Математическая логика

Более четко условие и заключение теоремы Пифагора можно осмыслить так. Обозначим через Т множество всех треугольников, причем мы будем считать. Что вершины каждого треугольника обозначены буквами A, B, C, а противолежащие им стороны обозначены соответственно буквами a, b, c. Тогда М и N представляют собой неопределенные высказывания, заданные на множестве Т, т.е. для всякого элемента ∆, взятого в множестве Т (иными словами, для всякого треугольника ABC), М и N могут выполняться или не выполняться:

М(∆) ≡ {С = П/2}.

М(∆) ≡ {с2 = a2 + b2}.

Теорема Пифагора в ее наиболее полной формулировке гласит:

(∆) (М(∆)→N(∆)),

т.е. для любого треугольника ∆, для которого истинно М(∆), истинно и N(∆).

В качестве второго примера рассмотрим теорему: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Попробуем выделить условие и заключение теоремы. Условие здесь: четырехугольник ABCD есть ромб. Заключение: его диагонали взаимно перпендикулярны. Для удобства обозначим тот четырехугольник, о  котором идет речь, через Q. Тогда условие и заключение теоремы можно будет выразить следующим образом:

Условие:

А(Q) ≡ {четырехугольник Q – ромб, т.е. AB=BC=CD=DA}.

Заключение:

В(Q) ≡ {диагонали четырехугольника Q взаимно перпендикулярны, т.е. АС BD}.

Сама теорема может быть выражена записью:

(Q) (А(Q)→ В(Q)),

т.е. для любого четырехугольника Q из А следует В. Иными словами, если для Q истинно высказывание А(Q), то истинно и высказывание В(Q). Разумеется, не всегда высказывание А(Q) истинно – не всякий четырехугольник Q является ромбом. Но если А(Q) истинно, если известно, дано что Q – ромб ,то истинно и высказывание В(Q).

Нередко, однако, запись (∆), (Q) и т.д. перед формулировкой теоремы опускают и записывают теорему просто в виде А→В.

Итак, пусть справедлива теорема, в которой условием является высказывание (в дальнейшем мы иногда вместо «неопределенное высказывание» будем говорить просто « высказывание», а вместо А(х), В(х) будем просто писать А, В.) А, а заключение В. Эту теорему:

если имеет место (т.е. истинно) высказывание А, то справедливо (истинно) и выражение В,

кратко выражают в виде «если А, то В» или просто пишут А→В или, в более полной записи, (х) (А(х) →В(х)).

Но существуют и другие часто используемые способы выражения этой теоремы. Именно, теорему А → В принято также выражать любой из следующих двух формулировок:

А является достаточным условием для В,

В является необходимым условием для А.

В употреблении этих слов «необходимое условие», «достаточное условие» на приемных экзаменах в вузах приходится слышать огромное число ошибок.

Приведем точные определения. Пусть А – некоторое (неопределенное) высказывание.

Всякое высказывание, из которого А следует, называется достаточным условием для А. Всякое высказывание, которое вытекает из А, называется необходимым условием для А.

Ничего другого в этих терминах «необходимое условие», «достаточное условие» нет; ни в каком другом смысле они не употребляются. Фраза « А является достаточным условием для В» может также несколько видоизменяться, например: для справедливости высказывания В достаточно, чтобы имело место А. Смысл при этом остается тем же: из А следует В.

Итак, если справедлива теорема А →В, то мы можем сказать, что А является достаточным условием для В (ведь из А следует В). Точно так же мы можем сказать, что В является необходимым условием для А (поскольку В следует из А).

Наконец, заметим, что слова «необходимое условие» часто заменяются словами «только в том случае», «только тогда», «требуется».

Таким образом, теорему А→В можно выразить не только словами

В является необходимым условием для А,

но также следующим образом:

А может иметь место только в том случае, если справедливо В,

или

А может выполняться только тогда, когда имеет место В

или

Для выполнения А требуется справедливость условия В.

Пример: Рассмотрим высказывания:

А(х) ≡ {число х делится на 4},

В(х) ≡ {последняя цифра числа х четна}.

В этом случае имеет место теорема А→В. Следовательно, В является необходимым условием для А, или, более подробно:

для делимости числа х на 4 необходимо, чтобы его последняя цифра была четной.

Иначе:

число х только в том случае может делиться на 4, если его последняя цифра – четная,

или еще:

для делимости числа на 4 требуется, чтобы его последняя цифра была четной.

Таким образом, необходимое условие В представляет собой то требование, которое непременно должно быть выполнено для справедливости высказывания А. Однако В не гарантирует справедливости высказывания А, не является достаточным для А: ведь из четности последней цифры не вытекает, что число х непременно делится на 4.

Далее, та же теорема А→В означает, что А является достаточным условием для В, или более подробно:

для четности последней цифры числа х достаточно, чтобы оно делилось на 4.

Таким образом, достаточное условие А содержит в данном случае больше требований, чем нужно для справедливости высказывания В (например, число 26 не делится на 4, но тем не менее его последняя цифра – четная).

Пример:

Рассмотрим неопределенные высказывания:

А(a,b) ≡ {каждое из целых чисел a, b делится на 3},

В(a,b) ≡ {сумма a + b делится на 3}.

Здесь имеет место заключение А→В, т.е. А есть достаточное условие для В, а В есть необходимое условие для А. Иными словами,

для делимости суммы a + b на 3 достаточно, чтобы каждое из слагаемых a, b делилось на 3;

для того, чтобы каждое из слагаемых делилось на 3, необходимо, чтобы сумма делилась на 3.

Заметим в заключение, что опускать запись (х) в формулировке теоремы (х) (А(х)→В(х)) можно только в том случае, если о смысле и важности этой опущенной записи не забывают. В самом деле, рассмотрим такой пример: диагонали параллелограмма перпендикулярны. Каждый скажет, что эта теорема неверна. Но что это значит? Запишем сформулированную теорему в виде А→В, для чего рассмотрим следующие неопределенные высказывания:

А(Q) ≡ {четырехугольник Q - параллелограмм},

В(Q) ≡ {диагонали четырехугольника Q перпендикулярны}.

Тогда сформулированная «теорема» принимает вид А(Q)→В(Q). В действительности же это вовсе еще не теорема, а лишь неопределенное высказывание (иногда верное, иногда – нет). Если мы добавим знак общности или существования, мы получим высказывание, о котором уже можно будет говорить, верно оно или нет. Так, добавляя знак существования, получаем высказывание

(Q) (А(Q)→В(Q))

(т.е. существует параллелограмм с перпендикулярными диагоналями).

В истинности этого высказывания никто не усомнится – такими параллелограммами являются ромбы. Однако знак общности дает высказывание

(Q) (А(Q)→В(Q)),                            (1)

являющееся ложным. Именно в этом смысле мы говорим о неверности теоремы «диагонали параллелограмма перпендикулярны». Иными словами, встречаются (существуют) параллелограммы с перпендикулярными диагоналями. Но сформулированную теорему неявно все воспринимают в форме: диагонали любого параллелограмма перпендикулярны, т.е. в форме (1). Эта теорема действительно неверна.

Еще пример: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна свободному члену. Эта теорема неверна. Но неверна не в том смысле, что этого никогда не бывает: например, в уравнении х2 – 8х + 8 =0 это именно так. Неверна теорема о том, что сумма корней любого приведенного квадратного уравнения равна свободному члену. Таким образом, пишем мы или не пишем (х) перед формулировкой теоремы, не следует забывать, что эта запись в формулировке присутствует (или подразумевается).

Сказанное, разумеется, не относится к так называемым теоремам существования, то есть таким теоремам, где утверждается существование чего-либо. Примером может служить утверждение: существуют квадратные уравнения, не имеющие действительных корней. Это высказывание, конечно, истинно. Но в нем вовсе не утверждается, что любое квадратное уравнение не имеет действительных корней; иными словами, эта теорема не имеет вида

(х) (А(х)→В(х)).

2.2. Обратная и противоположная теоремы.

Разумеется, не всякое высказывание, записанное в виде А→В (или, более подробно (х) (А(х)→В(х)), является истинным, т.е. выражает верную теорему.

Пусть А и В – некоторые два (неопределенных) высказывания. Теоремы А→В и В→А называются обратными друг другу. Иными словами, чтобы из теоремы А→В получить обратную, нужно поменять местами условие и заключение теоремы (т.е. то, что «дано», и то, что «требуется доказать»). Разумеется, из двух взаимно обратных теорем А→В, В→А каждая может оказаться верной или неверной.

Нередко одну из теорем А→В, В→А, скажем теорему А→В, называют «прямой теоремой», а теорему В→А – «обратной». В этой терминологии нет ничего предосудительного, однако следует ясно понимать, что любая из двух теорем А→В, В→А может быть принята за «прямую», и тогда другая будет обратной к ней.

Пример:

Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:

А(Q) ≡ {четырехугольник Q – ромб},

В(Q) ≡ {диагонали четырехугольника Q взаимно перпендикулярны}.

Теорема (Q) (А(Q)→В(Q)) имеет следующий вид:

  если четырехугольник Q является ромбом, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Эта теорема верна. Обратная же теорема (Q) (В(Q)→А(Q)):

  если диагонали четырехугольника Q взаимно перпендикулярны, то он является ромбом,

неверна.

Пример:

Рассмотрим следующие неопределенные высказывания:

А(а) ≡ {натуральное число а > 9 делится на 4},

В(а) ≡ {двузначное число, выраженное последними двумя цифрами числа а, делится на 4}.

Теорема (а) (А(а)→В(а))  имеет следующую формулировку:

если натуральное число а > 9 делится на 4, то двузначное число, выраженное последними двумя цифрами числа а, также делится на 4.

Она, очевидно, верна. Обратная теорема (а) (В(а)→А(а))  в этом случае также справедлива:

если двузначное число, выраженное последними двумя цифрами числа а > 9 делится на 4, то и само число а делится на 4.

Таким образом, иногда из двух взаимно обратных теорем справедлива только одна, иногда же обе. Если справедливы обе теоремы А→В, В→А (т.е. и «прямая» и «обратная»), то этот факт выражают сокращенной записью

А↔ В.

Итак, пусть А и В таковы, что из каждого из них вытекает другое: А ↔ В. В этом случае говорят, что каждое из высказываний А, В является необходимым и достаточным условием для другого. Существуют и другие термины. Вот наиболее употребительные формулировки:

1.      для справедливости А необходимо и достаточно, чтобы имело место В;

2.      А имеет место в том и только в том случае, если выполняется В;

3.      А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В.

Все эти формулировки выражают один и тот же факт А ↔ В, и в каждой из них высказывания А и В можно поменять местами. Иными словами, если А есть необходимое и достаточное условие для В, то и В есть необходимое и достаточное условия для А.

Например:

для делимости числа а > 9 на 4 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 двузначное число, выраженное последними двумя цифрами числа а.

Заметим, что термин «условие» часто заменяют словом «признак». Так, вместо того чтобы сказать «достаточное условие», иногда говорят «достаточные признак» и т.п.

Например, признаки равенства треугольников – это тоже признаки в этом смысле, причем эти признаки также являются необходимыми и достаточными. Возьмем третий признак. То, что для равенства двух треугольников необходимо равенство соответственных сторон, ясно из самого определения понятия равенства треугольников. Достаточность этого условия как раз и доказывается в рассматриваемой теореме. Иными словами, третий признак доказывается в школе как достаточное условие равенства треугольников, но необходимость этого условия также очевидна. Итак, третий признак есть необходимое и достаточное условие равенства треугольников.

Еще один пример:

Признак перпендикулярности двух плоскостей: «Для того, чтобы две плоскости были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы одна из них проходила через прямую, перпендикулярную к другой», может быть сформулирован и так: «Две плоскости перпендикулярны, если и только если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой», т.е. в виде эквиваленции:

    (а) [а    а  ],

Но это предложение равносильно конъюнкции двух импликаций:

(    (а) [а    а  ])  ((а) [а    а  ]    ),

первая из которых выражает теорему, доказывающую необходимость признака, вторая – теорему, доказывающую его достаточность.

Уточним смысл выражений «необходимое условие», «достаточное условие» и составленных из них выражений «необходимое и достаточное условие», «необходимое, но недостаточное условие», «достаточное, но не необходимое условие».

Рассмотрим несколько примеров.

1.              Говорят, что пропорциональность сторон – необходимое условие подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие не выполняется, т.е. стороны не пропорциональны, то треугольники не будут подобными. Иначе говоря, если ложно высказывание р «Стороны треугольников пропорциональны», или истинно его отрицание ┐р , то ложно и высказывание ┐q «Треугольники подобны», или истинно его отрицание ┐q, т.е истинно высказывание ┐р  ┐q или равносильное ему высказывание q  p.

2.              Говорят также, что пропорциональность сторон – достаточное условие подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие выполняется, то треугольники подобны, т.е. если истинно высказывание р «Стороны треугольников пропорциональны», то истинно и высказывание q «Треугольники подобны». Иначе говоря, это означает, что истинно высказывание p  q.

3.              Из предыдущего следует, что пропорциональность сторон – необходимое и достаточное условие подобия двух треугольников, а это означает, что истинно высказывание (┐р  ┐q)  (p  q) или равносильное высказывание (q  p)  (p  q).

Но  высказывание (q  p)  (p  q) равносильно эквиваленции

p  q. Следовательно, выражение «р необходимое и достаточное условие  для q» имеет тот же смысл, что «p если и только если q», или «p тогда и только тогда, когда q».

4.              Говорят, что пропорциональность сторон необходимое и достаточное условие подобия многоугольников. Это означает, что если стороны непропорциональны, то многоугольники неподобны, но не верно, что если стороны пропорциональны, то многоугольники подобны (квадрат и непрямоугольный ромб неподобны, хотя стороны их пропорциональны).

Если обозначить через p высказывание «Стороны пропорциональны» и через q – высказывание «Многоугольники подобны», то выражение «p необходимое, но недостаточное условие для q» означает, что истинно высказывание