Метод Эйлера интегрирования однородные линейные системы с постоянными коефицентами

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ

1. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение. Случай различных действительных корней.
2. Случай различных корней характеристического уравнения, среди которых имеются комплексные.
3. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

        Представленная курсовая работа посвящена теме «Метод Эйлера интегрирования однородной линейной системы с постоянными коэффициентами».   

     В  разработке теории обыкновенных  дифференциальных уравнений приняли  участие крупнейшие ученые XVIII века. Особенно велик был вклад знаменитого петербургского академика Л.Эйлера (1707-1783). Черпая материал задач механики, в том числе небесной механики, баллистики, геометрии и самого математического анализа, Эйлер обогатил теорию дифференциальных уравнений целым рядом первоклассных открытий. В мемуаре, напечатанном в 1743 г., Эйлер дал классический метод решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами при помощи подстановки и в случае действительных кратных корней- подстановки  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Пусть дана однородная линейная система 

                                             (1) 

Где - действительные числа. Будем искать решение этой системы в виде 

                                             …              (2) 

Где - некоторое число, а числа не равны одновременно нулю.

      Подставляем (2) в (1), сокращая на  и группируя члены, получим следующую систему уравнений для нахождения чисел : 

                            

     Эта  система имеет интересующее нас  ненулевое решение относительно  только в том случае, если ее определитель равен нулю, т.е. если является корнем уравнения 

                                     (3)

     Уравнение  (3) называется характеристическим  уравнением, а его корни- характеристическими  числами системы (1).

      Рассмотрим сначала случай, когда все корни характеристичес-кого уравнения различные и действительные. В этом случае, подставляя поочередно  каждый корень (i=1,…,n) вместо в (2) и заменяя числа   их не равными одновременно нулю значениями   (i=1,…,n) найденными  из системы 

                                           (4) 

Получим п частных решений 

                                                         (5) 

    Можно  доказать, что эти решения образуют  фундаментальную систему решений.  Поэтому, беря линейные комбинации  решений (6) с произвольными постоянными  получим общее решение системы (1) в виде 

                                            (k=1, 2,…,n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Случай различных корней характеристического  уравнения, среди которых имеются  комплексные 

       Пусть  - одна такая пара чисел корней. Найдем действительные частные решения, соответствующие этой паре.

       Пользуясь методом, изложенным  выше, постоим частное решение,  соответствующее корню  ; оно окажется комплексным и будет иметь вид 

                                    (6) 

       Отделяя в решении (6) действительные  и мнимые части, найдем два  действительных линейно независимых  частных решения системы (1).

      Аналогично можно построить действительные частные решения, соответствующие корню , но они окажутся линейно зависимыми с частными решениями найденными выше.

      Таким образом, паре сопряженных  комплексных корней  соответствуют два линейно независимых действительных частных решения, которые получаются из комплексного решения (6), соответствующего корню , отделением действительных и мнимых частей.

     Найдя  частные решения, соответствующие  всем корням характеристического уравнения, получим фундаментальную систему решений, при помощи которой известным способом строим общее решение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Случай наличия  кратных корней характеристического  уравнения 

     Предположим, что среди корней характеристического уравнения имеется корень

, кратности k. Тогда ему соответствует решение системы (1) вида

                          

                                                         (7) 

     Где  суть полиномы от х cтепени не выше чем k-1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов. При этом может оказаться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа, так решение (1) примет вид 

                                                                     (8) 

     Где  k из коэффициентов являются произвольными, а остальные выражения через них.

     Полагая  в решении (7) один из произвольных  коэффициентов полиномов равным  единице, а остальные равными нулю, построим k линейно независимых частных решения.

      Если  - действительное характеристическое число, то построенные частные решения будут действительными.

      Если же система (1) имеет комплексное  характеристическое число кратности k, то она имеет сопряженное характеристическое число  той же кратности.

      Построив k линейно независимых комплексных частных решения, соответствую-щих характеристическому числу  , и отделив в них действительные и мнимые части, получим 2k действительных линейно независимых частных решения. Таким образом, паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности k соответствует 2k линейно независимых действительных частных решений.

     В  общем случае каждому простому  действительному характеристическому  числу соответствует одно частное  решение, каждой паре простых  сопряженных комплексных характеристических  чисел соответствует  два действительных линейно независимых частных решения, действительному характеристическому числу кратности соответствует k действительных линейно независимых частных решения, а каждой паре сопряженных комплексных характеристических чисел кратности k соответствует 2k действительных линейно независимых частных решений. Всего получается п действительных линейно независимых частных решения, так что они образуют фундаментальную систему решений, позволяющую построить общее решение указанным выше способом.

     Таким  образом, линейная однородная система с постоянными коэффициентами всегда интегрируется в элементарных функциях. 
 
 
 
 
 

Примеры. 

1. Рассмотрим  систему

 

                                                (9) 

      Ищем частное решение системы (9) в виде 

                                          (10) 

       Составим характеристическое уравнение 

                                 =0,           

         Оно имеет корни . Построим частное решение вида (10), соответствующее корню . Согласно формуле (4) числа надо искать из системы 

                                         

          Которая сводится к одному  уравнению 

                                            

           Так что одно из чисел  можно выбирать произвольно. При этом надо, заботиться о том, чтобы числа не оказались одновременно равными нулю. Положив   получим поэтому характеристическому числу соответствует частное решение 

                                                 (11) 

          Аналогично находим частное решение,  соответствующее характеристичес-кому  числу  : 

                                                     (12) 

          Решения (11) и (12) образуют фундаментальную систему решений. Общим решением системы (9) будет 

                                       

2. Пусть дана

 

           (13) 

     Характеристическое уравнение 

 

     Имеет корни  . Простому корню   соответствует решение  

                                                        

    Найдем  линейно независимые частные  решения, соответствующие двукратному корню . Имеем 

            ,            (14) 

     Подставляя   (14) в (13), найдем, что 

                         

    Где  - произвольные. Поэтому 

                    

    Фундаментальной  системой решений будет 

                                             

                                             

     Общее решение данной системы    (13) имеет вид 

      (15) 

      Из (15) видно, что система (9) двупараметрическое  семейство решений 

      . 

3. Пусть дана система:

 

 

      Характеристическое уравнение 

      или  , 

       Имеет корни ;    Этому уравнению удовлетворяют, например,   Следовательно, 

                                      

       Действительная и мнимая части  этого решения также являются  решениями рассматриваемой системы,  а их линейная комбинация с  произвольными постоянными коэффициентами  являются общим решением: