Математическая логика

(┐p  ┐q) ┐(p  q).

5.              Говорят, что правильность многоугольника – достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы около него можно было описать окружность. Это означает, что если многоугольник правильный, то около него можно описать окружность, но не верно, что если он неправильный, то около него нельзя описать окружность (существуют и неправильные многоугольники, около которых можно описать окружность).

               Если обозначить через p высказывание «Многоугольник –  

               правильный» и через q высказывание «Около многоугольника

               можно описать окружность», то выражение «p достаточное, но не

               необходимое условие для q» означает, что истинно высказывание:

(p  q) ┐(┐p  ┐q), или  (p  q) ┐pq.

Таким образом, мы получаем следующий перевод терминов

«необходимо» и «достаточно» на точный логический язык:

р достаточное условие для q;                                                p  q истинно;

р необходимое условие для q;                                              q  p истинно;

р необходимое, но недостаточное условие для q;              q  p истинно, но p  q ложно;

р достаточное, но не необходимое условие для q;              p  q истинно, но q  p ложно;

р необходимое и достаточное условие для q;                    p  q и q  p истинны, или         

                                                                                                 истинна эквиваленция p  q.

Глава 3. Примеры.

Примеры:

В каждом из примеров 1-3 укажите, какое из двух утверждений вытекает из другого, и разными способами сформулируйте соответствующую  теорему, используя термины «необходимое условие», «достаточное условие».

1. А ≡ {число х равно нулю},

    В ≡ {произведение ху равно нулю}.

Решение:

А→В. Для того, чтобы произведение ху было равно нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. Иначе: для того, чтобы число х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю.

2. А ≡ {прямые l1 и l2 расположены в одной плоскости},

    В ≡ {прямые l1 и l2  параллельны}.

Решение:

В→А. Для параллельности прямых l1 и l2 необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости. Иначе: для того, чтобы прямые l1 и l2 были расположены в одной плоскости, достаточно, чтобы они были параллельны.

3. А ≡ {а2 ≠ 0},    В ≡ {а > 0}.

Решение:

В→А. Для выполнения соотношения а2 ≠ 0 достаточно, чтобы было а > 0. Иначе: для справедливости неравенства а > 0 необходимо, чтобы было выполнено условие а2 ≠ 0.

Убедитесь в том, что в приводимых ниже случаях справедливо соотношение А↔В, и сформулируйте соответствующие теоремы, используя слова «необходимо и достаточно» или «в том и только в том случае».

4. А ≡ {функция ах+b/сх+d постоянна в области своего определения},

    В ≡ {ad = bc}.

Решение:

Функция ах+b/сх+d постоянна в том и только в том случае, если ad = bc (предполагается, что функция ах+b/сх+d имеет смысл, т.е. хотя бы одно из чисел c, d отлично от нуля).

5. А ≡ {из отрезков, длины которых равны a, b, c, можно составить треугольник}.

    В ≡ {положительные числа a, b, c связаны неравенствами a + b > c, b + c > a, a + c > b}.

Решение:

Для того, чтобы из отрезков, длины которых равны a, b, c, можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы числа a, b, c были связаны неравенствами

a + b > c, b + c > a, a + c > b.

6. А ≡ {многочлен Р(х) = а0хn + а1хn-1 + … + an-1x  + an делится на х - },

    В ≡ {Р() = 0}.

Решение:

Многочлен Р(х) = а0хn + а1хn-1 + … + an-1x  + an тогда и только тогда делится на х - , когда Р() = 0.

7.     Теорема «Если число l делится на 12, то оно делится на 3» истинна. Поэтому здесь делимость числа l на 12 является достаточным условием для делимости числа l на 3, а делимость числа l на 3 является необходимым условием для делимости числа l на 12. В то же время обратная теорема «Если число l делится на 3, то оно делится на 12» не верна. Поэтому делимость числа l на 3 не является достаточным условием делимости числа l на 12, а делимость числа l на 12 не является необходимым условием делимости числа l на 3.

8.         Теоремы «В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой» и «Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны между собой, то в этот четырехугольник можно вписать окружность» взаимно обратны. Обе они истинны, и, следовательно, здесь можно употребить логическую связку «необходимо и достаточно»:

«Для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны между собой».

9.               Для каждого из условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным, чтобы выполнялось неравенство

х2 – 2х – 8  0: а) х=0, б) -1 х 3, в) х-3,    г) х > -2, д) -1 х  10,

е) –2  х  10.

Неравенство перепишем в виде (х+2)(х-4)> 0, его решением являются

х[-2, 4].

а) х=0 – достаточное условие для выполнения неравенства, но не является необходимым.

б) Условие  -1 х 3 является достаточным условием, но не является необходимым .

в) Условие х-3 является необходимым условием, но не является достаточным.

г) Условие х > -2, является необходимым, но не является достаточным.

д) Условие -1 х  10 не является ни необходимым, ни достаточным условием.

е) Условие –2  х  10 является необходимым, но не достаточным условием.

10.    Рассмотрим теорему:

Множество истинности предиката Р(х) → Q(x) есть множество CJP  IQ . Но тогда множеством ложности этого предиката будет C(СJP  IQ ) = JP  CJQ. Последнее множество будет пустым лишь в случае, когда JPJQ

.

              Итак, предикат Р(х) → Q(x) является истинным для всех х  Е в том и только в том случае, когда множество истинности предиката Р(х) содержится в множестве истинности предиката Q(x). При этом говорят, что предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и предикат называют необходимым условием для предиката Р(х), а предикат Р(х) - достаточным условием для Q(x). Так, в теореме «Если х - число натуральное, то оно целое» предикат Q(x): «х - число целое» логически следует из предиката Р(х): «х – число натуральное», а предикат «х - число натуральное» является достаточным условием для предиката «х - число целое».

Часто встречается ситуация, при которой истинные взаимно обратные теоремы:

xE (P(x) → Q(x))                       (1)

xE (Q(x) → P(x))                       (2)

Это возможно при условии, что JP = JQ . В таком случае из теоремы (1) следует, что условие Р(х) является достаточным для Q(x), а из теоремы (2) следует, что условие Р(х) является необходимым для Q(x).

Таким образом, если истинны теоремы (1) и (2), то условие Р(х) является и необходимым, и достаточным для Q(x). Аналогично в этом случае условие Q(x) является необходимым и достаточным для Р(х).

Иногда вместо логической связки «необходимо и достаточно» употребляют логическую связку «тогда и только тогда».

Так как здесь истинны высказывания (1) и (2), то истинно высказывание:

xE (P(x) → Q(x))   xE (Q(x) → P(x))  xE (P(x) ↔ Q(x)).                                                                

11.  Суждение X: «Вася получает стипендию».

Необходимое условие P: «Вася — студент».

Достаточное условие Q: «Вася учится в вузе без троек».

Из того, что Вася — студент, еще не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не студент, то он заведомо не получает стипендию.

Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.

12.  Рассмотрим использование необходимых и достаточных условий в логике, в операции вида: если "условие", то "событие". Например, для движения машины по перекрестку со светофором, есть условия: "горит зеленый свет", " сзади нет машин " и "двигатель заведен"; есть действие "можно ехать".

Если "горит зеленый свет и двигатель заведен и сзади нет машин ", то "можно ехать".

Такое условие является достаточным, т.к. при его выполнении ехать можно, но ехать можно и тогда, когда условие не выполняется, например, сзади есть машины.

Достаточное условие не обязательно выглядит избыточным, как в этом примере, оно просто не охватывает всех случаев, при котором все же "можно ехать", т.е. могут существовать и иные условия, при которых "можно ехать".

Если "горит зеленый свет ", то "можно ехать"

Такое условие является необходимым, т.е. таким, без выполнения которого движение невозможно, но не достаточным, т.к. двигатель может быть не включен.

Если "горит зеленый свет и двигатель заведен ", то "можно ехать".

Такое условие является необходимым и достаточным, т.е. таким, без выполнения которого движение невозможно и при выполнении которого ехать можно.

Необходимое и достаточное условие позволяет обратить условное высказывание, т.е. при нем справедливо: Если "можно ехать", то "горит зеленый свет и двигатель заведен ".

Необходимое и достаточное условие это пограничный вариант, при котором меньше условий будет недостаточно, а больше не будет необходимо.

Если "сзади нет машин ", то "можно ехать".

Такое условие является ни необходимым, ни достаточным.

13. Вставить нужные слова («необходимо, но недостаточно», или «достаточно, но необходимо», или «не необходимо и недостаточно», «необходимо и достаточно), так, чтобы получились истинные утверждения:

а) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником,………, чтобы длины его диагонали были равны.

б) Для того, чтобы х2 – 5х +6 = 0, ………., чтобы х = 3.

в) Для того, чтобы сумма четного числа нат. чисел была четным числом,……, чтобы каждое слагаемое было четным.

г) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник,……, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

д) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел,……….., чтобы она была ограниченной.

Решения:

а) Необходимо, но недостаточно.

б) Достаточно, но не необходимо.

в) Достаточно, но не необходимо.

г) Необходимо и достаточно.

д) Необходимо, но недостаточно.

Заключение

Я считаю, что поставленные мною цели и задачи, были достигнуты. Изучив литературу, получилось раскрыть суть и содержание необходимых и достаточных условий, а подобрав примеры, удалось проанализировать и решить их.

Список используемой литературы:

1.          Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике - М. Изд. «Наука», 1974.

2.          Лихтарников Л.М. Первое знакомство с математической логикой – СПб.: Изд. «Лань», 1997.

3.          Новиков П.С. Элементы математической логики – М.: Изд. «Наука», 1973.

4.          Столяр А.А., Лельчук М.П. Математика – Минск, Изд. «Вышэйш. Школа», 1975.

34