Шпаргалка по "Математикe"

y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁)    

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, поэтому ее угловой коэффициент равен  , а уравнение записывается в виде:

30 Механический смысл  производной- Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +    точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ +   ) - x ( t₀ ) =  , а её средняя скорость равна:  v_a =   /   . При      0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

31Правила дифференцирования- Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке  , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                           (5)

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                               (6)

Правило 2. Если функции

и дифференцируемы в некоторой точке  , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём                      

(7)

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                           (8)

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей имеем:

                      (9) 
Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке  и  , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

                   (10)

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

 

 

 

32. производные сложной фун-ии. y=g(n)   n=f(x); n=f(x)-дифференциал в точке х₀, а функция y=g_n определена на множество значений функции f_x и дифференцируема в точке n=f(x), то сложная ф-я y=g(f)x, в данной точке Х имеет производную которая нах-я по формуле y’_x=g’(u)*f’(x)

33 Производные обратной и не явной функции- Пусть дана дифференцируемая функция f и обратная к ней функция g , т.е. g( f(x) ) = x . Тогда производная функции g в точке y₀ = f( x₀ ) существует и определяется уравнением :

gў( y₀ ) = ( fў( x₀ ) ) ^– 1

Теперь рассмотрим производную  неявной функции. Напомним, что неявной  функцией именуется зависимость y(x) , задаваемая уравнением вида F(y,x) = 0. А нашей задачей будут найти производную yў(x).

Если нам известна точка ( x₀ ; y₀ ) удовлетворяющая уравнению F(y,x) = 0, тогда производная yў(x) рассчитывается в этой точке следующим образом :

И наконец, рассмотрим производную  функции, задаваемой параметрическим  образом. Пусть зависимость y от x Задается двумя дифференцируемыми функциями, зависящими от параметра t :

x(t) = f(t) ; y(t) = g(t)

Тогда производная yў(x) вычисляется следующим образом :

34Понятие производных высших порядков- Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

Если функция   дифференцируема в  , то производная первого порядка определяется соотношением

Пусть теперь производная  -го порядка   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема. Тогда

Если функция   имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от    может иметь в некоторой точке   частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функции   эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

или  

или  

Частная производная второго или  более высокого порядка, взятая по различным  переменным, называется смешанной частной производной. Например,

 

 

 

 

 

 

35Признаки возрастания  и убывания функции- Одна из основных задач исследования функции — это нахождение промежутков ее возрастания и убывания. Такое исследование легко провести с помощью производной.Сформулируем соответствующие утверждения. 
Достаточный признак возрастания функции. Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. 
Достаточный признак убывания функции. Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает наI. 
Доказательство этих признаков проводится на основании формулы Лагранжа (см. п. 19). Возьмем два любых числа х₁ и x₂ из интервала. Пусть x₁<x₂. По формуле Лагранжа существует число с∈(х₁, x₂), такое, что

 (1) 
Число с принадлежит интервалу I, так как точки х₁ и x₂ принадлежат I. Если f'(x)>0 для х∈I то f’(с)>0, и поэтому F(x₁)<F(x₂) — это следует из формулы (1), так как x₂ — x₁>0. Этим доказано возрастание функции f на I. Если же f’ (x)<0 для х∈I то f'(с)<0, и потому f(x₁)>f (х₂) — следует из формулы (1), так как x₂—x₁>0. Доказано убывание функции f на I.  
Наглядный смысл признаков ясен из физических рассуждений (рассмотрим для определенности признак возрастания).  
Пусть движущаяся по оси ординат точка в момент времени t имеет ординату y = f(t). Тогда скорость этой точки в момент времени t равна f'(t) (см. Мгновенная скорость). Если f’ (t)>0 в каждый момент времени из промежутка t, то точка движется в положительном направлении оси ординат, т. е. если t₁ <t₂, то f (t₁)<f (t₂). Это означает, что функция f возрастает на промежутке I. Замечание 1Если функция f непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку. 
Замечание 2.Для решения неравенств f' (х)>0 и f' (х)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f' сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f' в какой-нибудь точке промежутка.

 

36Экстремумы функции- Определение 1. Точка   называется точкой максимума [точкой минимума] функции  , если существует такая  - окрестность   точки  , что для всех значений   из этой окрестности выполняется неравенство    .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом (минимумом) функции  .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремумафункции  , а значения функции в этих точках — экстремумами функции  .

Теорема 1. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   является точкой максимума функции  .

Теорема 2. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   — точка минимума функции  .

Теорема 3 (Ферма). Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в этой точке. Если   — точка экстремума функции  , то  .

Теорема 4. Пусть функция   дифференцируема в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки  , и непрерывна в точке  . Тогда, если   меняет знак с « » на « » (с « » на « ») при переходе через точку  , то   — точка минимума (точка максимума) функции  .

 

37Достаточные условия существования экстремума- Пусть функция y = f(x) непрерывна на всем интервале (a, b), дифференцируема на (a, b), кроме, быть может, числа x₀ (a,b), причем точка (x₀, f(x₀)) является критической точкой графика функции f. Тогда, если при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то f'(x₀) – максимум (минимум) функции f.

Доказательство.Пусть при переходе через x₀ производная функции f меняет знак с плюса на минус. Рассмотрим x = x₀ + Δx (a,b) число . Если Δx > 0, то, воспользовавшись теоремой Лагранжа, имеем

где  , если Δx < 0, то

где  Доказано, что значение f(x₀) – максимум функции f. Аналогично доказывается, что если при переходе через x₀ производная меняет знак с минуса на плюс, то f(x₀) – минимум функции f.

 

 

41. Говорят, что функция   , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство   .

Функция, непрерывная на отрезке, достигает  на нем своего наибольшего и наименьшего  значений.Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума

.

 

39. Аси́мпто́та кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

 

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

 

38. Непрерывная на отрезке [ a ;  b ] функция f  ( x ) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x ₁ и x ₂ из этого отрезка  
Другими словами, если для любых точек x ₁ и x ₂ отрезка [ a ;  b ] секущая AB проходит под графиком функции f  ( x ), то функция f выпукла вверх. Пусть функция f  ( x ) непрерывна в точке Х₀  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка Х₀  называется точкой перегиба функции f , если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки  перегиба. Если Х₀ – точка перегиба функции f  ( x ), и функция f  ( x ) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то f’’(Х₀)  

40.Общая схема исследования функции и построение графика

При решении этой задачи находят: 1) область определения  функции; 2) точки разрыва и исследуют  поведение функции в граничных  точках области определения; 3) находят нули функции  и промежутки ее знакопостоянства; 4) находят асимптоты; 5) критические точки и  интервалы монотонности; 6) точки перегиба и  интервалы выпуклости. Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x<0. Завершают исследование функции  построением ее графика.

 

 

 

.