Задачи по дисциплина «Высшая математика»

Дистанционное обучение

Дисциплина «Высшая математика»

Факультет- Заочный

Курс 2 Семестр 4

 

 

1.  Неполные ряды Фурье. Условия сходимости ряда Фурье.

Найти область сходимости ряда .

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд .

Вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов , .

2. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

  функция задана графиком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Неполные ряды Фурье. Условия сходимости ряда Фурье.

Функциональный ряд вида. 
называется тригонометрическим рядом. При этом числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Тригонометрический ряд также записывают в виде .

Коэффициенты, определяемые по формулам

, 
, 
, называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна, то есть либо невозрастающая, либо неубывающая.

Теорема. Если периодическая функция с периодом является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева.

2. Найти область сходимости ряда .

Решение.

.

Найдём радиус сходимости, применив признак Даламбера:

, ,

.

Следовательно, данный ряд сходится при -e < x+1 < e, или  -e -1< x < e-1

Исследуем исходный ряд на сходимость в конечных точках интервала сходимости.

При х = е -  1 имеем числовой положительный ряд

Для данного ряда не выполняется необходимый признак:

.

Следовательно, при x=e-1 исходный ряд расходится.

При  x=-e-1получаем знакочередующийся ряд

,

который также расходится, поскольку .

В итоге ряд сходится при (область сходимости совпала с интервалом сходимости).

3. Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд .

Решение.

Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом.

 

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

Используем табличное разложение: 
 
В данном случае

Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.

Второй этап решения: 
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд: 

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое: 

После упрощений по-членно интегрируем всю начинку: 

На завершающем этапе воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница .

Ответ: , с точностью до 0,001.

4. Вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов , .

Решение.

 

В области, ограниченной кривой С,  будет одна особая точка z=1. Это полюс первого порядка, так как числитель в этой точке имеет нуль первого порядка, а знаменатель - нуль второго порядка. По теореме о вычетах и далее по формуле для вычета в полюсе первого порядка

По формулам приведения для синуса преобразуем к «1-му замечательному пределу»

5.Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом

  функция задана графиком

Решение.

Применим к обеим частям уравнения оператор Лапласа. Правую часть с помощью тета-функции Хевисайда

  представим в виде разности, тогда по теореме сдвига изображения

Изображение искомой функции ,а ее производной

Получаем уравнение на Х

Применим разложение на простейшие дроби

(просто подбирается)

Таким образом ,

Подберем оригиналы по таблице для каждого слагаемого

С помощью теоремы сдвига оригинала:

Получаем

Это можно записать еще в таком виде

 

 

Ответ: