Множественный корреляционно-регрессионный анализ

 

      

 

 

 

       Таким образом, матрица парных коэффициентов корреляции трехмерного массива имеет вид:

       

 

                             

                              q₃= r_ij  = 
 
 

       Оценки  математического  ожидания, дисперсии  и среднеквадратического  отклонения: 

 

       Проверим  значимость парных коэффициентов корреляции с уровнем значимости α=0.05. В этом случае проверяется гипотеза Н₀ об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е. Н₀: ρ=0. Рассчитывается статистика , и если , то гипотеза Н₀ отвергается.

       При k=n-2 – числе степеней свободы, t_кр=t_0.95;51=0,063016 

         
 
 

       Таким образом, значимыми коэффициентами являются:

       r_y3x5=

       r_y3x10=

       r_x5x10=  

3. Оценка  матрицы частных  коэффициентов корреляции и проверка их значимости.

 

      Если  переменные коррелируют друг с другом, то на величине парного коэффициента корреляции частично сказывается влияние  других переменных. В связи с этим часто возникает необходимость  исследовать частную корреляцию между переменными при исключении (элиминировании) влияния одной или нескольких других переменных, т.е. исследовать связь в «чистом» виде.

      Частный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

       

: 

       

       

         

       Таким образом, матрица частных коэффициентов корреляции трехмерного массива имеет вид:

       

         
 

                       r_ij.k = 

       Проверим  значимость частных коэффициентов  корреляции с уровнем значимости α=0.05. В этом случае проверяется гипотеза Н₀ об отсутствии линейной корреляционной связи между переменными в генеральной совокупности, т.е. Н₀: ρ=0. Рассчитывается статистика , и если , то гипотеза Н₀ отвергается.

       При k=n-3 – числе степеней свободы, t_кр=t_0.95;50=0,063022 
 
 

         
 
 

       Таким образом, все частные коэффициенты являются значимыми.

       С надежностью γ=1-α=0.95 построим доверительные  интервалы для значимых частных  коэффициентов корреляции.

       Интервальная  оценка для ρ_yx1.x5 находится с помощью статистики Фишера (z-преобразование):

         при r_y3x5.x10=0.317144.

      Вначале строим доверительный интервал для  M(z):

,

где - нормированное отклонение z, определяемое с помощью функции Лапласа:

        .

        ,

при = =1,96.

      Или .

      Переход от z к ρ осуществляем по формуле :

        для z=0.048469

и  для z=0.608469.

      Таким образом, получаем интервальную оценку для ρ_y3x5.x10:

       . 
 

      Аналогичные расчеты при определении границ доверительных интервалов выполняем  для ρ_y3x10.x5 и ρ_х5x10.y3 . 

 
 
 

4. Оценки  множественных коэффициентов  корреляции (детерминации) и проверка их значимости.

 

      Теснота линейной взаимосвязи одной переменной X_i с совокупностью других (p-1) переменных X_j, рассматриваемой в целом, измеряется с помощью множественного (или совокупного) коэффициента корреляции ρ_i.12…p , который является обобщением парного коэффициента корреляции ρ_ij 

      Множественные коэффициенты корреляции определяются по формуле:

, 

где - определитель матрицы q_p .

      В нашем случае , , , , тогда  

       , , .

      Коэффициент детерминации (показывает, какую долю вариации исследуемой переменной объясняет  вариация остальных переменных) рассчитывается как квадрат выборочного множественного коэффициента корреляции:

       , , .

      Проверка  значимости множественного коэффициента корреляции осуществляется с помощью  F-распределения. Рассчитывается статистика: ,

и если, F > , то R значимо отличается от нуля. 

В нашем  случае k₁=p-1 и k₂=n-p (p – совокупность всех переменных выборки), p=3, n=53, α=0.05, =3.20. 

 

      Таким образом, значимо отличаются от нуля R_y и R_x10. 
 
 
 
 

5. Интерпретация полученных результатов

 

      Парные  коэффициенты корреляции:

        
 
 

      Частные коэффициенты корреляции:

        
 
 

      Множественные коэффициенты корреляции:

 

      Вывод: получив результаты корреляционного  анализа можно  сделать следующие  экономические выводы:

1. Парные коэффициенты корреляции все значимые, но значения между факторами  и результативным показателем меньше 0.5, значит, связь есть, но слабая (допустимая), а между самими факторами связь сильная.
2. Если исключить влияние других факторов на парные коэффициенты корреляции, то видно, что при исключении влияния того или другого фактора значение  частных коэффициентов корреляции между результативным показателем и одним из факторов значительно уменьшается, что может говорить о том, что  факторы взаимодействуют, т.е. усиливают друг  друга, так что функция связи не линейная, а степенная. При  исключение влиянии результативного показателя частный коэффициент корреляции уменьшился, но не значительно.
3. Множественные коэффициенты все значимы и , близки к 1, то можно судить о тесноте связи.

    Таким образом,  с помощью многомерного корреляционного анализа мы выявили  необходимые параметры в трехмерную модель и исследовали связь и зависимость между ними. Также предположили, что функция связи результативного показателя и факторов будет иметь не линейный вид, но об этом уверенно мы сможем судить только после множественного регрессионного анализа.

6. Построение уравнений множественной регрессии для зависимого показателя и отобранных факторов в линейном и степенном виде 

     6.1. Линейное уравнение регрессии y=b₀+b₁x₁+b₂x₂