Оптимальное управление процессами нагрева стержня

 
 
 
 
 
 
 
 

             Оптимальное управление процессами нагрева стержня. 

                              Метод проекции градиента. 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                       Выполнила :  Никольская О.С.

                                                                                                       Группа :          А-14-08

                                                                                                       Проверил :     Зубков П.В.      

                                                                                   

                
 

Теория :

Метод проекции градиента  (один из методов минимизации).

   Метод проекции  градиента может быть применен  приближенного решения задачи.

                                J(u) -> inf       u ϵ U,   J(u) ϵ C¹(U),                       (*)

   где U – выпуклое замкнутое множество из гильбертово пространства Н

   Опр.1 Множество называется замкнутым если оно содержит в себе все свои предельные точки.

   Опр.2  Множество из линейного пространства называется выпуклым, если оно                                                содержит вместе с любыми двумя своими точками u и v и отрезок [u,v]={u=αv+(1-α)u, 0≤α≤1} соединяющий эти точки

   Опр.3 Гильбертовым пространством называется полное бесконечное евклидовое(унитарное) пространство.

   Опр.4  Проекцией точки  uϵ U на множество U ϲ H называется точка wϵ U :                                                        ||u-w||=inf||u-v|| (обозначение проекции точки - Pᵤ(u)) 

Теорема1. Пусть U выпуклое замкнутое множество из Н.

            Тогда:

1. Любая точка u ϵ H имеет и при том единственную проекцию на это множество.
2. Для того чтобы точка w ϵ U была проекцией точки u необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

                           <w-u , v-w>  ≥ 0  при всех u ϵ U

3. Справедливо неравенство

                    ||Pᵤ(u)-Pᵤ(v)|| ≤ ||u-v||  при любых u,v ϵ H.

С помощью оператора  проектирования можно сформулировать условие оптимальности задачи (*) :

  Теорема2. Пусть U выпуклое замкнутое множество из Н, J(u) ϵ C¹(U),  U ͙≠ 0 . Если u  ͙ϵ U ͙ , то необходимо выполняется равенство: u  ͙= Pᵤ( u  ͙- α J᾽( u  ͙))  при любом α > 0.        

             Если кроме того J(u) выпуклая на U, то любая точка   u  ͙ϵ U удовлетворяющая приведенному равенству принадлежит множеству   U ͙ .

                                                                                                                                  
 

Метод проекции градиента для решения задачи (*) заключается в построение последовательности {uᵣ} по правилу:

                uᵣ˖₁ = u  ͙= Pᵤ( uᵣ  - αᵣ  J᾽( uᵣ))    r=0,1,….                (**)

    где   αᵣ - положительная величина. Если при некотором r оказалось, что uᵣ˖₁ = uᵣ, то процесс (**)  прекращают. В этом случае согласно теореме2 точка uᵣ удовлетворяет необходимому условию оптимальности. Для того чтобы выяснить будет ли uᵣ принадлежать  U ͙, необходимо провести дополнительное исследование поведения функции J( u ) (в частности если J( u ) выпуклая функция , то  uᵣϵ U ͙).

      Некоторые способы выбора αᵣ  в методе (**).

1. αᵣ  выбирается из условия

                       fᵣ( αᵣ ) = inf fᵣ( α) ,  fᵣ( α)= J(Pᵤ( uᵣ  - α J᾽( uᵣ)))                    (α≥0)

2. Полагают  αᵣ= α>0  затем проверяют условие монотонности : J( uᵣ˖₁)<J( uᵣ) и при необходимости  дробят величину α, добиваясь выполнения условия монотонности.
3. Если J( uᵣ)ϵ C¹(U) и const Липшица L для градиента известна, то в (**) в качестве αᵣ можно взять  любое число удовлетворяющее условиям : 0< ɛₒ≤ αᵣ≤2/(L+2ɛ) (***) где ɛₒ и ɛ положительные числа(являются параметрами метода).
4. Выбор αᵣ из условия: J( uᵣ)- J(Pᵤ( uᵣ  - αᵣ J᾽( uᵣ)))≥ɛ||uᵣ - Pᵤ( uᵣ  - α J᾽( uᵣ))||² ,ɛ>0   (***)      (можно задать  αᵣ= α и затем дробить αᵣ до тех пор пока не выполнится указанное неравенство).
5. Возможно априорное задание величины αᵣ из условий : αᵣ>0, r=0,1,…                     Σαᵣ=∞           Σαᵣ²<∞  .

Методом (**) удобно пользоваться в тех случаях, когда  есть явная формула для проекции точки на множество. 

Теорема3.(сходимость метода)

       Пусть функция J(u) определена на выпуклом замкнутом множестве U гильбертова пространства Н. C¹᾽¹(U) , J  ͙= inf J( u)> -∞. Пусть {uᵣ}- последовательность полученная методом (**), (***) при произвольном начальном приближение uₒϵ U.  Тогда последовательность { J( uᵣ)} монотонно убывает и lim|| uᵣ - uᵣ˖₁ ||=0 (при r->∞). Если кроме того функция J( u) выпукла на Н и множество М(uₒ)={uϵ U : J( u) ≤J( uₒ) }  ограниченно, то последовательность {uᵣ} минимизирует эту функцию на U и слабо в Н сходится к множеству  U ͙ , причем справедлива оценка : 0≤ J( uᵣ)- J ͙≤с₁/r     r=1,2,…  c₁ = const≥0. 

Оптимальное управление процессами нагрева стержня.

Задача :  Однородный стержень  длинной  0≤ s ≤l, где

                    s=0 левый конец стержня (теплоизолирован)

                     s=l  правый конец стержня(происходит теплообмен с внешней средой)                в стержне имеются истоки(или стоки) тепла.

x=x(s,l)- температура стержня в точке s в момент времени t

x(s,0)=ϕ(s)- распределение температуры в стержне в момент времени t=0.

 Требуется управление температурой внешней среды и плотностью источников тепла в стержне к заданному моменту T>0 распределение в стержне сделать как можно ближе к заданному распределению y(s) (т.е. требуется минимизировать функцию)

   
J(u)=   (1)             

при условие, что  x=x(s,t,u)-решение краевой задачи:

  =a² ⁺ f(s,t)

(s,t)ϵQ={0 <s< l, 0<t≤T}

=0

=     0≤t≤T

=ϕ(s)     0≤t≤l

где  a², l , 𝝂, T- заданные положительные величины, p(t)- температура внешней среды,          f(s,t)- плотность источников тепла.

Предполагается, что u=(f(s,t),p(t))- управление. uϵU={f(s,t),p(t)}:

 p=p(t)ϵ [0,T],   ≤p(t)≤ почти всюду на [0,T]

f=f(s,t)ϵ [Q]              < , R>0 – заданные числа

ϕ(s), y(s)ϵ [0,l],

 обозначим Н= [0,T]х [Q] – гильбертово пространство пар u=(p(t),f(s,t)) со скалярным произведением = (t)dt +    и с нормой  = =  

При любом фиксированном  управление u=(p,f)ϵH из краевой задачи однозначно определяется соответствующие решение x(s,t)=x(s,t,u). Т.к. управление u=u(p(t),f(s,t))ϵH может иметь бесконечно много разрывов, то классического решения может не существовать, поэтому решение этой краевой задачи будем понимать в общем смысле.

   Общее решение краевой задачи:

Для получения градиента  функции при фиксированном uϵU нужно решать две краевые задачи: сначала надо определить  функцию x(s,t,u) затем в =2(x(x,T,u)-y(s))  0 <s< l,  подставить  получившееся x(s,T,u)  и найти ψ(s,t,u), и полученное  ψ(s,t,u) подставить в J᾽( u)=( a²𝝂 ψ(l,t,u)); ψ(s,t,u)ϵH (*).

На практике для численного решения краевых  задач используют разностные схемы  и вместо (*) получаем ее разностный аналог. Имея формулу (*) для градиента  можно написать условие оптимальности для задачи.

Для численного решения задачи может быть использован  метод проекции градиента.

Метод проекции градиента в задаче сведется к  построению последовательности                            { uᵣ=( fᵣ (s,t),pᵣ (t))}.Выбор параметра αᵣ можно проводить с помощью одного из способов.