Тоді  отримаємо: —а³х³ + а³х² — аbх + с = 0, або х³ = х² + px + q,

     де , .

     Наближені значення х визначаємо, як абсциси точок перетину графіків функцій у = х³  та y= х² + рх +q даного рівняння. За формулою t= -ах визначаємо t.

     При цьому можна використовувати  той самий графік у = х³, а для побудови графіка у = x² + рх + q застосовувати шаблон параболи y =x².

     За  цим методом графічне розв'язування рівняння четвертого степеня зводиться  до графічного розв'язування спеціально утвореної системи двох рівнянь другого степеня.

     Розглянемо  тепер, деякі приклади.

     1.Розв'язати  графічно рівняння

     х² + 2^х = 2.

     Розв'язання. Записавши дане рівняння у вигляді

     2^х  = - х² + 2,

     будуємо графіки функцій у = 2^х і у= - х² +2 (рис. 1). 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 1

     Ці  графіки перетинаються в двох точках A і B, абсциси яких

        i  є шуканими коренями даного рівняння. 

     2. Розв'язати графічно рівняння

     z³ + 2 z ² -4 z -6 = 0.

     Розв'язання. Робимо заміну z = -2x.

     Тоді  рівняння набере вигляду   -8х³ + 8х² + 8х- 6 = 0, або х³ = х² + x- .

     Виділимо  у правій частині останнього рівняння квадрат лінійної функції, дістанемо: .

     Будуємо графіки функцій у=х³ і  . Ці графіки перетинаються у трьох точках А, В і С (рис. 2).

 
 
 

     Рис 2 
 
 
 
 
 

     Шукані корені рівняння такі: ; ; .

     Враховуючи  зроблену заміну z=-2х,  знаходимо корені даного рівняння ;   ;   .

     3. Розв'язати графічно рівняння  х³ - х² – 2x +1=0

     Розв'язання. Оскільки х = 0 не є коренем даного рівняння, то воно еквівалентне  рівнянню  .

     Дальше  розв'язування рівняння полягає у  знаходженні  абсцис точок перетину  параболи у = х² -х -2 з гіперболою у = (рис. 3).

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 3 

     Шукані  корені такі:  ; ; . 

     4. Скільки коренів має рівняння  ?

     Розв'язання. Щоб знайти кількість коренів даного рівняння, досить визначити, в скількох точках перетинаються графіки функцій у= | 2 соs х | і . Будуємо графіки функцій у=|2 соs х| і (рис. 4).

     Графік  у= | 2 соs х | знаходиться у смузі між прямими у = 0 і   у= 2. Визначимо, в яких точках пряма  перетинає межі цієї смуги.  
 
 

       

       
 
 
 

     Якщо  у = 0, то з рівняння ) дістаємо: , а якщо у = 2, то x = 40 π .

     Отже, пряма перетинає пряму y = 0 у точці , а пряму y = 2 — у точці В (40 π ; 2). Обидві ці  точки належать графіку                у = | 2 соs х |.

     Тому  пряма  )  перетинає 41 арку графіка у = | 2соs х |. При цьому кожна арка перетинається у двох точках. Отже, дане рівняння  має 82 корені.

     5. Скільки коренів має рівняння поза   проміжком   ?

      Розв'язання. Робимо заміну . Дістанемо рівняння: . 
 
 
 
 
 
 

     За  умовою розглядаємо корені, що задовольняють нерівність , звідки  . Тобто   - 4 < x < 0  i  0 < x < 4.

     Оскільки при   -4 < х < 0   і   0 < x < 4  графіки ; і перетинаються у чотирьох точках (рис. 5), то рівняння у цих проміжках має 4 корені. Тому і дане рівняння поза проміжком також має 4 корені. 

     6.Скільки коренів має рівняння 

     2^-│t│ = │2 -│t││ 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис. 6 

     Розв'язання. Робимо заміну: . Дістанемо рівняння

     2^x = │x + 2│.

     Оскільки  х = -│t│ ≤ 0, то далі визначаємо  кількість лише від’ємних коренів рівняння  2^x = │х + 2│ .

     Як  видно з рис.6, рівняння має два  від’ємні корені. Тому дане рівняння має 4 корені. 
 

     3. Графічне розв’язування систем  рівнянь з двома невідомими

 

     Розглянемо  систему двох рівнянь

       з двома невідомими х і у.

     Нехай графіки рівнянь цієї системи  перетинаються у точках А₁ (х₁;у₁), …, А_к(х_к ;у_к). Оскільки ці точки належать обом графікам, то їх координати задовольняють обидва рівняння системи. Тому пари координат є розв’язками даної системи рівнянь.

     Отже, графічне розв’язування системи  двох рівнянь з двома невідомими полягає у визначенні координат  точок перетину графіків рівнянь  цієї системи.

     У найпростішому випадку це розв’язування системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими

      .

     Прямолінійні  графіки рівнянь можуть перетинатися в одній точці, збігатися і  бути паралельними. У першому випадку система має єдиний розв’язок, у другому випадку – нескінченну множину розв’язків і у третьому – зовсім не має розв’язків.

     При графічному розв’язуванні систем квадратних рівнянь визначаються точки перетину кривих другого порядку (конічних перерізів).

     Графічне  розв’язування системи не дає  високої точності визначення її розв’язків. Тому звичайно його застосовують для визначення кількості розв’язків системи, а також для знаходження перших наближень цих розв’язків, які далі можна уточнити за допомогою відповідних чисельних методів.

     Як  вже відомо, процес графічного розв’язування  рівняння з одним невідомим по суті зводиться до розв’язування найпростішої системи двох рівнянь з двома невідомими х і у.

     

     Іноді буває зручним розв’язування  рівняння з одним невідомим зводити  до розв’язування системи рівнянь більш загального виду

     

     На  цих міркуваннях ґрунтується  досить ефективний метод розв’язування  алгебраїчних рівнянь четвертого степеня. Розглянемо цей метод докладніше.

     Будь-яке  рівняння четвертого степеня

     z⁴ + a₁z³ + a₂z² + a₃z + a₄ = 0

     З допомогою заміни z = x + k і відповідного вибору числа k  можна звести до рівняння

                                      (1)

     Рівняння (1) перетворимо так:

      або

     

     Звідки, запроваджуючи такі позначення:

       , ,                    (2) 

     вводимо друге невідоме. Нехай х² = у. Тоді дістанемо систему рівнянь

                        (3)

     Перше з рівнянь системи (3) є рівнянням кола з центром у точці          О( α ; β ) і радіусом, що дорівнює r . Друге рівняння є рівнянням параболи. Координати центра і радіус кола визначається за формулами (2).

     Очевидно, шукані дійсні корені рівняння (1) є  абсциси точок перетину розглядуваних кола і параболи.

1. Розв‘зати графічно систему рівнянь .

     Розв’язання. Будуємо графіки рівнянь системи. Графіком першого рівняння є парабола, симетрична осі Оу, з вершиною у точці (0; - 1). Графіком другого рівняння є парабола, симетрична осі Ох, з вершиною у точці (0; 0).

     Ці  параболи перетинаються у двох точках А і В, координати яких дають такі розв’язки даної системи:

                               x₁ ≈ 0,37     y₁ ≈ - 0,86

                               x₂ ≈ 1,68     y₂ ≈ 1,82

       
 

       

       

2. Знайти дійсні корені рівняння

     

     Розв’язання. Дане рівняння перетворюємо так:

      або .

     Вводимо друге невідоме у = х² . Дістаємо систему рівнянь

     

     Будуємо графіки рівнянь цієї системи. Графіком першого рівняння є коло радіуса 3 з центром в точці О (2; -1); графіком другого рівняння є парабола. Ці графіки перетинаються у двох точках А і В абсциси яких є коренями даного рівняння .

                        х₁ ≈ - 0,64,   х₂≈ 1,39. 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рис 7

     4. Відокремлення коренів  рівняння

     Для чисельного розв’язування рівняння насамперед треба відокремити його корені, тобто знайти такі відрізки, на кожному з яких дане рівняння має єдиний корінь.

     Відокремлення коренів ґрунтується на такій  теоремі: якщо функція неперервна на відрізку а ≤ х ≤ b  і на кінцях цього відрізка набуває значень, що мають різні знаки, то всередині цього відрізка існує принаймні один корінь функції.

     Геометричний  смисл цієї теореми очевидний: неперервна крива, що проходить з одного боку від осі Ох на інший, перетинає вісь Ох.

     Сформульована теорема є критерієм, який дає  змогу твердити, що на відрізку а  ≤ х ≤ b рівняння має корінь. Проте цей критерій не забезпечує єдиність кореня на цьому відрізку, оскільки функція , що задовольняє умови теореми, може мати кілька коренів на даному відрізку.

     Щоб функція  для якої справджуються умови розглянутої теореми, мали на відрізку а ≤ х ≤ b лише один корінь, достатньою є умова монотонності функції на цьому відрізку.

     Отже, якщо функція неперервна і монотонна  на відрізку а ≤ х ≤ b і на кінцях цього відрізка набуває значення, що мають різні знаки, то в середині цього відрізка вони мають один корінь.