Трикутник

Зокрема, на сфері сума кутів трикутника дорівнює

180°×(1+4f ),

де f – це відношення площі сфери до площі обмеженої трикутником. Наприклад, припустимо ми зобразимо трикутник на поверхні Землі (будемо вважати, що Земля це сфера, що насправді не зовсім так) з вершинами на Північному полюсі, на точці екватора з широтою 0°, і точка на екваторі 90° західної довготи. Лінія великого кола між згаданими двома точками буде екватор, а лінія великого кола між кожною з цих двох точок і Північним полюсом буде лінією меридіану; отже отримаєм прямі кути на екваторі. Більш того, кут на Північному полюсі також 90° тому що попередні дві вершини різняться на 90° за довготою. Сума кутів в цьому трикутнику – 90°+90°+90°=270°. Цей трикутник покриває 1/4 північної півкулі (90°/360° якщо дивитись з Північного полюса) і відповідно 1/8 земної поверхні, тоді підставляємо у формулу f = 1/8; як бачимо формула дає правильний результат 270°.

З формули  вище ми також бачимо, що в певному  наближенні поверхню землі можна  вважати плоскою: якщо зобразити  довільний малий трикутник на поверхні Землі, тоді частка f земної поверхні, яка обмежена даним трикутником буде близька до нуля. Наприклад, відомо що площа земної поверхні 510 млн км², тоді для трикутника площею 10 000 км², отримаєм суму кутів 180.01°.

  адіуса описаного кола R, і

Обчислення  сторін та кутів

Загалом, є різноманітні прийняті методи обчислення довжин сторін та кутів. Якщо певні  методи можуть бути використані тільки в прямокутному трикутнику, то інші можуть виявитись необхідним для  більш складних випадків.

Тригонометричні відношення в прямокутних трикутниках

Детальніше: Тригонометричні функції

Прямокутний трикутник завжди має кут 90° (π/2 радіан), тут позначений C. Кути A і B можуть бути різними. Тригонометричні функції показують співвідношення між довжинами сторін і внутршніми кутами в прямокутному трикутнику.

В прямокутних  трикутниках тригонометричні співвідношення – синус, косинус і тангенс  можуть використовуватись, щоб знайти невідомі кути чи невідомі довжини  сторін. Сторони трикутника позначають наступним чином:

• Гіпотенуза – сторона протилежна до прямого кута, або найдовша сторона в прямокутному трикутнику, в даному випадку h.
• Протилежний катет – сторона протилежна до кута, що розглядається.
• Прилеглий катет – та сторона що прилягає до кута що розглядається і до прямого. В даному випадку прилеглий катет b.

Синус, косинус і тангенс

Синус кута – це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку

Зверніть  увагу, що це співвідношення не залежить від конкретного вибраного прямокутного трикутника, якщо в ньому є кут A, оскільки такі трикутники будуть подібні.

Косинус кута – це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи. В нашому випадку

Тангенс кута – це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого. В нашому випадку

Обернені функції

Обернені  тригонометричні функції використовують, щоб обчислити внутрішні кути прямокутного трикутника, якщо відомі довжини будь-яких двох сторін.

Arcsin використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі  довжина протилежної сторони  і довжина гіпотенузи

Arccos використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі  довжина прилеглої сторони і  довжина гіпотенузи

Arctan використовують, щоб обчислити кут, якщо відомі  довжини прилеглої та протилежної  сторони

На вступній геометрії та уроках тригонометрії, часто використовують позначення sin⁻¹, cos⁻¹, та ін. замість arcsin, arccos, та ін. Проте позначення arcsin, arccos, та ін. є стандартні для вищої математики, де тригонометричні функції часто підносять до степеня, щоб не плутати обернений степінь з оберненою функцією.

Теореми синусів, косинусів та тангенсів

Детальніше: Теорема синусів, Теорема косинусів та Теорема тангенсів

Теорема синусів, чи правило синусів, стверджує що відношення довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів є величина стала, отже

Це відношення дорівнює діаметру описаного кола даного трикутника. Інша інтерпретація теореми  твердить, що кожен трикутник з  кутами α, β і γ подібний до трикутника довжина сторін якого дорівнює sinα, sinβ and sinγ. Цей трикутник може бути побудований, якщо накреслити коло діаметром 1 і вписати в нього два кути вказаного трикутника. Довжина сторін трикутника буде sinα, sinβ і sinγ. Сторона чия довжина sinα протилежна до кута чия величина α, і т.д.

Теорема косинусів, чи правило косинусів, поєднує довжину невідомої сторони трикутника з довжиною інших сторін і з кутом протилежним до невідомої сторони. Згідно теореми:

Для трикутника з довжинами сторін a, b, c і кутами α, β, γ відповідно, для двох відомих довжин трикутника a і b, і кута між двома відомими сторонами γ (чи кута протилежного до невідомої сторони c), щоб розрахувати довжину третьої сторони можна використати наступну формулу:

Якщо  довжина всіх трьох сторін трикутника відома, тоді кути можна розрахувати  за формулами:

Теорема тангенсів чи правило тангенсів, менш відоме ніж попередні два. Воно стверджує:

Воно  не дуже часто використовується, але  може бути корисним коли потрібно знайти сторону чи кут, коли відомі дві сторони  і кут чи два кути і сторона.

Ще  формули для трикутників Евклідової геометрії

Для всіх трикутників Евклідової геометрії  також справедливі такі формули:

і

,

і еквівалентно для m_b і m_c, з відповідними медіанами і сторонами;

для півпериметру s, а довжина бісектриси вимірюється з вершини кута до точки перетину з протилежною стороною; в наступних формулах використовується радіус описаного кола R та радіус вписаного кола r:

якщо  записати через висоти,

,

і

.

Припустимо  два суміжні трикутники, що не перетинаються, мають спільну сторону довжина  якої f і мають спільне описане коло таким чином, що сторона довжиною f є хордою описаного кола; трикутники мають сторони з такими довжинами (a, b, f) і (c, d, f), ці два трикутники разом утворюють вписаний чотирикутник, а його сторони відповідно (a, b, c, d). Тоді

Нехай M – центроїд трикутника з вершинами A, B, і C, і нехай P – будь-яка внутрішня точка. Тоді відстані між цими точками пов’язані

Нехай p_a, p_b, і p_c – відстані від центроїда до сторін a, b, і c. Тоді

і

Неплощинні  трикутники

Трикутник на сфері.

Неплощинні  трикутники – це трикутники, що знаходяться  не на (плоскій) площині. Прикладом такого трикутника в не-евклідовій геометрії  є сферичний трикутник, що вивчається всферичній геометрії та гіперболічний трикутник в гіперболічній геометрії.

Якщо  сума внутрішніх кутів трикутника в  площині завжди дорівнює 180°, то для  гіперболічного трикутника сума кутів  буде меншою 180°, а для сферичного трикутника сума кутів буде більшою 180°. Гіперболічний трикутник можна  отримати на негативно вигнутій поверхні, наприклад гіперболічний параболоїд, а сферичний трикутник можна отримати на позитивно вигнутій поверхні, наприклад сфера. Таким чином, якщо зобразити гігантський трикутник на поверхні Землі, то отримаєм суму кутів більшу ніж 180°; фактично сума буде лежати в проміжку 180° і 540° Зокрема можна зобразити трикутник на сфері таким чином, що кожен внутрішній кут буде дорівнювати 90°, а сума всіх кутів 270°.

Зокрема, на сфері сума кутів трикутника дорівнює180°×(1+4f ),

де f – це відношення площі сфери до площі обмеженої трикутником. Наприклад, припустимо ми зобразимо трикутник на поверхні Землі (будемо вважати, що Земля це сфера, що насправді не зовсім так) з вершинами на Північному полюсі, на точці екватора з широтою 0°, і точка на екваторі 90° західної довготи. Лінія великого кола між згаданими двома точками буде екватор, а лінія великого кола між кожною з цих двох точок і Північним полюсом буде лінією меридіану; отже отримаєм прямі кути на екваторі. Більш того, кут на Північному полюсі також 90° тому що попередні дві вершини різняться на 90° за довготою. Сума кутів в цьому трикутнику – 90°+90°+90°=270°. Цей трикутник покриває 1/4 північної півкулі (90°/360° якщо дивитись з Північного полюса) і відповідно 1/8 земної поверхні, тоді підставляємо у формулу f = 1/8; як бачимо формула дає правильний результат 270°.

З формули  вище ми також бачимо, що в певному  наближенні поверхню землі можна  вважати плоскою: якщо зобразити  довільний малий трикутник на поверхні Землі, тоді частка f земної поверхні, яка обмежена даним трикутником буде близька до нуля. Наприклад, відомо що площа земної поверхні 510 млн км², тоді для трикутника площею 10 000 км², отримаєм суму кутів 180.01°.