Шпаргалка по "Математике"

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. Таким  образом, если ( r₁ , j₁ ) - модуль и аргумент делимого, а ( r₂ , j₂ ) - модуль и аргумент делителя, то нетрудно видеть, что деление имеет один определенный результат, если делитель отличен от нуля, и что модуль частного будет r₁ / r₂, а аргумент его ( j₁ - j₂ ). Обозначая частное в виде дроби, можем написать:

(9)

 

  Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, и аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Если r₂=0, то данная формула теряет смысл. 
  Если делимое и делитель даны не в тригонометрической форме, а в виде a₁ + b₁i и a₂ + b₂i , то выражая в формуле (9) модули и аргументы через a₁, a₂, b₁, b₂, получим следующее выражение для частного:

,

которое можно получить и непосредственно, рассматривая i как иррациональность и умножая числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное со знаменателем, для того чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе:

,

и окончательно:

(10)

 
  Мы знаем, что переместительный, сочетательный и распределительный законы сохраняют свою силу и при сложении и при умножении комплексных чисел, а потому для выражений, содержащих комплексные числа, оказываются справедливыми все те преобразования, которые являются следствиями этих законов и которые хорошо известны в применении к вещественным числам. Сюда относятся, например: правило вынесения за скобку, раскрытие скобок, простейшие формулы, формула бинома Ньютона в случае целого положительного показателя, формулы, относящиеся к прогрессиям, и т.д. 
  Отметим еще одно важное свойство выражений, содержащих комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий. Из формул (4), (5), (7), (10) непосредственно вытекает следующее предложение: если в в сумме, разности, произведении и частном заменим все числа сопряженными, то и результаты действий заменятся сопряженными. 
  Так, например, заменяя в формуле (7)   b₁ и b₂ на ( -b₁) и ( -b₂) получим:

(a₁ - b₁i )(a₂ - b₂i ) = (a₁a₂ - b₁b₂) - (b₁a₂ + a₁b₂)i

Указанное свойство будет, очевидно, справедливым и для любого выражения, содержащего комплексные числа, связанные знаками первых четырех действий.

Возвышение в степень комплексных  чисел

 

  Применяя формулу  умножения комплексных чисел  в случае n равных сомножителей, получаем правило возвышения комплексного числа в целую положительную степень:

[r (cosj + i sinj)]n = r n(cos n j + i sin n j),

(11)

т.е. для возвышения комплексного числа в целую положительную степень нужно его модуль возвысить в эту степень и аргумент умножить на показатель степени. 
  Полагая в формуле (11)  r = 1, получаем формулу Моавра:

(cosj + i sinj)n = (cos n j + i sin n j)

(12)

 

Извлечение корня из комплексного числа

 

  Корнем n-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равна подкоренному числу. 
  Таким образом, равенство:

равносильно равенству

rⁿ(cos ny + i sin ny) = r (cos j + i sin j)   

Но у равных комплексных чисел  модули должны быть равны, и аргументы  могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

rⁿ = r,     ny = j + 2kp,

откуда

где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня. 
  В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2, ..., (n-1)

(17)

 
  Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k₁ и k = k₂ тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p. 
  Но разность (k₁ - k₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

 
не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня. 
  Пусть теперь k₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

k₂ = qn + k₁

 
где q - целое число и k₁ - любое число из ряда (17), а потому

,

т.е. значению k₂ соответствует то же значение корня, что и значению k₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений. 
  Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

Показательная функция комплексного числа

 

  Обобщим понятие  о показательной функции на случай любоко комплексного показателя. При  вещественном показателе функция e ^x может быть представлена в виде ряда:

  

Определим аналогичным рядом показательную  функцию и в случае чисто мнимого  показателя, т.е. положим:

  

Отделяя вещественные и мнимые члены, имеем отсюда:

,

откуда, вспомнив разложения cosy и siny в ряд, определяем:

eyi = cosy + i siny .

(18)

 
  Эта формула и определяет показательную  функцию при чисто мнимом показателе. 
  Заменяя y на (-y):

e-yi = cosy - i siny .

(19)

 
и решая уравнения (18) и (19) относительно cos y и sin y, получим формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные с чисто мнимым показателем:

;    .

(20)

 
  Формула (18) дает новую показательную форму комплексного числа, имеющего модуль r и аргумент j:

r (cos j + i sin j) = r e^ji   

Показательную функцию при любом  комплексном показателе x + yi определяем формулой:

ex+yi = exeyi = ex(cosy + i siny)

(21)

 
т.е. модуль числа e^x+yi будем считать равным e^x, а аргумент равным y 
  Нетрудно обобщить на случай комплексных показателей правило сложения показателей при умножении. 
  Пусть z = x+yi  и  z₁ = x₁+y₁i:

или, применяя правило умножения комплексных чисел:

  

Но выражение, стоящее в правой части этого равенства, согласно определению (21), представляет собою:

,  т.е.     

Правило вычитания показателей  при делении

может быть непосредственно проверено  путем умножения частного на делитель. 
  В случае целого положительного n будем иметь:

(e ^z) ⁿ = e ^z e ^z ... e ^z = e ^nz

Логарифмирование комплексного числа

 

  Натуральным логарифмом комплексного числа r (cosj + i sinj) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм фимволом Log, можно сказать, что равенство

Log [ r (cosj + i sinj)] = x + yi

равносильно следующему:

e^x+yi = r (cosj + i sinj).   

Последнее равенство можно написать так:

e^x(cos y + i sin y) = r (cosj + i sinj),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

e^x = r,   y = j + 2kp    (k = 0, ±1, ±2, ...),

т.е.

x = log r    и    x + yi = log r + (j + 2kp)i

и окончательно

Log[ r (cosj + i sinj)] = log r + (j + 2kp)i ,

(22)

т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента. 
  Мы видим, таким образом, что натуральный логарифм любого числа имеет бесчисленное множество значений. Исключение составляет лишь нуль, логарифм которого не существует.