861
15	141,7	175,1	38,94118	56,57059	2202,92526	3200,231	1516,415
16	149,5	188,8	46,74118	70,27059	3284,529965	4937,956	2184,738
17	162,2	199,4	59,44118	80,87059	4807,04290	6540,052	3533,253
Cумма	174 6,9	2015	1,14 ∙ 10-13	0	30097,7505	48583,34	19201,12
Сред.	102,7588	118,5294118	0,7 ∙ 10-14	0	3344,19451	5398,148	35805,44

 

Средние  значения  случайных  величин  X  и Y,  которые являются  наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности x₁, x₂, …, x₁₇ и y₁, y₂, …, y₁₇,  равны соответственно  = 102,75882  и = 118,5294118

Дисперсия характеризует степень разброса значений x₁, x₂, …, x₁₇ (y₁, y₂, …, y₁₇) вокруг своего среднего  (и соответственно ):

 

= 3036,458 ,

= 1200,07

Стандартные ошибки случайных величин X и Y рассчитаем по формулам соответственно: 

= 55,10407      = 34,64203

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле: 

                                    = 0,985433

Оценим  значимость  коэффициента  корреляции.  Для  этого рассчитаем значение t-статистики по формуле

                              = 2,441

Табличное значение критерия Стьюдента равно: t_табл (α = 0,1; k = n - 2 = 18) =1,86. Сравнивая числовые значения критериев, видно, что t_расч > t_табл, т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Задание 8. Провести регрессионный анализ данных. Определения аналитической зависимости признаков в виде уравнения регрессии. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Для вычисления коэффициентов регрессии линейной модели используем метод наименьших квадратов. 

Построим  линейную  регрессионную  модель  методом  наименьших

квадратов, используем  вычисления, приведенные  в  Таблице 7.

Вычислим  значения коэффициентов линейной модели:

 

            

Таким образом, линейная модель имеет вид:  

=

Таблица 8 – Результаты вычислений по линейной модели

	47,4048
	51,5521
	55,8851
	64,0559
	76,3121
	88,3207
	90,0539
	105,7146
	110,4809
	115,6805
	116,2376
	124,037
	130,0413
	133,4458
	137,7169
	146,1972
	152,7586
Cумма	1745,895
Среднее	102,6997

 

 

 

 

Рисунок 6 – Регрессионный анализ данных (линейная регрессия)

 

Задание 9. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии  с помощью t-критерия Стьюдента (α = 0,05).

Проверка значимости каждого коэффициента регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

, где

= 2,282

- дисперсия коэффициента регрессии, наиболее простая формула

которого  имеет вид:

 

k - число факторных признаков в уравнении связи.

При проверке значимости коэффициентов регрессии на основе линейной парной зависимости дисперсия результирующего признака может быть вычислена следующим образом: 

 

где  дисперсия факторного признака:

         

остаточная  дисперсия:

 

Расчетное значение   t-критерия Стьюдента сравнивается с критическим, которое определяется по таблице табулированных значений:

, где

- уровень  значимости  критерия  проверки  гипотезы  о  равенстве  нулю параметров уравнения регрессии;

v - число степеней свободы, которое характеризует количество свободно варьируемых параметров совокупности;

         k - количество параметров в уравнении регрессии. 

  t _табл = 1,734

| t_расч | =2,44

   Так как, расчетное значение t-критерия Стьюдента по модулю превышает табличное, то коэффициент регрессии признается значимым.

 

        Задание 10. Проверить адекватности  модели регрессии. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

 

Коэффициент детерминации вычисляется  по формуле:

 

 

D = R² =

 

  В  случае  линейной  зависимости  он  показывает,  какая  часть  общей дисперсии  объясняется  за  счет  вариации  линейной  комбинации  независимых переменных  x₁, x₂,..., x_n  при данных коэффициентах ,,...,егрессии. 

D = 0,96949 ,т.е.  96,95% вариации объясняется факторами,  включенными в уравнение регрессии,  а 3,05% вариации объясняется прочими,  не включенными в модель факторами. 

По критерию Фишера оценка качества всей модели:

F = 26,76

F_табл. = 6,14

F > F_табл. → гипотеза  о  заложенных  в  уравнении  регрессии  связей принимается в обеих моделях.

Средняя относительная ошибка аппроксимации.

Рассчитаем  среднюю  арифметическую  величину  относительной  ошибки аппроксимации  по формуле:

                      

Получено  E_отн  = 5,61 %

Учитывая  коэффициент  детерминации,  можно  сделать  вывод  о  том, что большая  часть  общей  дисперсии  объясняется  за  счет  вариации  линейной комбинации независимых переменной X при данных коэффициентах регрессии.

F-критерия  Фишера  (α  =0,05)  показывает  существование  заложенных  в  уравнении регрессии связей, что  свидетельствует об адекватности  и значимости  уравнения  регрессии.  Средняя  относительная  ошибка  аппроксимации  (5,61%) мала, что говорит  о достаточно высоком качестве  построенной  модели.

 

Задание 11. Дать сравнительную оценку силы связи факторов результатом с помощью коэффициентов эластичности.

  Для  нахождения  средних  по  совокупности  показателей  эластичности получаем формулу:

                          = 0,619508 ∙

Коэффициент  эластичности  показывает,  что  с  ростом числа собственных автомобилей в центральном округе на 1% общее число возрастёт на 7,14%. 

 

Задание 12. Выполнить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0,1, если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

 

 

max X = 199,4

a₀=29,33

a₁=0,619

 

Задание 13. Оценить точность уравнения через среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Чем  меньше  рассеивание  уровней  ряда  вокруг  регрессии,  тем  меньше ошибка аппроксимации. Если ошибка аппроксимации меньше или ровно 7% - то модель считается хорошей.

В нашем случае при  E_отн  = 5,61%, модель регрессии можно считать соответствует высокой точности оценки.

Задание 14. Рассчитать ошибки и доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5 или 10% (α = 0,05; α = 0,10).

Рассчитаем  ошибки  и  доверительный  интервал  прогноза  для  уровня значимости 5 % (α = 0,05).

Ошибка  прогноза  –  величина,  характеризующая  расхождение 

фактического  и прогнозного показателя

 

 

• Средняя абсолютная ошибка прогноза (MAD)
•                                                 

Для модели

• На  практике  используются  относительные  ошибки,  выраженные  в процентах

 

• Средняя абсолютная процентная ошибка (МAPE)

 

Для первой модели: МAPE = 0,432

МAPE < 10%. Это свидетельствует о высокой точности обеих моделей.

 

• Для  проведения  сравнительной  оценки  нескольких  моделей 

используется  средняя процентная ошибка (MPE)

 

 

Для модели: MPE = 0,219

• Иногда для оценки моделей используются следующие два показателя

–  сумма    квадратов  ошибок  (SSE)  и усреднённое значение  квадратов ошибок  (MSE)

                    

Для модели: SSE= 1847

                    MSE= 543,1

Для расчёта  доверительного интервала используют выражение:

                                              U(1) =

где -  СКО тренда

n – количество  уровней ряда 

k – порядок модели (k=1)

y_t  - уровни ряда

- выровненные  уровни, принадлежащие тренду 

- табличное значение t-критерия Стьюдента (ta =1,734 при a = 0,05)

K – коэффициент,  зависящий от  длины временного  ряда  и периода

упреждения l =1

 

 

K = 2,248

Доверительный интервал прогноза для уровня значимости 5%:

Для модели:  U(l) = ± 2,248 ∙38,134∙ta = ± 68,372

 

Задание 15. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Представим  графически:  фактические  и  модельные  значения  Y,  точки прогноза. 

 

Рисунок 7 –Фактические и модельные значения Y, точки прогноза

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

   В  настоящее  время  статистические  методы  прогнозирования  заняли видное  место в экономической практике.  С развитием  компьютерной  техники, совершенствованием  информационных  технологий,  распространением  пакетов прикладных  программ  эти метода  вышли за  стены учебных и научно-исследовательских институтов. Они стали важным инструментом в деятельности плановых,  аналитических,  маркетинговых  отделов  производственных предприятий  и  объединений,  торговых, страховых компаний,  банков, правительственных учреждений.