Основы теории вероятности и математической статистики

 
 
 

 

 Теория вероятности есть математическая наука ,изучающая  закономерность в случайных явлениях.

Случайное явление  –явление которое при не однократном воспроизведение одного и то го же опыта протекает несколько по иному .Величины которые могут принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним условий ,принято называть случайными.

Виды событий

События не совместны  –если появление одного из них исключает появление другого.

События равновозможны  –если есть основания считать ,что на одно из них не  является более возможнымчем другое.

Достоверные –вероятность=1

Невозможные –вероятность=0 

Определение вероятности

Испытание, событие, случайная величина 

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при  соблюдении определенного комплекса  условий, который должен каждый раз  строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое  явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже  другое испытание. 

Когда речь идет о  соблюдении комплекса условий данного  испытания, имеется в виду постоянство  значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое  число неконтролируемых факторов, которые  трудно или невозможно учесть.

Результаты испытаний  можно охарактеризовать качественно  и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться  или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений  называется в теории вероятностей событием.

События делятся  на:

невозможные

(в результате  опыта никогда не произойдут), 

достоверные

(в результате  опыта происходят всегда),  

случайные

(в результате  опыта событие может произойти  или не произойти). 
 

Теория вероятностей рассматривает именно случайные  события. При этом предполагается, что  испытание может быть повторено  неограниченное (по крайней мере, теоретически) число раз. Например, выполнение штрафного  броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо — событие.

Другим примером события, часто приводимым в учебниках  по теории вероятностей, является выпадение  определенного числа очков (от 1 до 6) при бросании игральной кости.

События в теории вероятностей принято обозначать начальными прописными латинскими буквами А, В, С, ...

Случайные события  называются несовместными если появление одного исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.

Если в результате опыта произойдет хоть одно из некой  группы событий, то они образуют полную группу. Появление хотя бы одного события  из полной группы – достоверное  событие.

Если, по условиям испытания  нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.

Количественная характеристика испытания состоит в определении  значений некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний на перекладине  или время на беговой дистанции). В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины могут принимать  различные значения в результате испытания. Причем до испытания невозможно предсказать значение величины, поэтому  она называется случайной величиной.

Вероятность событий 

Вероятность какого либо события – численное выражение возможности его наступления.

В некоторых простейших случаях вероятности событий  могут быть легко определены непосредственно  исходя из условий испытаний.

Представим себе общую схему таких испытаний.

Пусть испытание  имеет n возможных несовместных исходов, т. е. отдельных событий, могущих появиться в результате данного испытания; причем при каждом повторении испытания возможен один и только один из этих исходов. Кроме того, пусть по условиям испытания, нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, т. е. все исходы являются равновозможными.

Допустим теперь, что при n равновозможных несовместных исходах интерес представляет некоторое событие А, появляющееcя при каждом из m исходов и не появляющееся при остальных n–т исходах. Тогда принято говорить, что в данном испытании имеется п случаев, из которых т благоприятствуют появлению события А. 

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных несовместных исходов опыта:

                                                                                                                            

Формула 1 представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Статистическое определение  вероятности.

Будем фиксировать  число испытаний, в результате которых  появилось некоторое событие  А. Пусть 

было проведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n_N  раз. Тогда

число n_N называется частотой события, а отношение — частостью (относительной частотой) события. 

Замечательным экспериментальным  фактом является то, что частость события при большом числе повторений испытания начинает мало изменяться и стабилизируется около некоторого определенного значения, в то время как при малом числе повторений она принимает различные, совершенно случайные значения. Поэтому интуитивно ясно, что если при неограниченном повторении испытания частость события будет стремиться к вполне определенному числовому значению, то это значение можно принять и качестве объективной характеристики события А. Такое число Р(А), связанное с событием А, называется вероятностью события А. 

Математически неограниченное число повторений испытания записывается в виде предела (lim) при N, стремящемся к бесконечности ():

 
 

Поскольку n_N   никогда не может превзойти N, то вероятность оказывается заключенной в интервале  

Следует отметить, что  приведенное определение вероятности  является абстрактным, оно не может  быть экспериментально проверено, так  как на практике нельзя реализовать  бесконечно большое число повторений испытания. 

Пусть проводятся независимые  испытания, при каждом из которых  вероятность события А неизменна. Справедливо утверждение, называемое законом больших чисел или теоремой Бернулли: если N достаточно велико, то с вероятностью сколь угодно близкой к единице, отличие

от Р(А) меньше любого наперед заданного положительного числа или, в символьной записи, . Т.е. много раз бросая монету, мы “почти наверняка” будем получать примерно равные частоты выпадения герба и цифры.     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Примеры на вычисление вероятности 

. Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.  

Решение: Вероятность  набрать верную цифру из десяти равна  по условию 1/10. Рассмотрим следующие  случаи:

1. первый  звонок оказался верным, вероятность  равна 1/10 (сразу набрана нужная  цифра).

2. первый  звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная  цифра, а второй раз верная  из оставшихся девяти цифр).

3. первый  и второй звонки оказались  неверными, а третий - верным, вероятность  равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).  

 Всего  получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность  того, что ему придется звонить  не более чем в три места.  

Ответ: 0,3 
 

Задача 2. Шесть  шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность  того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что  все ящики не пустые.  

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.  

 m = 6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно  

 Тогда  искомая вероятность P=6/10.

Ответ: 0,6.

Задача 3. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно  перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.  

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события. 

 Случай  а). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9. 

 Случай  б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0.  

Ответ: 4/9, 0. 

Задача 4. Ребенок  имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?  

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.  

 Число  различных перестановок из букв  А, К, К, Л, У равно , из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60.  

Ответ: 1/60. 

Задача 5: На шахматную доску случайным образом  поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?  

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.  

 Число  всех способов расставить ладьи  равно n = 64*63 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m = 64*(64-15) = 64*49.  

 Тогда  искомая вероятность P=(64*49)/(64*63)=49/63.  

Ответ: 49

 

     Числовые  характеристики случайных  величин 

     Функция или плотность распределения  некоторой случайной величины являются наиболее полными вероятностными характеристиками этой величины. Однако ими не всегда удобно пользоваться по следующим причинам: