Математические методы и модели исследования операций

Введение.

      Промышленное  предприятие может изготовить 3 вида изделия: А, В и С, используя при этом 3 основных вида ресурсов. Норма расхода ресурсов на единицу изделия задана таблицей 1 (запасы, себестоимость и их цены также приведены в табл.1). По требованию технологии ресурс 3 должен быть полностью израсходован в течение месяца. Необходимо сформировать план выпуска изделий на месяц, применяя следующие критерии:

1. Max выручки;
2. Min себестоимости изготовления изделия.

Таблица 1.

Наименование показателей	Нормы расходов ресурсов на одно изделие			Запасы  ресурсов
	А	В	С
Ресурс  R1  Ресурс  R2  Ресурс  R3	X  2  3	1  Y  2	3  4  Z	3(X+Y+Z)  4X+3Y+4Z  5X-4Y+Z2+2
Себестоимость изготовления изделия, тыс. руб.	2Z-X	3Z-Y	3Z	d1; d2; d3
Цена  единицы изделия, тыс. руб.	2Z+2	3Z+1	4Z-X
Прибыль от реализации единицы продукта, тыс. руб.	2+X	1+Y	Z-X

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание.

1. Построить экономико-математические модели рассматриваемых однокритериальных, многокритериальных задач.
2. Решить однокритериальную задачу с целевой функцией выручка Симплекс методом. Выполнить послеоптимизационный анализ. Целочисленные решения получить методом Гомори.
3. Решить две однокритериальные задачи (выручка) при следующих условиях:
1.    Цена единицы каждого изделия может изменяться:

С₁ = 2Z + 2 – λ;

С₂ = 3Z + 1 + λ;

С₃ = 4Z - X + 2λ;

     где λ – некоторый параметр.

     Для каждого из возможных значений параметров (разумных) найти оптимальный план производств.

2.    Предприятие может использовать не более чем

3(X + Y + Z) + 2μ – единиц ресурса R1;

      и не более чем

4X + 3Y + 4Z – μ – единиц ресурса R2.

            Для каждого возможного значения μ определить объем производства.

4. Решить многокритериальную задачу методом свертки критериев, затем методом последовательных уступок.
5. Сделать выводы по работе.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Вариант  А1  114

1. Построение экономико-математической модели рассматриваемых однокритериальных, многокритериальных задач.

 

     Обозначим количество выпускаемых изделий  через x₁, x₂, x₃, а целевую функцию (валовую маржинальную прибыль) – через С (x), построим математическую модель задачи:

1. Max выручки:

 

С (x) = 10 x₁ + 13 x₂ + 15 x₃ → max, 

Ограничения:

x₁ + x₂ + 3 x₃ ≤ 18,

2x₁ + x₂ + 4 x₃ ≤ 23,

3x₁ + 2x₂ + 4 x₃ = 19, 

Граничные условия:

x₁, x₂, x₃ ≥ 0. 
 

2. Min себестоимости изготовления изделия:

 

С (x) = 7 x₁ + 11 x₂ + 12 x₃ → min, 

Ограничения:

x₁ + x₂ + 3 x₃ ≤ 18,

2x₁ + x₂ + 4 x₃ ≤ 23,

3x₁ + 2x₂ + 4 x₃ = 19, 

Граничные условия:

x₁, x₂, x₃ ≥ 0. 
 

2. Решим однокритериальную задачу с целевой функцией выручка Симплекс методом. Выполним послеоптимизационный анализ. Целочисленные решения получим методом Гомори.

 

     Для решения задач линейного и  целочисленного программирования воспользуемся  программой Linear and Integer Programming программной группы WinQSB. 

     Решим однокритериальную задачу с целевой функцией выручка Симплекс методом. 

Max выручки: 

С (x) = 10 x₁ + 13 x₂ + 15 x₃ → max, 

Ограничения:

x₁ + x₂ + 3 x₃ ≤ 18,

2x₁ + x₂ + 4 x₃ ≤ 23,

3x₁ + 2x₂ + 4 x₃ = 19, 

Граничные условия:

x₁, x₂, x₃ ≥ 0. 

     Задание параметров задачи. 

 

     Вводим  количество переменных (Number of Variables) и количество ограничений (Number of Constrains). Также выбираем вариант оптимизации (Maximization or Minimization), форму задачи (Матричная – Spreadsheet Matrix Form) и тип переменных – непрерывные неотрицательные (Nonnegative continuous). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Ввод  числовых данных. 

 

     Вводим  коэффициенты целевой функции, ограничения и граничные условия. 
 

     Нахождение  решения. 

     Чтобы решить задачу, выбираем в меню Solve and Analyze команду Solve the Problem. При этом задача решается симплексным методом. 

 

     По  окончании решения получаем сообщение  о том, что задача решена и получено оптимальное решение.

     После завершения вычислений получаем сводный  отчет, который содержит наиболее полные сведения о найденном оптимальном  решении.

 

     Сводный отчет состоит из двух таблиц. В  первой таблице выводится следующая  необходимая информация, касающаяся переменных:

• Solution Value – найденное решение (оптимальный план выпуска продукции);
• Unit Cost or Profit c(j) – коэффициенты целевой функции;
• Total Contribution – итоговый вклад в оптимальное значение целевой функции и т.д.

     Вторая  таблица сводного отчета содержит следующие  сведения об ограничениях задачи:

• Left Hand Side – левые части ограничений, вычисленные при оптимальных значениях переменных;
• Direction – знаки ограничений;
• Right Hand Side – правые части ограничений;
• Slack or Surplus – остатки или избытки и т.д.

 

     В последней строке первой таблицы  – Objective Function (Max.) – оптимальное значение целевой функции. 

     По  окончании решения мы получаем количество выпускаемых изделий (x₁, x₂, x₃) соответствующее max выручки для нашей целевой функции. 

     x₁ = 0; x₂ = 9,5; x₃ = 0. 

     Значение  целевой функции: 

     С = 10*0 + 13*9,5 + 15*0 = 123,5 → max. 
 

     Для того чтобы получить целочисленные  решения (методом Гомори) задачи с  max выручки необходимо, в окне параметров задачи указать тип переменных – целые неотрицательные (Nonnegative integer).  

 

     Далее ввести коэффициенты целевой функции, ограничения, граничные условия  и произвести расчет. После завершения вычислений аналогично получаем сводный отчет в виде 2-х таблиц. 

 

     Также после вывода таблиц мы получаем количество выпускаемых изделий (x₁, x₂, x₃) соответствующее max выручки для нашей целевой функции. 

     x₁ = 1; x₂ = 8; x₃ = 0. 

     Значение  целевой функции: 

     С = 10*1 + 13*8 + 15*0 = 114,0 → max. 
 

3. Решим две однокритериальные задачи (выручка).

 

1. Цена единицы  каждого изделия может изменяться:

С₁ = 2Z + 2 – λ = 2*4 + 2 – λ = 10 – λ;

С₂ = 3Z + 1 + λ = 3*4 + 1 + λ = 13 + λ;

С₃ = 4Z - X + 2λ = 4*4 – 1 + 2λ = 15 + 2λ;

где λ – некоторый  параметр.

     Для каждого из возможных значений параметров (разумных) найти оптимальный план производств.

     Для того чтобы решить данную задачу необходимо использовать параметрический анализ, который позволяет выяснить, как изменяется оптимальное значение целевой функции при изменении ее коэффициентов или правых частей ограничений.

     Параметрический анализ можно выполнить с помощью  команды Perform Parametric Analysis только после нахождения оптимального решения. 

     Для параметрического анализа выпишем  целевую функцию (max выручки), которая изменяется следующим образом: 

С (x) = (10 - λ) x₁ + (13 + λ) x₂ + (15 + 2λ) x₃, где λ – изменяющийся параметр. 

Вектор  изменения (Perturbation Vector) – (-1 ; 1 ; 2). 

Ограничения:

x₁ + x₂ + 3 x₃ ≤ 18,

2x₁ + x₂ + 4 x₃ ≤ 23,

3x₁ + 2x₂ + 4 x₃ = 19, 

Граничные условия:

x₁, x₂, x₃ ≥ 0. 
 
 
 
 
 

     Выбор варианта параметрического анализа.

 

     В этом окне выбираем команду Objective Function, предполагающую анализ изменений коэффициентов целевой функции. Т.к. в нашем случае одновременно изменяются несколько коэффициентов, выбираем пункт Perturbation Vector.

     В открывшемся окне задаем вектор изменения. 
 
 
 
 
 

     Таблица с результатами параметрического анализа.

     В первых трех столбцах полученной таблицы  – номера и границы интервалов изменения параметра λ. Интервалы расположены в следующей последовательности. Сначала перечислены интервалы с λ = 0 до +∞, затем – с λ = 0 до -∞ (в таблице ∞ - Infinity).

     В столбцах From OBJ Value и To OBJ Value – значения целевой функции на границах интервалов изменения параметра λ.

     Результаты  предварительно выполненного параметрического анализа можно представить в  графической форме.

     В графической форме выводится  график решающей функции, которая показывает зависимость целевой функции  от параметра λ. 
 
 

2. Предприятие может использовать не более чем

 

3(X + Y + Z) + 2μ – единиц ресурса R1; 

     и не более чем 

4X + 3Y + 4Z – μ – единиц ресурса R2.