Анализ и прогнозирование числа собственных легковых автомобилей по субъектам РФ

Для  сезонных  колебаний в мультипликативной форме  выражается  в том,  что средняя арифметическая из значений коэффициентов сезонности для полного сезонного цикла должна быть равна 1. 

 

                             S_i = ∙ k (i = 1,2, …, m),              где ;

m  - число фаз в полном сезонном цикле (как правило, m=12 для рядов

месячной  динамики и m=4  для квартальных данных).

Для сезонных колебаний в аддитивной форме  взаимопогашаемость

сезонных  колебаний выражается в том, что  для полного сезонного цикла  должна быть равна нулю. 

Поэтому  окончательные  оценки  коэффициентов  сезонности  получим  с помощью  следующего выражения:

S_t = (i = 1,2, …m) где = ;

m – число фаз в полном сезонном цикле.

  Для  описания  тенденции  применяются  модель  линейного  тренда,  так как это согласуется с результатами графического анализа динамики показателя. Коэффициенты линейной модели определялись с помощью метода наименьших квадратов для временного ряда. [4, c. 99]

Построенная модель имеет вид: 

Также на практике достаточно часто для моделирования  и прогнозирования сезонных колебаний  могут быть использованы фиктивные  переменные, получившие в англоязычной эконометрической литературе название dummy variables , манекены. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Анализ  и прогнозирование финансово-экономических   показателей  на основе моделей регрессии

5.1. Регрессионный  анализ

 

 Регрессионный анализ – позволяет определить аналитическое выражение связи между факторным признаком и результативным.  

Математическую  функцию,  описывающую  зависимость результативного признака Y  от факторного Х называют уравнением регрессии, а параметры модели – коэффициентами регрессии.

Для  моделирования  связи  между  признаками  могут  быть  использованы любые  математические  функции.  Чаще  всего используются:  полиномы  n- порядка, степенная, показательная, гиперболическая.

           Уравнение парной линейной регрессии  имеет вид: 

            a₀ +a₁x, где

            - среднее значение результирующего признака У при при определенном значении факторного признака Х;

a₀ - показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков;

a₁ - коэффициент регрессии, показывает насколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения. [9, c.131]

Оценка  значение параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений  фактического значения результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению  регрессии:

                                                                                       (19)

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной

модели  парной регрессии имеет вид:

               ,                                          (20)                                          

где n – объем  выборки  [3, c.149]

 

 

5.2.   Оценка качества модели регрессии

 

Качество  модели  регрессии  связывают  с  адекватностью  модели наблюдаемым  (эмпирическим)  данным.  Проверка  адекватности  (или соответствия)  модели  регрессии  наблюдаемым  данным  проводится  на  основе анализа остатков - ε_i. 

После  построения  уравнения  регрессии  мы  можем  разбить  значение  y  в каждом наблюдении на две составляющие : 

                                                                 

Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной  от  значения  данной  переменной,  полученное  расчетным  путем:

                                                             = 

Если , то для всех  наблюдений  фактические  значения зависимой  переменной  совпадают  с  расчетными  (теоретическими)  значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по  функции ) проходит  через все точки корреляционного поля,  что возможно  только  при строго  функциональной  связи.  Следовательно, результативный признак y полностью обусловлен влиянием фактора x. [7, c. 158]

На  практике,  как  правило,  имеет  место  некоторое  рассеивание  точек  корреляционного  поля  относительно  теоретической  линии  регрессии,  т.е. отклонения  эмпирических  данных  от  теоретических  (ε_i  ≠ 0).  Величина  этих отклонений  и лежит в основе  расчета показателей качества  (адекватности) уравнения. 

При анализе  качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа, согласно которому общая сумма  квадратов отклонений зависимой  переменной  от  среднего значения  может быть  разложена на  две составляющие - объясненную и необъясненную: 

                         

где -  значения y, вычисленные по модели .

 

Коэффициент  детерминации показывает  какая доля  вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, может быть объяснена построенным уравнением регрессии.

Коэффициент детерминации определяется следующим  образом:

   (21)

Чем ближе  R²   к 1, тем выше качество модели. 

Также  для  оценки  точности  регрессионных  моделей  целесообразно использовать среднюю относительную ошибку аппроксимации: 

                                        (22)       

Чем  меньше  рассеяние  эмпирических  точек  вокруг  теоретической  линии регрессии,  тем  меньше  средняя  ошибка  аппроксимации.  Ошибка  аппроксимации меньше 7% свидетельствует  о хорошем качестве модели. 

После  того  как  уравнение  регрессии  построено,  выполняется  проверка значимости построенного уравнения  в целом и отдельных параметров. [1, c.155]

 

5.3. Принятие  решений на основе уравнения  регрессии

 

Полная  экономическая интерпретация моделей  регрессии позволяет выявить  резервы развития субъектов рыночной экономики. Любая интерпретация  начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

  Прежде  всего,  необходимо  рассмотреть  коэффициенты  регрессии.  Чем больше  величина  коэффициента  регрессии,  тем  значительнее  влияние  данного признака на моделируемый.

Знаки  коэффициентов  регрессии  говорят  о  характере  влияния  на 

результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

Если  экономические процессы подсказывают, что факторный признак должен иметь  положительное  значение,  а  он  имеет  знак  минус,  то  необходимо  проверить расчеты  параметров уравнения регрессии. Такое  явление чаще всего бывает в силу допущенных в расчетах ошибок.

Для того, чтобы  на основании полученной модели сделать какие-то выводы для  принятия решения или получить прогнозное значение некоторого параметра следует  оценить  значимость  коэффициентов  регрессии  и адекватность всей модели.

Проверка  значимости каждого коэффициента регрессии  осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

        

  - дисперсия коэффициента регрессии

Если  расчетное  значение  t-критерия  Стьюдента по  модулю  превышает табличное, то коэффициент регрессии признается значимым. [6, c. 161]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Практическая часть 

 

 

Таблица 1 - Статистические данные о  числе собственных легковых автомобилей по субъектам РФ за 1990- 2006гг

 

№ п/п	Период	Приволжский федеральный округ  (у1)	Центральный федеральный округ (у2)	Южный  федеральный округ  (X)
1	1990	51,8	29,2	52,3
2	1991	59,2	35,9	57,2
3	1992	62,3	42,9	62,9
4	1993	67,6	56,1	70,2
5	1994	70,6	75,9	76,4
6	1995	76,8	95,3	87,8
7	1996	81,3	98,1	92,3
8	1997	98,6	123,4	110,8
9	1998	109,5	131,1	117,9
10	1999	114,5	139,5	119,3
11	2000	116,8	140,4	121,6
12	2001	120,8	153	125,1
13	2002	129,1	162,7	132,7
14	2003	134,6	168,2	138,1
15	2004	141,7	175,1	140,8
16	2005	149,5	188,8	146,7
17	2006	162,2	199,4	155,4

 

Задание 1. Рассчитать параметры динамики временных рядов данных (базисные  и цепные  абсолютные  и относительные темпы роста и прироста).

• Рассчитаем цепные абсолютные приросты:

 = 59,2-51,8 = 7,4

= 62,3-59,2=3,1

= 67,6-62,3=5,3

= 70,6-67,6=3

= 76,8-70,6=6,2

= 81,3-76,8=4,5

= 98,6-81,3=17,3

= 109,5-98,6=10,9

= 114,5-109,5=5

=116,8-114,5=2,3

=120,8-116,8=4

=129,1-120,8=8,3

=134,6-129,1=5,5

=141,7-134,6=7,1

=149,5-141,7=7,8

=162,2-149,5=12,7

В исследуемом  периоде цепные абсолютные приросты  варьируют от 2,3 до 17,3тыс. руб.

Графический  анализ  свидетельствует  о  близости  процесса  к  линейному (Рисунок 1).

 

Рисунок 1 - Ежемесячная динамика числа легковых автомобилей в

Приволжском федеральном округе

 

Судя  по графику, можно сказать, что график изменяется равномерно, т.е. присутствует  относительная  стабильность.  Изменение  происходит  с  шагом примерно 6,49 .

• Значение среднего абсолютного прироста определим по формуле:

= 6,49 тыс. руб

т.е.,  в  среднем  ежегодно  в  исследуемом  периоде  число  легковых

автомобилей в данном округе увеличивались на 6,49.

• Определим  прогнозное  значение  числа  собственных  легковых

автомобилей в Приволжской федеральном округе на  2009г. с помощью 

формулы:

 

 

 

  Полученный прогноз оказался достаточно точным.

Темп роста  характеризует отношение двух сравниваемых  уровней ряда, как правило, выраженное в процентах.

  Цепной темп роста равен отношению текущего уровня (y_r) и предыдущего (y_r-1):

 

 

Т₁ =100%

Т₂ =114,29%

Т₃ =120,27%

Т₄ =130,5%

Т₅ =136,29%

Т₆ =148,26%

Т₇ =156,94%

Т₈ =190,35%

Т₉ =211,39%

Т₁₀ =221,04%

Т₁₁=225,48%

Т₁₂=233,2%

Т₁₃=249,23%

Т₁₄=259,84%

Т₁₅=273,55%

Т₁₆=288,61%

Т₁₇=313,12%

 

Где     y_t – текущий уровень временного ряда;

y_b – уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

  Темп роста всегда положителен. Если темп роста равен 100%, то значение уровня  не  изменилось,  если  меньше  100%,  то значение  уровня  понизилось, больше 100% - повысилось.