Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Февраля 2013 в 09:41, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы для экзамена (или зачета) по дисциплине "Математика"
1.ком-м числом наз-ся выраж-е вида a+bi, где а,b-дейст-е числа, i мнимая еден.
2.операции над комп-и числами:
сложение z1=x1+y1i и z2=x2+y2i
=> z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2);
3. Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1 (i2=-1)
4.i-1=i; i3=-1; i2=-1; i4=1; i4n+1=i1=i; i4n+2=i2=-1; i4n+3=i3=-i; i4n=1
5. Рассмотрим плоскость с прямоугольной
системой координат. Каждому
6. Модулем (абсолютной величиной) комплексного
числа называется длина радиус-вектора соответст
Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением .
Угол
(в радианах) радиус-вектора точки
Из этого определения следует, что ; ; .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .
7. Сложение
Умножение
Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):
Действительные числа— частный случай комплексных при
9. Вычитание
Деление
Квадратное уравнение
с вещественными коэффициентами
при корней два, и они вычисляются по формуле
при D=0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
при D<0 вещественных (действительных) корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
Квадратное уравнение вида в котором старший коэффициент равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до
11. Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
12. Извлечение корня есть действие, обратное возведению в степень. Поэтому модуль корня (целой степени) из комплексного числа получается извлечением корня той же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент - делением аргумента на показатель корня:
Корень n-й степени из всякого комплексного числа имеет nразличных значений. Все они имеют одинаковые модули, аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла:3600/n. Различных значений корня будет ровно n.
13. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:
14. Гармонический сигнал ; Переменный ток : i = Im sin (ωt + α); Закон Ома Í = Ú / Z,
15. функция — это закон или правило, согласно которому каждому элементу
из множества X ставится в соответствие единственный
элемент y из множества Y. Множество X всех допустимых действительных
значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции.
Множество Y всех действительных значений
y, которые принимает функция,называется областью значений функции. Если для любых двух значений
аргумента x1и x2 из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1 ), то функция f (x ) называется возрастающей;
если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)< f (x1),то функция f (x ) называется убывающей.
Функция, которая только возрастает или
только убывает, называется монотонной.
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное
число M, что |f ( x )|
M для всех значений x . Если такого числа не существует,
то функция - неограниченная. Функция y = f (x) называется непрерывной
в точке x = a, если :функция
определена при x = a, т.e. f(a) существует;
Если не выполняется хотя бы одно
из этих условий, то функция называется разрывной
в точке x = a.
Если функция непрерывна во всех точках
своей области определения, то она называется непрерывной
функцией.Если для любого x из области
определения функции имеет место: f ( - x ) = f ( x ), то
функция называется чётной; если же имеет
место: f (-x) = - f (x), то функция называется нечётной. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное
от нуля число T, что для любого x из области определения функции
имеет место: f ( x + T ) = f ( x ). Такое наименьшее число называется периодом функции.
16. График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента X, а ординаты — соответствующими значениями функции У.Обычно рассматриваются графики вещественных скалярных функций одного вещественного переменного F: RàR , которые являются множеством точек плоскости RxR. В общем случае, график функции (оператора) F:XàY есть множество упорядоченных пар
17.1)Аналитический способ, фун-я задается при помощи некоторой формы: у=х2+3х-5; 2)Графический способ.В этом случае соответствия м.д значением аргумента Х и фун-и У, устанавливается с помощью заданного графика, по которому для каждого знач-я аргумента Х определяется значение фун-и У. 3)Алгоритмический способ, задается алгоритм или программа; 4)Табличный способ, фун-я задается таблицей,некоторые значения аргумента, и соответствующих значений функции.Элемент Х наз-я независимой переменной или аргументом;У-фун-и или зависимой переменной от Х. Фун-я Fот Х наз-я числовой, если её область определения d и множество значений Е, содержится в множеств действительных чисел R.
18.Монотонность- рассмотрим фун-ю y=f(x),на некотором множестве D, пусть для любых х1,х2 € D выполнено условие х1< х2. Тогда если F(x1) < F(x2) то функ-я возрастает на множестве D; если F(x1) ≥F(x2) то функ-я не возрастает на множестве D; если F(x1) ≤ F(x2) то функ-я неубывает на множестве D; если F(x1) Ю F(x2) то функ-я убывает на множестве D. Четность и нечетность - y=f(x) задана на множестве D, она наз-я четной если для любого Х € D выполнены условия - Х € D и f(-x)=f(x) и она наз-я нечетной если для любого Х € D выполнены условия - Х € D и f(-x)=-f(x)
Ограниченность функции пусть фун-я y=f(x) задана на множестве D.она наз-я ограниченной на этом множестве если существует такое число М > 0, что для всех Х € D выполняется неравенство l f(x) l ≤ M
Периодичность- пусть фун-я y=f(x) задана на множестве D, она наз-я периодичной если сущ-т такие числа Т что для всех Х € D выполнены условия (х+Т) € D и f(x+T)=f(x)
19. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение относительно . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к не существует. Таким образом, функция обратима на интервале тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.
Для непрерывной функции выразить из уравнения возможно в том и только том случае, когда функция монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например, является обратной функцией к на , хотя на промежутке обратная функция другая: .
20. Постоянная ф-я ,степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрическая , обратные тригонометрические функции
21. Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
23. Если последовательность Хn, Yn lim(Xn+Yn)= limnà ∞ Xn+lim Yn ;Если последовательность limnà ∞(Xn+Yn)=( lim Xn) (lim Уn); следствие-постоянный множитель можно ыносить за знак предела: limnà ∞(KXn)=K limnà ∞Xn; если последователен Xn Yn, сходятся и предел последовательности Уn отличен от нуля, то
24.
25.Y=f(x) наз-ся непрерывной в точке Х0 если двухсторонний предел существует и равен значению ф-и в точке Х0. ; (1)
Если условие (1) нарушается, то фун-я терпит разрыв точке Х0; классификация точек разрыва 1) то в точке Х0 разрыв первого рода;2) Если хотя бы один из пределов слева или с права не существует или равен ∞, то в точке Х0 разрыв второго рода;3), то в точке Х0 разрыв устранимый
26. Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .
Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
27 производная функции
Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
29 Уравнение касательной
и нормали к кривой- Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на
ней. Требуется составить уравнения касательной
и нормали. Как известно, угловой коэффициент k касательной
к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен
значению f '(x1)производной y'