Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Марта 2012 в 19:19, курсовая работа
Метод геометрических преобразований для школьной геометрии обладает большой новизной. Необходимо иметь в виду, что геометрические преобразования – это и новая тема, и новый математический метод, и новый способ мышления. В предыдущих темах геометрические фигуры рассматривались неподвижными, статичными. Геометрические преобразования приводят к рассмотрению фигур в динамике: они показывают, каким образом из одной фигуры получается другая фигура, чем-то похожая на первую и в то же время существенно отличающаяся от нее. Эта тема дает уникальную возможность познакомиться с современной геометрической наукой, ее идеями и методами.
Введение 3
Глава 1. Факультативные занятия 4
1.1. Общие цели и задачи факультативных занятий по математике 4
1.2. Организация учебно-воспитательного процесса на факультативных занятиях 8
Глава 2. Основные понятия преобразования подобия 10
2.1. Признаки подобия треугольников и метод подобных треугольников 10
2.2. Преобразование подобия 13
2.3. Свойства преобразований подобия 14
2.4. Гомотетия как пример преобразования подобия 17
2.5. Подобные фигуры 20
2.6. Дальнейшее развитие метода подобия: свойства подобных многоугольников, пропорциональные отрезки в окружности 22
Глава 3. Применение преобразования подобия к решению задач 24
3.1. Применение подобия при решении задач 24
3.2. Решение геометрических задач с помощью гомотетии 28
Заключение 32
Решение. Пусть Н — ортоцентр треугольника АВС, М — середина стороны АС, Н1 — точка пересечения прямой НМ с окружностью АВС. Требуется доказать, что НМ = МН1.
Как и при решении предыдущей задачи, воспользуемся гомотетией с центром Н и коэффициентом Как было установлено, эта гомотетия окружность АВС переводит в окружность девяти точек. Поэтому точка Н1, как точка окружности АВС, перейдет в точку, принадлежащую окружности девяти точек. Вместе с этим, образ точки Н1 должен находиться на прямой НН1. Точкой, удовлетворяющей этим двум условиям, является только точка М — середина стороны АС. Значит, точка Н1 перейдет в точку М. Отсюда НМ = МН1.[4] 175c.
Задача 5. Решите задачу об окружности девяти точек с помощью гомотетии.
Решение. Для доказательства теоремы об окружности девяти точек, воспользуемся двумя теоремами о свойствах ортоцентра треугольника:
-1. Точка, симметричная
ортоцентру Н ∆АВС
-2. Точка, симметричная
ортоцентру Н ∆АВС
Пусть О и Н — соответственно центр окружности АВС и ортоцентр треугольника АВС, К — основание высоты ВК, М — середина стороны АС, Т — середина отрезка АН. Возьмем также точки Н1 — точку пересечения продолжения отрезка НК с окружностью АВС и точку Н2 — точку пересечения продолжения отрезка НМ с этой же окружностью.
На основании теорем 1 и 2 НК=КН1 и НМ = МН2.
Воспользуемся теперь гомотетией с центром Н и коэффициентом . Окружность АВС перейдет в этой гомотетии в окружность с центром О9 — середине отрезка НО; радиус этой окружности в два раза меньше радиуса окружности АВС. Точки А, Н1 и Н2, лежащие на окружности АВС, перейдут в точки, лежащие на ее образе в данной гомотетии: А→Т, Н2→М, Н1→К. Значит, точки Т, М и К лежат на окружности с центром в точке О9. Аналогично устанавливается, что этой окружности принадлежат еще шесть точек (три точки, соответствующие стороне АВ, и три точки, соответствующие стороне ВС). В итоге теорема об окружности девяти точек доказана. [4] 175c.
Заключение
Литература