Трикутник

Трикутник

Цей термін має також  інші значення.

Трикутник

Трику́тник у евклідовій геометрії — три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що їх сполучають. Трикутник з вершинами A, B, і C позначається   ABC. Трикутник ємногокутником і 2-симплексом. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає площину. Всі трикутники двовимірні.

Основні відомості про трикутники були наведені Евклідом в його праці "Елементи" біля 300 до н. е.

Типи  трикутників

Трикутники  можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін:

• В рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють 60°. Рівносторонній трикутник ще називають правильним.
• В рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину, третя сторона при цьому називається основою трикутника. Рівнобедрений трикутник також має однакові кути, які знаходяться при його основі.
• Різносторонній трикутник має сторони різної довжини. Внутрішні кути різностороннього трикутника різні.

Рівносторонній

 

 

Рівнобедрений

 

 

Різносторонній

Також трикутники можна класифікувати  відповідно до їх внутрішніх кутів:

• Прямокутний трикутник має один внутрішній кут рівний 90° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, називається гіпотенуза. Інші дві сторони називаються катетами прямокутного трикутника.
• Тупокутний трикутник має один внутрішній кут більший ніж 90°.
• В гострокутному трикутнику всі кути менші за 90°. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні.

Прямокутний

 

 

Тупокутний

 

 

 

Гострокутний

Точки й лінії пов'язані з трикутником

Є сотні  різноманітних побудов для визначення особливих точок всередині трикутника, які задовольняють деякі унікальні  умови (дивись в списку посилань перелік  статей). Часто необхідно побудувати три прямі, що пов’язані аналогічно із трьома сторонами (вершинами, кутами) трикутника і тоді переконатись, що вони перетинаються в одній точці. Важливим інструментом для перевірки  цього є теорема Чеви, яка дає критерії для визначення конкурентності прямих. Подібно до цього, лінії пов’язані з трикутником часто будуються після перевірки, що три аналогічним чином отримані точки є колінеарні — теорема Менелая дає для цього випадку загальний критерій. В цьому розділі приведені тільки такі побудови, що найбільш часто зустрічаються.

Центр описаного кола.

Серединний перпендикуляр трикутника — це перпендикуляр, який проходить посередині сторони трикутника. Три серединні перпендикуляри перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола. Діаметр описаного кола можна визначити з теореми синусів.

Виходячи  з теореми Фалеса можна стверджувати — якщо центр описаного кола розміщений на одній із сторін трикутника, тоді протилежний кут прямий. Більше того, якщо центр описаного кола знаходиться всередині трикутника, то трикутник гострокутний, а якщо назовні — то трикутник тупокутний.

Три висоти трикутника перетинаються в ортоцентрі.

Висота трикутника — пряма проведена з вершини і перпендикулярна до протилежної сторони або до продовження протилежної сторони. Ця сторона називається основою трикутника. Точка перетину сторони і перпендикуляра називається основою перпендикуляра. Довжина висоти — це відстань від вершини до основи трикутника. Три висоти перетинаються в одній точці, яка назвається ортоцентром трикутника. Ортоцентр лежить всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут). Дивіться також ортоцентрична система

На перетині трьох бісектрис трикутника знаходиться  центр вписаного кола.

Бісектриса трикутника — це пряма проведена через вершину, яка ділить відповідний кут на дві рівні частини. Три бісектриси перетинаються в одній точці,інцентрі, центрі вписаного в трикутник кола. Вписане коло — це коло, яке лежить всередині трикутника і дотикається до трьох його сторін. Крім того є ще три важливі кола, зовнівписані; вони лежать за межами трикутника і дотикаються до одної його сторони, а також до продовження інших двох. Центри внутрішнього і зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Барицентр — центр мас трикутника.

Медіана трикутника — це пряма проведена через вершину і середину протилежної сторони і ділить трикутник на два однакової площі. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом трикутника. Ця точка також центр мастрикутника: якби трикутник був зроблений із дерева, то можна було б тримати рівновагу тримаючи за центроїд. Центроїд ділить кожну медіану у співвідношенні 2:1, наприклад відстань між вершиною і центроїдом вдвічі більша ніж між центроїдом і протилежною стороною.

Коло  дев’яти точок.

Середні точки трьох сторін і основи трьох  висот всі лежать на одному колі, яке називається колом дев’яти точок трикутника. Решта три точки, через які коло отримало свою назву, це середини тієї частини висоти, що лежить між ортоцентром і вершиною. Радіус кола дев’яти точок дорівнює половині описаного кола. Воно дотикається до вписаного кола (в точці Феєрбаха) та до трьох зовнівписаних кіл.

Лінія Ейлера.

Центроїд (жовтий), ортоцентр (синій), центр описаного  кола (зелений) і центр кола дев’яти  точок (червона точка) всі лежать на одній лінії, яка називається лінія Ейлера(червона лінія). Центр кола дев’яти точок лежить на середині між ортоцентром та центром описаного кола, а відстань між центроїдом і центром описаного кола дорівнює половині відстані між центроїдом та ортоцентром. 
Основні факти

Позначення

Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами A, B, C, кути при відповідних вершинах грецькими літерами α, β, γ, а довжини протилежних сторін — маленькими латинськими літерами a, b, c.

Сума  внутрішніх кутів трикутника — 180 градусів. Зовнішній кут трикутника (кут суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників сума зовнішніх кутів трикутника 360 градусів.

Сума  довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої  сторони. Це є нерівність трикутника або аксіома трикутника (В окремому випадку рівності два кути зменшуються до нуля і трикутник вироджується у відрізок).

Два трикутники називаються подібними тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін пропорційні. Так може бути наприклад, коли у двох трикутників є спільний кут, а сторони протилежні цьому куту — паралельні. Ось кілька постулатів і теорем про подібні трикутники:

• Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідних кута рівні.
• Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні.
• Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні.

Два трикутники називаються конгруентними, якщо всі їх відповідні сторони і кути рівні (6 елементів). Кілька головних постулатів і теорем про конгруентні трикутники:

• Постулат SAS (side-angle-side): Якщо дві сторони і кут між ними в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат SSS: Якщо всі відповідні сторони в трикутників рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат ASA: Якщо сторона і прилеглі до неї кути в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Постулат AAS: Якщо два кути і будь-яка сторона в трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.
• Теорема Гіпотенуза-катет: Якщо гіпотенуза і один катет в прямокутних трикутників відповідно рівні, то трикутники конгруентні.

Обчислення  площі трикутника

Площа трикутника може бути показана як половина площі паралелограма, який має таку саму основу та висоту.

Обчислення  площі трикутника є простою задачею, яка часто вирішується в багатьох галузях. Найбільш відома і найпростіша  формула:

де S — площа, b — довжина основи трикутника а h — висота трикутника. Поняття основа означає будь-яку сторону, а висота означає перпендикуляр проведений з вершини трикутника протилежної до основи на саму основу.

Хоча  ця формула й проста, вона може бути використана тільки, якщо можна легко  знайти висоту. Наприклад землемір ділянки трикутної форми міряє  довжину кожної сторони і може знайти площу без визначення довжини  висоти. На практиці можна використовувати  різні методи визначення площі, залежно  від того що відомо про трикутник. Нижче наведено добірку найбільш вживаних формул.

З використанням векторів

Площу паралелограма можна обчислити за допомогою векторів. Нехай вектори AB і AC спрямовані відповідно від A до B і від A доC. Тоді площа паралелограма ABDC дорівнює |AB × AC|, тобто числове значення векторного добутку AB і AC. |AB × AC| дорівнює |h × AC|, де h — висота паралелограма як вектор.

Площа трикутника ABC дорівнює половині площі паралелограма S = ½|AB × AC|.

Площу трикутника ABC також можна обчислити як скалярний добуток векторів.

Тригонометричний  спосіб обчислення висоти h.

Тригонометричний  спосіб

Висоту  трикутника можна визначити використовуючи тригонометричні формули. Згідно з позначенням, як на малюнку зліва, висота дорівнює h = a sin γ. Підставивши висоту в формулу S = ½bh, яка наведена вище, отримаємо:

<