Задачи по математическим методам в экономике

Вариант 1.

Задание 1.

Решение.

Решим исходную задачу графическим методом:

 
 
 
 
 
 
 

Задание 2.

Решение. Определим верхнюю и нижнюю цену игры:

m=max А_i=max{min a_ij}; M=min В_j=min{max a_ij}

Тогда :   m=max{1,0,2,4}=4; M=min{5,6,4,7}=4

Таким образом мы видим, что m=M=4, то есть задача решается в чистых стратегиях и цена игры v=4. В данном случае имеем одну седловую точку. Седловая точка отмечена *. 

Задание 3.

Решение.

В соответствии с матричным равенством X=BY статистического межотраслевого баланса, где В- матрица коэффициентов полных затрат в данном задании размерности 2х2, а X и Y- соответственно вектор- столбец объёмов валовых продукций и вектор- столбец объёмов конечных продукций двух отраслей, по условию задания имеем X=l×Y, где l- искомое отношение. Следовательно, BY=lY, т.е. (B-lE)Y=0, где Е- единичная матрица. Таким образом, искомые l и Y являются соответственно собственным числом и собственным вектором матрицы B.

Собственные значения матрицы B находим из характеристического уравнения |B-lE|=0. Для данной задачи имеем

.

D₁=4²-12=4=2²;

l₁=2; l₂=6;

1) Подставим  первое значение в систему  уравнений

3Y₁+3Y₂=0ÞY₁=-Y₂, то есть Y₁=(C,-C)^T. Здесь следует положить С=0, так как с экономической точки зрения координаты вектора- столбца объёмов валовых и конечных продукций не могут быть отрицательными.

2) Подставим  второе значение в систему  уравнений

-Y₁+3Y₂=0ÞY₁=3Y₂; Y₂=(3C,C)^T то есть объем производимой продукции равен трёхкратному объему конечной продукции.

Другой  структуры по конечной продукции  отраслей, приводящей к постоянству  указанного выше отношения, для данной задачи не существует. 
 

Задание 4.

Решение.

Определим верхнюю и нижнюю цену игры:

m=max А_i=max{min a_ij}; M=min В_j=min{max a_ij}

Тогда :   m=max{1,0,0}=1; M=min{2,2,2}=2

Таким образом мы видим, что m=1<2=M, то есть задача не решается в чистых стратегиях.

Вводя далее, вероятности q_j, j=1,3 выбора партнёром фирмы стратегии B_j имеем следующую математическую модель:

q₁+q₂+q₃=1

Цель  решения которой состоит в  определении таких значений вероятностей, при которых численное значение s (цены игры) минимально. Здесь S_i- средне значение (математическое ожидание) прибыли фирмы при использовании ею i- той стратегии.

Данная математическая модель легко сводится к следующей  задаче (y_i=q_i/S):

f=y₁+y₂+y₃=1/S®max

Решение этой задачи приведено в следующей  симплекс таблице:

 

Таким образом: y₁=¼; y₂=½; y₃=0; f=¾, и следовательно, s=1/f=4/3.

q₁=1/3; q₂=2/3; q₃=0.

Пусть, далее p_i- вероятность выбора стратегии А_i, i=1..3, самой фирмой. Тогда расчёт этих вероятностей может быть произведён на базе равенства p_i=x_i/F, где x_i- искомый оптимальный план двойственной по отношению к исходной задачи. В соответствии с теоремами двойственных задач линейного программирования и приведённой симплексной таблицы имеем: x₁=1/2; x₂=1/4; x₃=0;

и следовательно: p₁=2/3; p₂=1/3; p₃=0.

Проверка  показывает, что q₁+q₂+q₃=1 и p₁+p₂+p₃=1. Таким образом, оптимальная стратегия партнёра банка- (1/3,2/3,0), самого банка- (2/3,1/3,0). 

Задание 5.

Решение.

Так как  в таблице даны выигрыши, то для  эквивалентности с теорией игр  приведём платёжную матрицу к  виду:

а) Для  начала определим константу А  из требования выполнения равенства  q₁+q₂+q₃+q₄=1Þ0,2+0,4+0,1+A=1ÞA=0,3.

Определим математическое ожидание выигрыша статистика при выборе им стратегии A_i:

A₁ÞM₁=1*0,2+7*0,4+3*0,1+4*0,3=4,5

A₂ÞM₂=5*0,2+6*0,4+4*0,1+5*0,3=5,3

A₃ÞM₃=7*0,2+2*0,4+0*0,1+3*0,3=3,1

По критерию Бейеса- Лапласа критерием принятия решения является максимум математического ожидания, то есть

V_B-L=max{M₁, M₂, M₃}=5,3.

В соответствии с этим критерием наиболее предпочтительной является стратегия А₂. 

б) Если предположить, что все состояния  природы равновероятны, то p₁=p₂=p₃=p₄=¼.

Вычислим  для каждой стратегии статистика величину Sa_ij/4:

A₁ÞSa_1j/4=1*0,25+7*0,25+3*0,25+4*0,25=3,75

A₂ÞSa_2j/4=5*0,25+6*0,25+4*0,25+5*0,25=5,0

A₃ÞSa_3j/4=7*0,25+2*0,25+0*0,25+3*0,25=3,0

В нашей  задаче V_L=max{3,75; 5,0; 3,0}=5,0, следовательно оптимальной является стратегия А₂. 

в) Согласно критерию Вальда V_W=max{min{a_ij}}=max{1;4;0}=4.

Следовательно максимальная стратегия статистика- A₂. 

г) Для  выбора оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа вначале построим матрицу рисков, элементы которой  вычисляются по формуле:

Имеем матрицу рисков

Тогда согласно критерию Сэвиджа определяем V_S=min{max{r_ij}}

V_S=min{max{r_ij}}=min{6;2;7}=2. В соответствии с этим критерием также наиболее предпочтительная стратегия A₂. 

д) Воспользуемся  критерием Гурвица при L=0,6. Определим значение V_H=max{L×min{a_ij }+(1-L)×max{a_ij}}=max{0,6×min{a_ij }+0,4×max{a_ij}}.

A₁Þ0,6*1+0,4*7=3,4

A₂Þ0,6*4+0,4*6=4,8