Логическая составляющая начального курса математики по различным образовательным системам

Далее выполняется перебор. Ученики проверяют наименьшее двузначное число 10. Оно делится на 2 и 5, но не делится на 3, значит, число 10 не подходит. Перебор можно сократить, не рассматривать  все числа подряд, а проверять  только числа, делящиеся на 5. Число 15 не подходит, так как не делится  на 2. Так ученики доходят до числа 30, которое делится на 2, 3, 5 и не делится на 4. Значит, в корзине 30 яблок.

Данную задачу можно было бы решить, выполняя чертеж. Начертить  в тетради луч и откладывать  на нем последовательно отрезки  длиной 2, 3, 5 клеточек, найти точку, в  которой соединяются концы отрезков трех видов, подсчитать число клеток от начала луча до этой точки. На чертеже  следовало бы проверить, что отрезки  длиной 4 клеточки не укладываются целое  число раз в большом отрезке  длиной 30 клеток. И только тогда назвать  ответ задачи. Этот способ трудоемкий, но он может оказаться более легким для некоторых учеников в силу их индивидуальных особенностей.

В следующих задачах используется прием переформулирования задачи, а  затем они решаются известными учащимся способами.

Задача 2. Если конфеты раскладывать по 2, 3, 4, то всегда остается 1 лишняя конфета. А если их раскладывать по 5, то лишних конфет нет. Сколько конфет, если их меньше 50? (25 конфет.)

Задача 3. В детском саду 100 детей. Для каждого ребенка купили альбом, краски, кисточку. Продавец выписал чек на 3 750 рублей. Докажи, что при подсчете общей стоимости покупки допущена ошибка, если цены предметов выражались целым числом рублей. (Для нахождения общей стоимости цену набора надо умножить на 100, поэтому в результате должно получиться число, оканчивающееся двумя нулями, а число 3 750 оканчивается одним нулем.)

Серия VII

В задачах серии VII выводится  следующая рекомендация при решении  нестандартных задач: условие или вопрос задачи можно разделить на части и решить задачу по частям.

Задача 1. В два автобуса сели 123 экскурсанта. Затем из одного автобуса вышли 8 человек. Трое из них сели в другой автобус, а остальные поехали на машине. После этого в автобусах стало пассажиров поровну. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?

По усвоенной первой рекомендации ученики вначале делают к задаче чертеж (рис. 6).

 

Рис. 6

 

Учитель предлагает решать эту задачу, разбив ее на части, чтобы  облегчить решение. Ученики читают первые три предложения из текста задачи и думают, что по этим данным можно узнать.

1)8-3 = 5 (чел.) - поехали на машине.

2) 123 - 5 = 118 (чел.) - остались в каждом автобусе.

3) 118 : 2 = 59 (чел.) - стало в каждом автобусе.

Чтобы легче было сформулировать последнюю часть задачи, можно  переделать чертеж с учетом найденных  данных. Ученики формулируют: «Из  одного автобуса вышли 8 человек, и в  нем осталось 59 человек. В другой автобус сели 3 человека, и в нем  стало 59 человек. Сколько человек  было в каждом автобусе сначала?» - и  заканчивают решение:

4) 59 + 8 = 67 (чел.) - было в первом автобусе.

5) 59 - 3 = 56 (чел.) - было во втором автобусе.

Иногда полезно разделить  на части не условие, а вопрос задачи. Так можно поступить при решении  следующей задачи.

Задача 2. 18 ручек стоят на 30 рублей больше, чем 30 карандашей. Те же 18 ручек стоят на 10 рублей больше, чем 40 таких же карандашей. Сколько стоят 1 карандаш и 1 ручка?

Сначала ученики выполняют  к задаче чертеж (рис. 7).

 

Рис. 7

 

Затем, используя чертеж, отвечают сначала на первый вопрос: «Сколько стоит 1 карандаш?»

1) 40 - 30 = 10 (шт.) - разница в количестве карандашей.

2) 30 - 10 = 20 (р.) - стоят 10 карандашей.

3) 20 :10 = 2 (р.) - стоит 1 карандаш. После этого можно ответить на второй

вопрос: «Сколько стоит 1 ручка?»

4) 2 • 30 = 60 (р.) - стоят 30 карандашей.

5) 60 + 30 = 90 (р.) - стоят 18 ручек.

6) 90 :18 = 5 (р.) - стоит 1 ручка.

Данный прием используется в задачах с большим числом разных объектов или действий с ними, с несколькими вопросами. В следующих  задачах также можно использовать прием разбиения задачи на части.

Задача 3. На двух кустах сидели 16 воробьев. Со второго куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было вначале на каждом кусте? (12 и 4 воробья.)

Серия VIII

С помощью задач серии VIII можно вывести следующую рекомендацию при решении нестандартных задач: решать задачу можно, начиная «с конца».

Задача 1. Мать троих сыновей оставила утром тарелку слив. Первым проснулся старший сын, съел третью часть слив и ушел. Вторым проснулся средний сын, он съел третью часть того, что было на тарелке, и ушел. Позднее всех встал младший сын. Он съел также третью часть слив. После этого на тарелке осталось 8 слив. Сколько слив мать утром положила на тарелку?

Ученики выполняют чертеж (рис. 8).

 

Рис.8

 

Учитель предлагает начать решать задачу «с конца», так как  известно, сколько слив осталось в  конце, когда три брата съели  сливы. Из чертежа видно, что 8 слив - это 2/3 всех слив, которые были в тарелке, когда встал младший сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда  встал младший сын: 8:2-3=12 (сл.). Подпишем это число на втором отрезке (рис. 9).

 

Рис. 9

Из чертежа видим, что 12 слив - это  всех слив, которые были в тарелке, когда встал средний сын. Найдем, сколько слив было в тарелке, когда встал средний сын: 12 : 2 • 3 = 27 (сл.). Делается вывод о том, что, решая «с конца», последовательно пришли к тому, что было в самом начале. Прием используется, когда в задаче известно число, полученное в конце выполнения каких-либо действий.

В следующих задачах ученики  упражняются в решении задач  «с конца».

Задача 2. Мальчик задумал число. Умножил его на 3, из полученного произведения вычел 10, затем к результату прибавил 16. У него получилось 21. Какое число задумал мальчик? (5)

Задача 3. Девочка начертила 4 отрезка. Каждый следующий отрезок она делала на 2 см длиннее предыдущего. Найди длину первого отрезка, если длина четвертого отрезка равна 12 см. (6 см)

Сформулированные рекомендации по решению нестандартных задач  объединяются в следующей памятке.

Памятка

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1) сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;

2) ввести вспомогательный элемент (часть);

3) использовать для решения задачи способ подбора;

4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;

5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

6) начать решение задачи «с конца».

Важно объяснить детям, что  данные указания носят рекомендательный характер. Необязательно применять их в той последовательности, как они записаны в памятке, необязательно выполнять все рекомендации при решении одной задачи, можно комбинировать их в разных сочетаниях. В этом суть творческого процесса решения нестандартных задач. Можно показать это учащимся при совместном решении нескольких задач.

После работы, проведенной  на первом этапе, можно перейти ко второму, на котором учащиеся самостоятельно решают нестандартные задачи. Примеры нестандартных задач:

Задача 1. В магазине расфасовали картофель в 16 пакетов по 5 кг и по Зкг. Масса всех пакетов по 5 кг оказалась равной массе всех пакетов по 3 кг. Сколько было пакетов по 5 кг и сколько было пакетов по 3 кг? (6 пакетов по 5 кг и 10 пакетов по 3 кг.)

Задача 2. Мама испекла пирожки. Утром она съела 1 пирожок, а половину всех оставшихся пирожков положила в корзинку Красной Шапочке, чтобы она их отнесла бабушке. По дороге Красная Шапочка съела 2 пирожка и третью часть оставшихся пирожков отдала Волку. Бабушке Красная Шапочка принесла 8 пирожков. Сколько пирожков испекла мама? (29 пирожков.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Анализ образовательных систем по математике с позиции развития логического мышления младших школьников

 

Учебник «Моя математика» для 1-го класса (авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких и др.)

Одна из основных целей  преподавания математики в начальной  школе заключается в том, чтобы  научить детей учиться, т.е. сформировать у них следующие общеучебные  умения:

• организационные (планирование учебной деятельности, умение формулировать свои цели и задачи);
• коммуникативные (умение слушать, наблюдать, читать);
• интеллектуальные (умение анализировать, синтезировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, делать выводы);
• оценочные (умение оценивать и при необходимости изменять свои учебные действия).

Работа по учебнику «Моя математика» способствует развитию общеучебных умений школьников и  позволяет достигать высоких  результатов в усвоении знаний, умений и навыков. На каждом уроке дети участвуют  в формулировании темы и целей  урока, вырабатывают совместно с  учителем алгоритмы выполнения заданий, учатся оценивать и корректировать свою деятельность.

Содержание любого учебника математики направлено на развитие интеллектуальных умений, т.е. основных мыслительных операций (анализ, синтез, классификация). Однако в отличие от традиционных учебников  в предлагаемом курсе впервые  систематически изучаются две новые  линии: «Элементы стохастики» и  «Занимательные и нестандартные  задачи». О последней из них и  пойдет речь.

Программа предполагает обязательное рассмотрение числовых головоломок  и арифметических ребусов, логических задач на поиск закономерностей  и классификацию и т.д. Но особенно хотелось бы выделить три типа заданий, систематическая работа с которыми в течение учебного года позволяет  повышать уровень развития логического  мышления у первоклассников.

Предлагаемая учебником  система заданий построена по принципу нарастания сложности. Вначале  предлагаются головоломки, в которых  содержится одно арифметическое действие, затем количество действий увеличивается. В дальнейшем предлагаются числовые головоломки, имеющие несколько  вариантов решений.

- Поставь вместо * знак «+» или «-»:

2 * 4 = 6; 9 * 9 * 4 = 4.

- Преврати запись в верное равенство. Поставь вместо * знак «+» или «-»:

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.

Важное место в курсе  отведено заданиям, направленным на формирование такой операции мышления, как классификация. Работа также начинается с практических заданий, выполнение которых связано  со знанием геометрических фигур.

По мере изучения чисел  и действий задания усложняются. Ученики разбивают числовые равенства  и выражения на множества по результатам, по компонентам действий, по арифметическим действиям.

Разбей равенства на группы:

+ 4 7 - 3 6 + 2 9 - 7

- Разбей выражения на группы. Какое выражение «лишнее»?

16 - 8 14 - 8 14 - 6 15 - 7

- Выпиши суммы. Увеличь второе слагаемое на три. Вычисли результат.

В течение учебного года периодически проводятся тесты, включающие рассмотренные выше типы заданий. В  результате этих тестов большинство  детей показывает высокий уровень  развития логического мышления.

Проанализировав упражнения, можно с уверенностью сделать  вывод: в учебнике «Моя математика»  насыщенно присутствуют разнообразные  задания, способствующие развитию операций логического мышления и формированию положительной мотивации к учебной  деятельности.

 

Учебники  Моро М. И., Бантовой М. А.

 

В начальной школе большое  место должно быть отведено обучению операциям логического мышления: анализу, синтезу, сравнению, классификации, обобщению. Рассмотрим упражнения в  учебнике М. И. Моро, направленные на формирование этих операций.

Задания, направленные на развитие анализа и синтеза:

. Соединение элементов  в единое целое:

Вырежи из Приложения нужные фигуры и составь из них домик, кораблик, рыбку.

. Поиск различных признаков  предмета:

Сколько углов, сторон и вершин у пятиугольника?

. Узнавание или составление  объекта по заданным признакам:

) Какое число идёт при  счёте перед числом 6? Какое число  следует за числом 6? За числом 7?

) Составь по краткой  записи задачу и реши её.

Было - 18 кг

Продали - ?

Осталось - 8 кг

. Рассмотрение данного  объекта с точки зрения различных  понятий.

Составь по рисунку разные задачи и реши их.

. Постановка различных  заданий к данному математическому  объекту.

К концу учебного года у  Лиды осталось 2 чистых листа в тетради  по русскому языку и 5 чистых листов в тетради по математике. Поставь  к этому условию сначала такой  вопрос, чтобы задача решалась сложением, а потом такой вопрос, чтобы  задача решалась вычитанием.